Инвесторы постоянно собирают и анализируют огромные объемы информации о рынках ценных бумаг. Поскольку эта работа может быть весьма трудоемкой и требует интенсивной обработки данных, инвесторы часто используют единый показатель, который объединяет всю эту информацию и отражает результат всего рынка ценных бумаг.

Фондовые индексы были впервые представлены в качестве простого показателя, чтобы показать эффективность всего фондового рынка США.

С тех пор индексы рынка ценных бумаг превратились в важные многоцелевые инструменты, которые помогают инвесторам отслеживать результаты различных рынков ценных бумаг, оценивать риск и эффективность инвестиционных менеджеров. Они также формируют основу для новых инвестиционных продуктов.

Происхождение рыночных индексов.

Инвесторы имели доступ к регулярно публикуемым данным об отдельных ценах на ценные бумаги в Лондоне еще в 1698 году, но прошло почти 200 лет, прежде чем они пришли к простому показателю, отражающему общую информацию о рынке ценных бумаг.

Чтобы дать своим читателям ощущение того, как в целом показал себя американский фондовый рынок за данный день, издатели Чарльз Х. Доу (Charles H. Dow) и Эдвард Д. Джонс (Edward D. Jones) в 1884 году представили показатель Dow Jones Average, который стал первым в мире индексом рынка ценных бумаг.

Индекс, который появился в газете The Customers' Afternoon Letter, состоял из акций 9-ти железных дорог и 2-х промышленных компаний. В конечном итоге он стал индексом транспортных компаний Dow Jones Transportation Average.

Убедившись в том, что промышленные компании, а не железные дороги, будут «великим спекулятивным рынком» будущего, Доу и Джонс ввели второй индекс в мае 1896 года - Dow Jones Industrial Average (DJIA). Он имел первоначальное значение 40.94 и состоял из 12 акций основных отраслей США.

Сегодня инвесторы могут выбирать из тысяч индексов для оценки и мониторинга различных фондовых рынков и классов активов.

В этом чтении рассматриваются следующие темы:

Определение фондового индекса.

Рыночный индекс, фондовый индекс или индекс рынка ценных бумаг (англ. 'security market index') представляет собой совокупный показатель данного рынка ценных бумаг, сегмента рынка или класса активов. Большинство индексов построены как портфели рыночных ценных бумаг.

Значение индекса рассчитывается на регулярной основе, с использованием либо фактических, либо предполагаемых рыночных цен на отдельные ценные бумаги, известные как составляющие ценные бумаги или компоненты индекса (англ. 'constituent securities').

Для каждого рыночного индекса инвесторы могут столкнуться с двумя версиями одного индекса (т.е., с идентичными ценными бумагами и весами): версия на основе ценовой доходности и версия на основе полной или суммарной доходности.

Как следует из названия, индекс ценовой доходности или ценовой индекс (англ. 'price return index', 'price index'), отражает только цены на составляющие ценные бумаги индекса. В отличие от него, индекс полной доходности, индекс совокупной доходности или индекс суммарной доходности (англ. 'total return index'), отражает не только цены на составляющие ценные бумаги, но и реинвестирование всех доходов по ним, полученных с момента создания индекса.

В начале значения индексов ценовой и полной доходности равны. Однако со временем, индекс полной доходности будет включать в себя реинвестирование всех полученных дивидендов и/или процентов, и, соответственно, превысит значение индекса ценовой доходности, и эта разница будет постоянно расти.

Расчет значений каждой версии индекса за несколько периодов иллюстрирует различия между ними.

Значение ценового индекса рассчитывается следующим образом:

\(
\def\pRI{{\small PRI}}
\def\prIT{{\small PRIT}}
\def\iT{{\small IT}}
\def\tRI{{\small TRI}}
\def\trIT{{\small TRIT}}
\def\PR{{\rm PR}}
\def\TR{{\rm TR}}
\def\Inc{{\rm Inc}}

\large \dst V_{\pRI} = { \dsum^N_{i=1} n_i P_i \over D} \)  (Формула 1)

где

  • \( V_{\pRI} \) = значение индекса ценовой доходности,
  • \( n_i \) = количество составляющей ценной бумаги \(i\) в портфеле индекса,
  • \( N \) = количество составляющих ценных бумаг в индексе,
  • \( P_i \) = цена составляющей ценной бумаги \(i\),
  • \( D \) = значение делителя.

Делитель \(D\) - это число, первоначально выбранное при создании индекса. Он часто выбирается таким образом, чтобы ценовой индекс имел удобное круглое начальное значение, например 1,000.

Затем провайдер индекса корректирует значение делителя по мере необходимости, чтобы избежать изменений в индексе, которые не связаны с изменениями цен на его компоненты - составляющие ценные бумаги.

Например, при изменении компонентов индекса провайдер индекса может скорректировать делитель так, чтобы значение индекса с новыми компонентами было равно значению индекса до данного изменения.

Расчет доходности индекса, такой как расчет доходности инвестиционного портфеля, может оценивать ценовую доходность или полную доходность.

Ценовая доходность (англ. 'price return') представляет собой только оценку цены или процентное изменение цены.

Полная доходность (англ. 'total return') представляет собой оценку ценовой доходности, плюс проценты, дивиденды и прочие распределения доходов.

Расчет доходности индекса за один период.

Ценовая доходность фондового индекса может быть рассчитана двумя способами: либо как процентное изменение значения ценового индекса, либо как средневзвешенное значение доходности составляющих ценных бумаг индекса.

Ценовую доходность индекса можно представить следующим образом:

\( \large \dst
\PR_I = { V_{\pRI1} - V_{\pRI0} \over V_{\pRI0} } \) (Формула 2)

где

  • \( \PR_I \) = ценовая доходность портфеля индекса (как десятичное число, то есть 12% как 0.12),
  • \( V_{\pRI1} \) = значение ценового индекса на конец периода,
  • \( V_{\pRI0} \) = значение ценового индекса на начало периода.

Аналогичным образом, ценовая доходность каждой составной ценной бумаги можно выразить как:

\( \large \dst
\PR_i = { P_{i1} - P_{i0} \over P_{i0} } \)  (Формула 3)

где

  • \( \PR_i \) = ценовая доходность составляющей ценной бумаги \(i\) (как десятичное число),
  • \( P_{i1} \) = цена составляющей ценной бумаги \(i\) на конец периода,
  • \( P_{i0} \) = цена составляющей ценной бумаги \(i\) на начало периода.

Поскольку ценовая доходность индекса равна средневзвешенной ценовой доходности отдельных ценных бумаг, мы можем сформулировать ее как:

\( \large \dst
\PR_I = \sum^N_{i=1} w_i \PR_i = \sum^N_{i=1} w_i \left( { P_{i1} - P_{i0} \over P_{i0} }  \right) \)  (Формула 4)

где

  • \( \PR_I \) = ценовая доходность портфеля индекса (как десятичное число),
  • \( \PR_i \) = ценовая доходность составляющей ценной бумаги \(i\) (как десятичное число),
  • \( N \) = количество отдельных ценных бумаг в индексе,
  • \( w_i \) = вес ценной бумаги \(i\) (доля портфеля индекса, приходящаяся на ценную бумагу \(i\)),
  • \( P_{i1} \) = цена составляющей ценной бумаги \(i\) на конец периода,
  • \( P_{i0} \) = цена составляющей ценной бумаги \(i\) на начало периода.

Формулу 4 можно представить в более простом виде:

\( \large \dst
\PR_I = w_1 \PR_1 + w_2 \PR_2 + \ldots + w_N \PR_N  \)  (Формула 5)

где

  • \( \PR_I \) = ценовая доходность портфеля индекса (как десятичное число),
  • \( \PR_i \) = ценовая доходность составляющей ценной бумаги \(i\) (как десятичное число),
  • \( w_i \) = вес ценной бумаги \(i\) (доля портфеля индекса, приходящаяся на ценную бумагу \(i\)),
  • \( N \) = количество отдельных ценных бумаг в индексе.

Полная доходность включает в себя ценовую доходность, проценты, дивиденды и прочие распределения доходов.

Таким образом, полная или суммарная доходность индекса (англ. 'total return') отражает цену или изменение значения ценового индекса, плюс доход (дивиденды и/или проценты) за период, выраженный в процентах от значения ценового индекса на начало периода.

Полная доходность индекса может быть выражена как:

\( \large \dst
\TR_I = { V_{\pRI1} - V_{\pRI0} + \Inc_I \over V_{\pRI0} } \)  (Формула 6)

где

  • \( \TR_I \) = полная доходность портфеля индекса (как десятичное число),
  • \( V_{\pRI1} \) = значение ценового индекса на конец периода,
  • \( V_{\pRI0} \) = значение ценового индекса на начало периода,
  • \( \Inc_{i} \) = общий доход (дивиденды и/или проценты) от всех ценных бумаг в индексе, за период.

Полную доходность индекса также можно рассчитать как средневзвешенное значение полной доходности составляющих ценных бумаг. Полная доходность каждой составляющей ценной бумаги в индексе рассчитывается как:

\( \large \dst
\TR_i = { P_{1i} - P_{0i} + \Inc_i \over P_{0i} } \)  (Формула 7)

где

  • \( \TR_i \) = полная доходность составляющей ценной бумаги \(i\) (как десятичное число),
  • \( P_{1i} \) = цена составляющей ценной бумаги \(i\) на конец периода,
  • \( P_{0i} \) = цена составляющей ценной бумаги \(i\) на начало периода.
  • \( \Inc_{i} \) = общий доход (дивиденды и/или проценты) составляющей ценной бумаги \(i\) за период.

Поскольку полная доходность индекса можно рассчитать как средневзвешенное значение полной доходности составляющих ценных бумаг, мы можем выразить ее как:

\( \large \dst
\TR_I = \sum^N_{i=1} w_i \TR_i = \sum^N_{i=1} w_i \left( { P_{1i} - P_{0i} + \Inc_i \over P_{0i} }  \right) \) (Формула 8)

Формулу 8 можно упростить до следующего вида:

\( \large \dst
\TR_I = w_1 \TR_1 + w_2 \TR_2 + \ldots + w_N \TR_N  \) (Формула 9)

где

  • \( \TR_I \) = ценовая доходность портфеля индекса (как десятичное число),
  • \( \TR_i \) = ценовая доходность составляющей ценной бумаги \(i\) (как десятичное число),
  • \( w_i \) = вес ценной бумаги \(i\) (доля портфеля индекса, приходящаяся на ценную бумагу \(i\)),
  • \( N \) = количество ценных бумаг в индексе.

Расчет значений индекса за несколько периодов.

Расчет значений индекса за несколько временных периодов требует геометрического связывания временного ряда значений доходности индекса.

Имея ряд значений ценовой доходности, мы можем рассчитать значение ценового индекса с помощью следующей формулы:

\( \large \dst
V_{\prIT} = V_{\pRI0}(1 + \PR_{I1})(1 + \PR_{I2}) \ldots (1 + \PR_{\iT}) \) (Формула 10)

где

  • \( V_{\pRI0} \) = значение ценового индекса при его создании,
  • \( V_{\prIT} \) = значение ценового индекса в момент времени \(t\),
  • \( \PR_{\iT} \) = ценовая доходность (как десятичное число) по индексу за период \(t\), \( t = 1, 2, \ldots, T \).

Например, для индекса со значением при создании 1,000 и ценовой доходностью 5% и 3% за периоды 1 и 2 соответственно, значения ценового индекса будут рассчитаны следующим образом:

Период

Доходность (%)

Расчет

Значение
на конец периода

0

1,000(1.00)

1,000.00

1

5.00

1,000(1.05)

1,050.00

2

3.00

1,000(1.05)(1.03)

1,081.50

Аналогичным образом, ряд значений полной доходности индекса можно использовать для расчета индекса полной доходности с помощью следующей формулой:

\( \large V_{\trIT} = V_{\tRI0}(1 + \TR_{I1})(1 + \TR_{I2}) \ldots (1 + \TR_{\iT}) \) (Формула 11)

где

  • \( V_{\tRI0} \) = значение индекса при его создании,
  • \( V_{\trIT} \) = значение индекса полной доходности в момент времени \(t\),
  • \( \TR_{\iT} \) = полная доходность (как десятичное число) по индексу за период \(t\), \( t = 1, 2, \ldots, T \).

Предположим, что индекс приносит дополнительные 1.5% доходности от дохода за период 1, и дополнительные 2.0% доходности от дохода в период 2. Полная доходность за периоды 1 и 2 составляет, соответственно, 6.5% и 5%.

Значения индекса полной доходности можно рассчитать следующим образом:

Период

Доходность (%)

Расчет

Значение
на конец периода

0

1,000(1.00)

1,000.00

1

6.50

1,000(1.065)

1,065.00

2

5.00

1,000(1.065)(1.05)

1,118.25

Как показано выше, с течением времени индекс полной доходности, который включает в себя реинвестирование всех полученных дивидендов и/или процентов, будет превышать ценовой индекс, и разница между ними будет постепенно увеличиваться.