Современная теория инвестиционного портфеля часто использует идею о том, что инвестиционные возможности можно оценить с использованием ожидаемой доходности в качестве меры вознаграждения и дисперсии доходности в качестве меры риска.

Расчет и интерпретация ожидаемой доходности и дисперсии доходности портфеля являются фундаментальными навыками финансового аналитика. В этом разделе мы рассмотрим концепции ожидаемой доходности портфеля и дисперсии доходности.

Хотя в этом разделе мы коснемся ряда основных понятий, мы не будем разбирать портфельную теорию как таковую. Портфельная теория Марковица (англ. 'mean-variance analysis') будет рассматриваться в следующих чтениях.

Доходность портфеля определяется доходностью отдельных его составляющих. В результате расчет дисперсии портфеля как функция доходности отдельного актива является более сложным, чем расчет дисперсии, проиллюстрированный в предыдущем разделе.

Рассмотрим пример портфеля,

  • 50% которого инвестируются в фонд индекса S&P 500,
  • 25% - в фонд долгосрочных корпоративных облигаций США, и
  • 25% - в фонд индекса MSCI EAFE (представляющий рынки акций в Европе, Австралии и на Дальнем Востоке).

Таблица 5 показывает это распределение.

Таблица 5. Портфельные веса.

Класс актива

Вес

S&P 500

0.50

Долгосрочные корпоративные облигации США

0.25

MSCI EAFE

0.25

Сначала рассмотрим расчет ожидаемой доходности портфеля. В предыдущем разделе мы определили ожидаемое значение случайной величины как средневзвешенную вероятность возможных результатов случайной величины.

Мы знаем, что доходность портфеля - это средневзвешенная доходность ценных бумаг в портфеле. Аналогично, ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенную величину ожидаемой доходности ценных бумаг в портфеле с использованием точно таких же весов.

Когда мы оценили ожидаемую доходность отдельных ценных бумаг, мы сразу же получили ожидаемую доходность портфеля. Этот удобный факт вытекает из свойств ожидаемого значения.

Свойства ожидаемого значения.

Пусть \( w_i \) - любая постоянная величина (константа), а \( R_i \) - случайная величина.

1. Ожидаемое значение постоянной величины, умноженной на случайную величину, равно постоянной, умноженной на ожидаемое значение случайной величины.

\( \large E(w_iR_i) = w_i(R_i) \)

2. Ожидаемое значение взвешенной суммы случайных величин равно взвешенной сумме ожидаемых значений с использованием тех же весов.

\( \large \begin{aligned}
& E (w_1R_1 + w_2R_2 + \ldots + w_nR_n) \\
& w_1E (R_1) + w_2E(R_2) + ... + w_nE(R_n)
\end{aligned} \) (Формула 13)

Предположим, у нас есть случайная величина с заданным ожидаемым значением. Например, если мы умножим каждый результат на 2, ожидаемое значение случайной величины умножится также на 2. В этом смысл части 1.

Второе утверждение - это правило, которое напрямую приводит к выражению ожидаемой доходности портфеля.

Портфель с n ценными бумагами определяется весами его портфеля, \( w_1, w_2, \ldots, w_n \), которые в сумме составляют 1. Таким образом, доходность портфеля, \( R_p \), равна \( R_p = w_1R_1 + w_2R_2 + \ldots + w_nR_n \).

Теперь мы можем сформулировать следующий принцип:

Расчет ожидаемой доходности портфеля.

Для портфеля с n ценными бумагами ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенную ожидаемую доходность по включенным в него ценным бумагам:

\( \large \begin{aligned}
E(R_p) &= E(w_1R_1 + w_2R_2 + \ldots + w_nR_n) \\
&= w_1E(R_1) + w_2E(R_2) + \ldots + w_nE (R_n)
\end{aligned} \)

Предположим, мы оценили ожидаемую доходность активов в портфеле, как показано в Таблице 6.

Таблица 6. Веса и ожидаемая доходность активов в портфеле.

Класс актива

Вес

Ожидаемая
доходность (%)

S&P 500

0.50

13

Долгосрочные корпоративные облигации США

0.25

6

MSCI EAFE

0.25

15

Мы рассчитываем ожидаемую доходность портфеля как 11.75%:

\( \begin{aligned}
E(R_p) &= w_1E(R_1) + w_2E(R_2) + w_3E (R_3) \\
&= 0.50(13\%) + 0.25(6\%) + 0.25(15\%) = 11.75\%
\end{aligned} \)

В предыдущем разделе мы изучали дисперсию как меру рассеивания результатов вокруг ожидаемого значения. Здесь нас интересует дисперсия доходности портфеля как мера инвестиционного риска.

Если \( R_p \) обозначает доходность портфеля, то дисперсия доходности портфеля составляет \( \sigma^2(R_p) = E \Big\{ \big[R_p - E(R_p)\big]^2 \Big\} \) в соответствии с Формулой 8.

Как можно использовать это определение на практике?

В чтении о статистических концепциях и рыночной доходности мы узнали, как рассчитать историческую или выборочную дисперсию на основе выборки ставок доходности.

Теперь мы рассматриваем дисперсию в прогностическом смысле. Мы будем использовать информацию об отдельных активах в портфеле, чтобы получить доходность всего портфеля.

Чтобы избежать беспорядка в обозначениях, мы пишем \( ER_p \) вместо \(E(R_p)\). Нам нужна концепция ковариации.

Определение ковариации.

Для двух случайных величин \(R_i\) и \(R_j\) ковариация между \(R_i\) и \(R_j\) равна

\( \large
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\Cov \bigl(R_i, R_j\bigr) = E \big[(R_i - ER_i) (R_j - ER_j)\big] \) (Формула 14)

Альтернативными обозначениями являются \(\sigma(R_i,R_j)\) и \(\sigma_{ij}\).

Формула 14 утверждает, что ковариация (англ. 'covariance') между двумя случайными переменными является средневзвешенной вероятностью для перекрестных произведений отклонения каждой случайной переменной от ее собственного ожидаемого значения.

Используя определением дисперсии, мы находим:

\( \small \begin{aligned}
\sigma^2(R_p) &= E \Big[(R_p - ER_p)^2\Big]  \\
&= E \Big\{ \big[w_1R_1 + w_2R_2 + w_3R_3 - E(w_1R_1 + w_2R_2 + w_3R_3) \big]^2 \Big\} \\
&= E \Big\{ \big[w_1R_1 + w_2R_2 + w_3R_3 - w_1ER_1 - w_2ER_2 - w_3ER_3 \big]^2 \Big\}  \\
& \text{(используя Формулу 13)} \\ \\

&= E \Big\{ \big[w_1(R_1 - ER_1) + w_2(R_2 - ER_2) + w_3(R_3 - ER_3) \big]^2 \Big\} \\
& \text{(преобразование)} \\ \\

&= E \Big\{ \big[w_1(R_1 - ER_1) + w_2(R_2 - ER_2) + w_3(R_3 - ER_3) \big] \\
&\times \big[w_1(R_1 - ER_1) + w_2(R_2 - ER_2) + w_3(R_3 - ER_3) \big] \Big\} \\
& \text{(что значит квадрат)} \\ \\

&= E \big[w_1w_1(R_1 - ER_1)(R_1 - ER_1) + w_1w_2(R_1 - ER_1)(R_2 - ER_2) \\
&+ w_1w_3(R_1 - ER_1)(R_3 - ER_3) + w_2w_1(R_2 - ER_2)(R_1 - ER_1) \\
&+ w_2w_2(R_2 - ER_2)(R_2 - ER_2) + w_2w_3(R_2 - ER_2)(R_3 - ER_3) \\
&+ w_3w_1(R_3 - ER_3)(R_1 - ER_1) + w_3w_2(R_3 - ER_3)(R_2 - ER_2) \\
&+ w_3w_3(R_3 - ER_3)(R_3 - ER_3) \big] \\
& \text{(выполняем умножение)} \\ \\

&= w^1_2E \big[(R_1 - ER_1)^2 \big] + w_1w_2E \big[(R_1 - ER_1) (R_2 - ER_2) \big] \\
&+ w_1w_3E \big[(R_1 - ER_1) (R_3 - ER_3) \big] + w_2w_1E \big[(R_2 - ER_2) (R_1 - ER_1) \big] \\
&+ w^2_2E \big[(R_2 - ER_2)^2 \big] + w_2w_3E \big[(R_2 - ER_2) (R_3 - ER_3) \big] \\
&+ w_3w_1E \big[(R_3 - ER_3) (R_1 - ER_1) \big] + w_3w_2E \big[(R_3 - ER_3) (R_2 - ER_2) \big] \\
&+ w^2_3E \big[(R_3 - ER_3)^2 \big] \\
& \text{(напомим, что $w_i$ являются постоянными величинами)}
\end{aligned} \)

(Формула 15)

\( \begin{aligned}
\sigma^2(R_p) &= w^2_1 \sigma^2 (R_1) + w_1w_2 \Cov(R_1, R_2) + w_1w_3 \Cov(R_1, R_3) \\
&+ w_1w_2 \Cov(R_1, R_2) + w^2_2 \sigma^2 (R_2) + w_2w_3 \Cov(R_2, R_3) \\
&+ w_1w_3 \Cov(R_1, R_3) + w_2w_3 \Cov(R_2, R_3) +  w^2_3 \sigma^2 (R_3)
\end{aligned} \)

Итоговая формула следует из определений дисперсии и ковариации.

Полезные факты о дисперсии и ковариации включают в себя следующее:

  1. Дисперсия постоянной величины (константы) умноженная на случайную величину равна квадрату константы умноженной на дисперсию случайной величины, или \( \sigma^2(wR) = w^2\sigma^2(R) \);
  2. Дисперсия константы плюс случайная величина равна дисперсии случайной величины, или \( \sigma^2(w + R) = \sigma 2(R)\), поскольку константа имеет нулевую дисперсию;
  3. Ковариация между константой и случайной величиной равна нулю.

Для выделенных курсивом ковариационных членов в Формуле 15 мы использовали тот факт, что порядок переменных в ковариации не имеет значения: например, \(\Cov(R_2,R_1) = \Cov(R_1,R_2) \).

Как мы покажем далее, диагональные дисперсионные члены \(\sigma^2(R_1)\), \(\sigma^2(R2)\) и \(\sigma^2(R_3)\) могут быть выражены как \(\Cov(R_1,R_1)\), \(\Cov(R_2,R_2)\) и \(\Cov(R_3,R_3)\), соответственно.

Опираясь на этот факт, можно вывести наиболее компактный вид Формулы 15:

\(\sigma^2(R_p) = \dsum_{i=1}^{3} \dsum_{j=1}^{3}w_i w_j \Cov(R_i,R_j) \)

Знаки суммирования говорят: «Установите i = 1, и пусть j меняется от 1 до 3; затем установите i = 2 и пусть j меняется от 1 до 3; затем установите i = 3 и пусть j меняется от 1 до 3; наконец, добавьте девять членов".

Эту формулу можно использовать для портфеля любого размера n:

\(\large \sigma^2(R_p) = \dsum_{i=1}^{3} \dsum_{j=1}^{3}w_i w_j \Cov(R_i,R_j) \) (Формула 16)

Из Формулы 15 видно, что отдельные отклонения доходности составляют часть, но не все отклонения портфеля. Три отклонения фактически превосходят по численности шесть ковариационных членов вне диагонали. Для трех активов это соотношение составляет 1 к 2 или 50 процентов.

Если имеется 20 активов, то есть 20 дисперсионных слагаемых и 20(20) - 20 = 380 недиагональных ковариационных слагаемых. Отношение слагаемых дисперсии к недиагональным слагаемым ковариации составляет менее 6 к 100, или 6%. Таким образом, первое наблюдение заключается в том, что с увеличением числа активов портфеля ковариация становится все более важной, в остальном все не меняется.

Когда значение ковариации как «недиагональной ковариации» очевидно, как здесь, мы опускаем уточняющие слова. Ковариация обычно используется в этом смысле.

Как именно влияет ковариация на дисперсию доходности портфеля?

Члены ковариации показывают, как совместное движение доходности отдельных активов влияет на дисперсию всего портфеля.

Например, рассмотрим две акции: одна имеет тенденцию к высокой доходности (относительно ее ожидаемой доходности), а другая имеет низкую доходность (относительно ее ожидаемой доходности).

Доходность одной акции имеет тенденцию компенсировать доходность другой акции, снижая изменчивость или дисперсию доходности портфеля.

Как и дисперсию, значения ковариации трудно интерпретировать, и мы вскоре представим более интуитивно понятную концепцию. Между тем, из определения ковариации мы можем установить два существенных примечания о ковариации.

1. Мы можем интерпретировать ковариацию следующим образом:

  • Ковариация доходности отрицательна, когда доходность одного актива выше его ожидаемого значения, а доходность другого актива имеет тенденцию быть ниже его ожидаемого значения (средняя обратная зависимость между ставками доходности).
  • Ковариация доходности равна 0, если доходность активов не связана.
  • Ковариация доходности положительна, когда доходность обоих активов, как правило, находятся по одну сторону (выше или ниже) относительно ожидаемых значений в одно и то же время (средняя положительная зависимость между ставками доходности).

2. Ковариация случайной величины с самой собой (собственная ковариация) - это ее собственная дисперсия:

\( \begin{aligned}
\Cov(R, R) &= E \Big\{ \big[R - E (R) \big] \big[R - E (R) \big] \Big \} \\
&= E \Big \{ \big[R - E(R) \big]^2 \Big\} = \sigma^2(R)
\end{aligned}\)

Полный список ковариаций составляет все статистические данные, необходимые для расчета дисперсии доходности портфеля. Ковариации часто представлены в табличном формате, который называется ковариационной матрицей (англ. 'covariance matrix').

В Таблице 7 показано, как вводятся расчетные значения в ковариационную матрицу для ожидаемой доходности и дисперсии доходности портфеля.

Таблица 7. Ожидаемая доходность и дисперсия портфеля - значения матрицы:

Актив

A

B

C

E(RA) 

E(RB) 

E(RC)

Актив

A

B

C

A

\(\mathbf{\Cov(R_A,R_A)}\)

\(\Cov(R_A,R_B)\)

\(\Cov(R_A,R_C)\)

B

\(\Cov(R_B,R_A)\)

\(\mathbf{\Cov(R_B,R_B)}\)

\(\Cov(R_B,R_C)\)

C

\(\Cov(R_C,R_A)\)

\(\Cov(R_C,R_B)\)

\(\mathbf{\Cov(R_C,R_C)}\)

Для трех активов ковариационная матрица имеет \(3^2 = 3 \times 3 = 9 \) ячеек, но значения ячеек по диагонали (дисперсия) обычно рассчитываются отдельно от недиагональных ячеек. Эти диагональные значения выделены жирным шрифтом в Таблице 7.

Это различие естественно, так как дисперсия акций - это концепция с одной переменной. Таким образом, есть 9 - 3 = 6 ковариаций, исключая дисперсии.

Но

\( \Cov(R_B,R_A) = \Cov(R_А,R_В)\), \( \Cov(R_С,R_A) = \Cov(R_B,R_A) \)

и

\( \Cov(R_С,R_B) = \Cov(R_B,R_C) \)

Ковариационная матрица под диагональю является зеркальным отображением ковариационной матрицы над диагональю. В результате, есть только 6/2 = 3 различных ковариационных члена для оценки. В целом, для n ценных бумаг существует \( n(n - 1)/2 \) различных ковариаций для оценки и n дисперсий для оценки.

Предположим, у нас есть ковариационная матрица, показанная в Таблице 8.

Мы будем работать с доходностью, указанной в процентах, а записи в таблице будут выражены в процентах в квадрате (%2). Члены 38%2 и 400%2 равны 0.0038 и 0.0400 соответственно в десятичном виде; правильная работа в процентах и ​​десятичных дробях приводит к одинаковым ответам.

Таблица 8. Ковариационная матрица.

S&P 500

Долгосрочные корпоративные облигации США

MSCI EAFE

S&P 500

400

45

189

Долгосрочные корпоративные облигации США

45

81

38

MSCI EAFE

189

38

441

Если взять Формулу 15 и сгруппировать дисперсионные члены, мы получим следующее:

(Формула 17)

\( \large \begin{aligned}
\sigma^2(R_p) &= w_1^2 \sigma^2(R_2) + w_2^2 \sigma^2(R_2) \\
&+ w_3^2 \sigma^2(R_3) \\
&+ 2w_1w_2 \Cov(R_1,R_2) \\
&+ 2w_1w_3 \Cov(R_1,R_3) \\
&+ 2w_2w_3 \Cov(R_2,R_3)
\end{aligned} \)

\(
\small
\begin{aligned}
\sigma^2(R_p) &= (0.50)^2(400) + (0.25)^2(81) + (0.25)^2(441) \\
&+ 2(0.50)(0.25)(45) + 2(0.50)(0.25)(189) \\
&+ 2(0.25)(0.25)(38) \\
&= 100 + 5.0625 + 27.5625 + 11.25 + 47.25 + 4.75 = 195.875
\end{aligned} \)

Разница составляет 195.875. Стандартное отклонение доходности составляет 195.8751/2 = 14%. В итоге, ожидаемая годовая доходность портфеля составляет 11.75%, а стандартное отклонение доходности - 14%.

Давайте посмотрим на первые три члена в приведенном выше расчете. Их сумма, 100 + 5.0625 + 27.5625 = 132.625, является вкладом отдельных дисперсий активов в общую дисперсию портфеля. Если бы доходность по трем активам была независимой, ковариации были бы равны 0, а стандартное отклонение доходности портфеля составило бы 132.6251/2 = 11.52% по сравнению с 14% ранее.

Портфель будет иметь меньший риск. Предположим, что члены ковариации были отрицательными. Тогда к 132.625 будет добавлено отрицательное число, поэтому дисперсия портфеля и риск будут еще меньше.

В то же время мы не изменили ожидаемую доходность. При той же ожидаемой доходности портфеля, портфель имеет меньший риск. Это снижение риска является преимуществом диверсификации, что означает снижение риска от владения портфелем активов.

Преимущество диверсификации увеличивается с уменьшением ковариации.

Это наблюдение является ключевым понятием современной теории портфеля. Это станет еще более интуитивно понятно, когда мы рассмотрим концепцию корреляции. Тогда мы сможем сказать, что до тех пор, пока ставки доходности акций портфеля не имеют абсолютно положительной корреляции, возможны преимущества диверсификации.

Кроме того, чем меньше корреляция между доходностью акций, тем выше стоимость отказа от диверсификации (с точки зрения упущенных выгод от снижения риска), при прочих равных условиях.

Определение корреляции.

Корреляция (англ. 'correlation') между двумя случайными величинами, \(R_i\) и \(R_j\), определяется как:

\( \large \dst
\rho(R_i,R_j) = {\Cov(R_i, R_j) \over \sigma(R_i)\sigma(R_j)} \)

Альтернативными обозначениями корреляции являются \(\mathrm{Corr}(R_i,R_j) \) и \( \rho_{ij}\).

Ковариация часто представляется с использованием выражения:

\( \large \Cov(R_i, R_j) = \rho(R_i,R_j) \sigma(R_i)\sigma(R_j) \)

Деление, указанное в определении, делает корреляцию чистым числом (т.е. без единицы измерения) и устанавливает границы для ее наибольшего и наименьшего возможных значений.

Используя приведенное выше определение, мы можем сформулировать корреляционную матрицу только на основе данных из ковариационной матрицы. В Таблице 9 показана матрица корреляции.

Таблица 9. Корреляционная матрица доходности.

S&P 500

Долгосрочные корпоративные облигации США

MSCI EAFE

S&P 500

1.00

0.25

0.45

Долгосрочные корпоративные облигации США

0.25

1.00

0.20

MSCI EAFE

0.45

0.20

1.00

Например, ковариация между долгосрочными облигациями и MSCI EAFE составляет 38, как указано в Таблице 8. Стандартное отклонение доходности долгосрочных облигаций составляет 811/2 = 9%, а доходности MSCI EAFE - 4411/2 = 21% (см. диагональные члены в Таблице 8).

Корреляция \(\rho\)(Доходность долгосрочных облигаций, Доходность EAFE) составляет 38 / (9%) (21%) = 0.201, округленное до 0.20.

Корреляция доходности S&P 500 с самой собой равно 1: расчет представляет собой собственную ковариацию, деленную на квадрат стандартного отклонения.

Свойства корреляции.

1. Корреляция - это число от -1 до +1 для двух случайных величин, \(X\) и \(Y\):

\( -1 \leq \rho(X,Y) \leq + 1 \)

2. Корреляция 0 (некоррелированные переменные) указывает на отсутствие какой-либо линейной (прямой) взаимосвязи между переменными.

Если корреляция равна 0, \(R_1 = a + bR_2\) + ошибка, при \(b = 0\).

  • Растущая положительная корреляция указывает на все более сильную положительную линейную зависимость (до 1, что указывает на идеальную линейную зависимость).
  • Растущая отрицательная корреляция указывает на все более сильную отрицательную (обратную) линейную зависимость (до -1, что указывает на идеальную обратную линейную зависимость).
  • Если корреляция положительна, \(R_1 = a + bR_2\) + ошибка, при b > 0. Если корреляция отрицательна, b < 0.

Пример (12) расчета ожидаемой доходности и дисперсии доходности портфеля.

У вас есть портфель из двух взаимных инвестиционных фондов, A и B. 75% портфеля вложено в A, как показано в Таблице 10.

Таблица 10. Ожидаемая доходность, дисперсия и ковариация доходности взаимных фондов.

Фонд

A

B
E(RA) = 20% E(RB) = 12%

Ковариационная матрица

Фонд

A

B

A

625

120

B

120

196
  1. Рассчитайте ожидаемую доходность портфеля.
  2. Рассчитайте матрицу корреляции для этой задачи. Рассчитайте значения матрицы до двух десятичных знаков.
  3. Рассчитайте стандартное отклонение доходности портфеля.

Решение для части 1:

\( E(R_p) = w_AE(R_A) + (1 - w_A)E(R_B) \)
= 0.75(20%) + 0.25(12%) = 18%.

Веса портфеля должны составлять в сумме 1: \(W_B = 1 - W_A \).

 

Решение для части 2:

\(\sigma(R_A) = 625^{1/2} = 25\%\), \(\sigma(R_B) = 196^{1/2} = 14\%\).

Существует одна четкая ковариация и, следовательно, одна четкая корреляция:

\( \begin{aligned}
 \rho(R_A,R_B) &= \dst {\Cov(R_A, R_B) \over \sigma(R_A)\sigma(R_B)} \\[1ex]
&= 120 / [25(14)] = 0.342857 \text{  или  } 0.34
\end{aligned} \)

В Таблице 11 показана корреляционная матрица.

Таблица 11. Матрица корреляции.

A

B

A

1.00

0.34

B

0.34

1.00

В корреляционной матрице диагональные члены всегда равны 1.

Решение для части 3:

\( \begin{aligned}
\sigma^2(R_p) &= w_A^2 \sigma^2(R_A) + w_B^2 \sigma^2(R_B) + 2w_Aw_B \Cov(R_A,R_B) \\
&= (0.75)^2 (625) + (0.25)^2 (196) + 2(0.75)(0.25)(120) \\
&= 351.5625 + 12.25 + 45 = 408.8125
\end{aligned} \)

\( \sigma(R_p) = 408.8125^{1/2} = 20.22% \)

Как оценивать ковариацию и корреляцию доходности?

Часто мы делаем прогнозы на основе исторической ковариации или используем другие методы, основанные на исторических данных о доходности, такие как регрессионная модель рынка.

Мы также можем рассчитать ковариацию, используя функцию совместной вероятности случайных величин, если ее можно оценить.

Функция совместной вероятности (англ. 'joint probability function') двух случайных величин \(X\) и \(Y\), обозначенная как \(P(X, Y)\), дает вероятность совместного появления значений \(X\) и \(Y\). Например, \(P(3,2)\) - это вероятность того, что \(X\) равен 3 и \(Y\) равен 2.

Предположим, что функция совместной вероятности доходности акций BankCorp(RA) и доходностей акций NewBank(RB) имеет простую структуру, приведенную в Таблице 12.

Таблица 12. Функция совместной вероятности доходности BankCorp и NewBank (записи в ячейках - совместные вероятности).

RB = 20%

RB = 16%

RB = 10%

RA = 25%

0.20

0

0

RA = 12%

0

0.50

0

RA = 10%

0

0

0.30

Ожидаемая доходность акций BankCorp составляет:

0.20(25%) + 0.50(12%) + 0.30(10%) = 14%

Ожидаемая доходность акций NewBank составляет:

0.20(20%) + 0.50(16%) + 0.30(10%) = 15%

Функция совместной вероятности, приведенная выше, может отражать анализ, основанный на том, является ли состояние банковской отрасли хорошим, средним или плохим.

В Таблице 13 представлен расчет ковариации.

Таблица 13. Расчеты ковариации.

Состояние банковской индустрии

Отклоне-
ния доход-
ности BankCorp

Отклоне-
ния доход-
ности NewBank

Произ-
ведение откло-
нений

Вероят-
ность состояния

Произ-
ведение, взве-
шенное по вероят-
ности

Хорошее

25-14

20-15

55

0.20

11

Среднее

12-14

16-15

-2

0.50

-1

Плохое

10-14

10-15

20

0.30

6

Cov(RA,RB) = 16

Примечание. Ожидаемая доходность для BankCorp составляет 14%, а для NewBank - 15%.

Первый и второй столбцы чисел показывают, соответственно, отклонения доходности BankCorp и NewBank от их среднего или ожидаемого значения.

В следующем столбце показано произведение отклонений. Например, для хорошего состояния отрасли (25–14)(20–15) = 11(5) = 55.

Затем 55 умножается на 0.20 или взвешивается на вероятность того, что условия банковской отрасли являются хорошими: 55(0.20) = 11.

Расчеты для средних и плохих банковских условий выполняются по той же схеме. Суммируя эти взвешенные по вероятности произведения, получим, что \(\Cov(R_A,R_B) \) = 16.

Формула для вычисления ковариации между случайными переменными \(R_A\) и \(R_B\) имеет вид:

(Формула 18)

\( \Cov(R_A,R_B) = \dsum_{i} \dsum_{j} P(R_{A,j},R_{B,j})(R_{A,j} - ER_A)(R_{B,j} - ER_B) \)

Формула предписывает нам суммировать все возможные отклонения перекрестных произведений, взвешенных по соответствующей совместной вероятности.

В этом примере, как показано в Таблице 12, только три совместные вероятности отличны от нуля. Следовательно, при вычислении ковариации доходности в этом случае нам нужно учитывать только три перекрестных произведения:

\(
\small
\begin{aligned}
\Cov(R_A,R_B) &= P(25,20) \big[(25-14) (20-15)\big] \\
&+ P(12,16) \big[(12-14)(16-15) \big] \\ &+ P(10,10) \big[(10-14)(10-15)\big] \\
&= 0,20(11)(5) + 0,50(-2)(1) + 0,30(-4)(- 5) \\
&= 11 - 1 + 6 = 16
\end{aligned} \)

Одной из тем этого чтения была независимость событий. Две случайные переменные являются независимыми, когда каждая возможная пара событий (одно событие, соответствующее значению \(X\), и другое событие, соответствующее значению \(Y\)) - являются независимыми событиями. Когда две случайные величины независимы, их функция совместной вероятности упрощается.

Определение независимости для случайных величин.

Две случайные величины \(X\) и \(Y\) независимы тогда и только тогда, когда:

\( P(X,Y) = P(X)P(Y) \)

Например, учитывая независимость:

\(P(3,2) = P(3)P(2)\)

Мы умножаем отдельные вероятности, чтобы получить совместные вероятности. Независимость является более сильным свойством, чем некоррелированность, потому что корреляция касается только линейных зависимостей.

Следующее правило распространяется на независимые случайные величины и, следовательно, также на некоррелированные случайные величины.

Правило умножения для ожидаемого значения произведения некоррелированных случайных величин.

Ожидаемое значение произведения некоррелированных случайных величин является произведением их ожидаемых значений.

\( \large E(XY) = E(X) E(Y) \)

если \(X\) и \(Y\) не коррелированны.

Многие финансовые переменные, такие как выручка (цена, умноженная на количество), являются произведением случайных величин. Когда это применимо, приведенное выше правило упрощает расчет ожидаемого значения произведения случайных величин.

В противном случае расчет зависит от условного ожидаемого значения; расчет может быть выражен как:

\( E(XY) = E (X) E(Y|X) \)