fin-accounting
понедельник, 26 ноября 2018

CFA - Расчет размера аннуитетных платежей

Ипотека, автокредиты и пенсионные сберегательные планы являются классическими примерами применения формул аннуитета. Рассмотрим порядок определения размера аннуитетных платежей в рамках изучения количественных методов финансового анализа по программе CFA.

Как рассчитать размер платежей по ипотеке с фиксированной процентной ставкой?

Вы планируете приобрести дом стоимостью $120,000, сделав первоначальный взнос в размере $20,000 за счет собственных средств, а также заимствуя остаток суммы по 30-летней ипотеке с ежемесячными платежами по фиксированной процентной ставке.

Первый платеж по ипотеке должен быть осуществлен при t = 1.

Текущая заявленная процентная ставка по ипотечному кредиту составляет 8% при ежемесячном начислении процентов.

Каковы будут ваши ежемесячные платежи по ипотечному кредиту?


Расчет:

Банк будет рассчитывать платежи по ипотечному кредиту таким образом, чтобы при указанной периодической процентной ставке текущая (приведенная) стоимость платежей PV была равна сумме заимствованных средств (в данном случае $100,000).

Имея это в виду, мы можем использовать формулу 11 \( \mathbf {PV = A \left [1- {1 \over (1 + r)^N} \over r \right]} \), чтобы рассчитать сумму аннуитетного платежа A.

Для этого необходимо разделить текущую (приведенную) стоимость PV на фактор текущей (приведенной) стоимости аннуитета:

PV = $100,000
rS = 8% = 0.08
m = 12
rS/m = 0.08/12 = 0.006667
N = 30
mN = 12 * 30 = 360

Фактор приведенной стоимости = \( \mathbf {1- {1 \over \left [1 + (r_s / m) r\right]^{mN} } \over r_s / m} \)

= \( \mathbf {1- {1 \over (1.006667)^{360} } \over 0.006667} \)

= 136.283494

A = PV / Фактор приведенной стоимости
= $100,000 / 136.283494
= $733.76

Сумма ипотеки в размере $100,000 эквивалентна 360 ежемесячным платежам в размере $733.76 при заявленной процентной ставке в 8%.

Расчет ипотеки - это относительно простая задача, связанная с определением размера аннуитетного платежа.


Теперь перейдем к проблеме планирования выхода на пенсию.

Эта проблема иллюстрирует сложность ситуации, при которой человек хочет выйти на пенсию с определенным уровнем пенсионных сбережений.

В течение своей жизни обычный человек может сэкономить только небольшую сумму в начале своей карьеры, но в более зрелом возрасте у него обычно появляются более значительные финансовые ресурсы для увеличения пенсионных взносов.

Пенсионные планы часто связаны с неравномерными денежными потоками.

При работе с неравномерными денежными потоками мы максимально используем принцип, согласно которому стоимость денежных потоков, относящихся к одним и тем же моментам времени, является аддитивной - это называется принципом аддитивности денежных потоков.

Пример расчета суммы аннуитета, необходимой для финансирования будущих пенсионных сбережений.

Сейчас (при t = 0) Джилл Грант 22 года.

Она планирует выйти на пенсию в возрасте 63 лет (при t = 41).

Она также планирует откладывать на пенсию $2,000 в год в течение следующих 15 лет (с t = 1 до t = 15).

В дальнейшем, в возрасте 40 лет, она начнет получать пенсионный доход в размере $100,000 в год в течение 20 лет, при этом первая пенсионная выплата начинается при t = 41.

Какую сумму Грант должна откладывать каждый год с t = 16 до t = 40 для достижения своей цели выхода на пенсию?

Предположим, что она планирует инвестировать в диверсифицированный паевой фонд акций и облигаций, который в среднем будет зарабатывать 8% в год.


Решение:

Чтобы решить эту проблему, мы изобразим известную нам информацию на временной линии.

Как показано на рисунке ниже, Грант будет откладывать $2,000 (отток денежных средств) ежегодно с 1 по 15 годы. Начиная с 41 года, Грант начнет получать пенсионный доход в размере $100,000 (приток денежных средств) в год в течение 20 лет.

На временной линии годовые пенсионные взносы записываются в круглых скобках как отрицательные суммы ($2), чтобы показать, что это отток денег.

Вопрос заключается в том, чтобы рассчитать сумму пенсионных взносов, отображенную на временной линии как X: с 16-го по 40-й год.

Временная линия пенсионных аннуитетных платежей (в тыс.) Временная линия пенсионных аннуитетных платежей (в тыс.)

Решение этой задачи включает в себя соблюдение следующего равенства: текущая стоимость сбережений (оттоков денежных средств) равна текущей стоимости пенсионного дохода (притоков денежных средств).


Мы могли бы привести все денежные суммы к моменту t = 40 или к t = 15 и после этого найти X.

Сначала рассчитаем приведенную стоимость всех денежных сумм при t = 15 (мы рекомендуем читателю решить эту задачу альтернативным способам, приведя все денежные потоки к моменту t = 40).

Начиная с t = 15, 1-ый платеж в сумме X будет осуществлен через 1 период (при t = 16). Таким образом, мы можем рассчитать X, используя формулу 11 приведенной (текущей) стоимости обычного аннуитета.

Данная задача включает три последовательные группы денежных потоков. Основная идея заключается в том, что текущая стоимость пенсионного дохода должна быть равна текущей стоимости пенсионных взносов Грант.

Решение этой задачи требует следующих шагов:


Шаг 1. Найдите будущую стоимость пенсионных взносов в размере $2,000 в год к моменту времени t = 15. Полученное значение говорит нам, какая сумма сбережений будет у Грант к этому моменту.


Шаг 2. Найдите текущую стоимость пенсионного дохода при t = 15. Это значение говорит нам, сколько денег Грант должна откладывать, начиная с момента t = 15, чтобы достичь своих пенсионных целей в дальнейшем.

Этот шаг включает 2 расчета.

  • Сначала вычислите текущую стоимость аннуитета в размере $100,000 в год при t = 40. Используйте формулу текущей стоимости аннуитета. (Обратите внимание, что текущее значение соответствует моменту времени t = 40, потому что 1-й платеж равен t = 41.)
  • Затем дисконтируйте полученную текущую стоимость к моменту t = 15 (за 25 периодов).

Шаг 3. Теперь вычислите разницу между суммой, которую Грант сэкономила на Шаге 1, и суммой, необходимой ей для достижения ее целей выхода на пенсию (Шаг 2).

Ее сбережения в период времени с t = 16 до t = 40 должны представлять собой приведенную стоимость, равную разнице между будущей стоимостью ее пенсионных взносов и текущей стоимостью ее пенсионного дохода.

Наша конечная цель - определить сумму, которую Грант должна откладывать в качестве пенсионного взноса в каждый из 25 лет, с t = 16 до t = 40.

Шаг 1.

Начнем с расчета будущей стоимости пенсионных взносов в размере $2,000 к моменту t = 15, а именно:

A = $2,000
r = 8% = 0.08
N = 15

Используем формулу 7:

\( mathbf { FV_N = A \left[ {(1+r)^N - 1}  \over r \right] } \)
\( mathbf { = $2,000 \left[ {(1.08)^{15} - 1}  \over 0.08 \right] } \)
= $2,000(27.152114)
= $54,304.23

К моменту t = 15 первоначальные пенсионные сбережения Грант увеличатся до $54,304.23.

Шаг 2.

Теперь нам нужно выяснить текущую стоимость PV пенсионного дохода Грант при t = 15. Как указывалось ранее, вычисление текущей стоимости выхода на пенсию требует двух подэтапов.

Сначала найдите текущую стоимость при t = 40, используя формулу 11.

Потом дисконтируйте эту текущую стоимость обратно к моменту t = 15.


Найдем текущую стоимость пенсионного дохода при t = 40:

A = $100,000
r = 8% = 0.08
N = 20

\( \mathbf {PV = A \left [1- {1 \over (1 + r)^N} \over r \right]} \) (формула 11)
\( \mathbf {= $100,000 \left [1- {1 \over (1.08)^{20} } \over 0.08 \right]} \)
= $100,000(9.818147)
= $981,814.74

Теперь мы должны привести полученное значение обратно к моменту t = 15:

FVN = $981,814.74
N = 25
r = 8% = 0.08

PV = FVN (1 + r)-N
= $981,814.74(1.08)-25
= $981,814.74(0.146018)
= $143,362.53

Шаг 3.

Теперь напомним, что Грант накопила $54,304.23 к моменту времени t = 15.

Следовательно, приведенная стоимость сбережений за период с t = 16 до t = 40 должна равняться разнице между уже накопленной суммой ($54,304.23) и суммой, которую необходимо накопить к моменту выхода на пенсию ($143,362.53).

Эта сумма равна: $143,362.53 - $54,304.23 = $89,058.30.

Теперь мы должны рассчитать размер аннуитетного платежа A для периода с t = 16 до t = 40, текущая (приведенная) стоимость которого составляет $89,058.30.

Мы находим размер аннуитета следующим образом:

PV = $89,058.30
r = 8% = 0.08
N = 25

Фактор приведенной стоимости = \( \mathbf { \left [1- {1 \over (1.08)^{25} } \over 0.08 \right]} \)
= 10.674776

A = PV / Фактор приведенной стоимости
= $89,058.30/10.674776
= $8,342.87

Грант должна будет увеличить свои ежегодные пенсионные взносы до $8,342.87 в период с t = 16 до t = 40, чтобы достичь своей финансовой цели выхода на пенсию: увеличить пенсионные сбережения до $981,814.74 после внесения последнего пенсионного взноса в момент времени t = 40.

Другие новости по этой теме:
Рассмотрим основные долговые инструменты денежного рынка и показатели их доходности: доходность за период владения (HPY), эффективную годовую доходность (EAY) и доходность денежного рынка, - в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
CFA - Показатели доходности денежного рынка
Рассмотрим оценку эффективности инвестиционного портфеля, с использованием концепции доходности за период владения (HPR), взвешенной по денежной стоимости нормы доходности (MWRR) и взвешенной по времени нормы доходности (TWRR), - в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
CFA - Как оценивать доходность инвестиционного портфеля?
Решения о принятии и отклонении инвестиционных проектов на основе правил IRR и NPV могут вступать в противоречие друг с другом. Рассмотрим особенности ранжирования инвестиций на основе правил IRR и NPV, в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
CFA - Проблемы с применением правила IRR
Финансовые менеджеры часто обращаются к показателю IRR, который представляет собой ставку доходности или прибыльности инвестиций. Рассмотрим на примерах порядок расчета и применения IRR, а также правило IRR - в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
CFA - Внутренняя норма доходности (IRR) и правило внутренней нормы доходности
Расчет и анализ NPV является одним из основных применений концепции временной стоимости денег (TVM). В рамках изучения количественных методов финансового анализа по программе CFA, рассмотрим сферу применения и порядок расчета NPV и правило NPV.
CFA - Чистая приведенная стоимость (NPV) и правило чистой приведенной стоимости
В рамках изучения количественных методов финансового анализа по программе CFA рассмотрим одно из важнейших понятий временной стоимости денег - принцип аддитивности денежного потока.
CFA - Принцип аддитивности денежного потока
Рассмотрим на примерах принцип эквивалентности приведенной стоимости (PV) и будущей стоимости (FV) денежных потоков, в рамках изучения количественных методов финансового анализа по программе CFA.
CFA - Эквивалентность приведенной и будущей стоимости денежных потоков
При решении практических финансовых вопросов часто требуется определить размер процентной ставки или совокупный темп роста какого-либо показателя, а также количество периодов начисления процентов для аннуитетных денежных потоков. Рассмотрим порядок решения таких задач в рамках изучения количественных методов финансового анализа по программе CFA.
CFA - Расчет темпов роста и количества периодов начисления для аннуитетных платежей
В рамках изучения количественных методов финансового анализа по программе CFA рассмотрим методику расчета стоимости финансирования будущих обязательств.
CFA - Расчет стоимости финансирования будущих обязательств
Рассмотрим на концепцию амортизации кредита, а также примеры составления таблицы амортизации кредита и расчета выплат по кредиту, в рамках изучения количественных методов финансового анализа по программе CFA.
CFA - Расчет амортизации кредита и выплат по кредиту
Рассмотрим порядок расчета текущей или приведенной стоимости серии денежных потоков, с поясняющими примерами, в рамках изучения количественных методов финансового анализа по программе CFA.
CFA - Как рассчитывать текущую стоимость (PV) серии денежных потоков (аннуитета и перпетуитета)?
Рассмотрим порядок расчета текущей или приведенной стоимости единичного денежного потока, с поясняющими примерами, в рамках изучения количественных методов финансового анализа по программе CFA.
CFA - Как рассчитывать текущую (приведенную) стоимость денежного потока (PV)?
Рассмотрим равномерные и неравномерные последовательности денежных потоков, изучаемые в рамках программы CFA, а также порядок и примеры расчета таких аннуитетов.
CFA - Как рассчитывать будущую стоимость (FV) последовательности денежных потоков (аннуитета)?
Рассмотрим порядок расчета эффективной годовой процентной ставки (EAR) на основе заявленной годовой ставки и периодичности начисления процентов, а также примеры применения EAR в финансовых вычислениях.
CFA - Как вычислять эффективную годовую процентную ставку (EAR)?
Рассмотрим временную стоимость денег (TVM) единичного потока денежных средств, а также порядок расчета будущей стоимости (FV) при различных способах начисления процентов.
CFA - Как рассчитывать будущую стоимость денежного потока (FV)?
Программа CFA часто ссылается на процентные ставки. Прежде чем перейти к механике временной стоимости денег (TVM), необходимо проиллюстрировать основные экономические концепции. Рассмотрим сущность и интерпретацию процентных ставок в рамках программы CFA.
CFA - Как интерпретировать процентные ставки?