CFA - Средний срок погашения портфеля облигаций

Подобно акциям, облигации обычно удерживаются в портфеле. Есть два способа расчета показателя среднего срока погашения (дюрации) для портфеля облигаций:

Первый метод - теоретически правильный подход, но на практике его трудно использовать. Второй метод обычно используется менеджерами портфелей с фиксированным доходом, но он имеет собственные ограничения.

Различия в этих двух методах расчета дюрации портфеля можно изучить на примере. Предположим, что инвестор удерживает следующий портфель из двух бескупонных облигаций:

Цены указаны в д.е. на 100 д.е. номинальной стоимости. Доходность к погашению соответствует эффективным годовым ставками. Общая рыночная стоимость портфеля составляет 19,600,000. Портфель равномерно взвешен с точки зрения рыночной стоимости.

Первый подход рассматривает портфель как серию агрегированных денежных потоков. Его доходность по денежному потоку составляет 7.8611%.

Доходность по денежному потоку или денежная доходность (англ. 'cash flow yield') - это внутренняя ставка доходности для серии денежных потоков, обычно используемая для комплексных облигаций, таких как ипотечная облигация (использующая прогнозируемые денежные потоки на основе модели досрочного погашения при рефинансировании) или портфель облигаций с фиксированной ставкой.

Следующее выражение показывает решение для \(r\).

\( \begin{aligned} \dst
19,600,000 &= {10,000,000 \over (1+r)^1} + {0 \over (1+r)^2} + \ldots + \\
&+ {0 \over (1+r)^{29}} + {100,000,000 \over (1+r)^{30}}, \\
r &= 0.078611
\end{aligned} \)

Дюрация Маколея для портфеля при этом подходе соответствует средневзвешенному сроку получения агрегированного денежного потока. Доходность по денежному потоку используется для определения весов. Этот расчет аналогичен Формуле 1, а дюрация портфеля составляет 16.2825.

MacDur =
\( \dst \left[ { \dst
{1 \times 10,000,000 \over 1.078611^1} + {30 \times 100,000,000 \over 1.078611^{30}}
\over \dst
{10,000,000 \over 1.078611^{1}} + {100,000,000 \over 1.078611^{30}}
} \right] = 16.2825
\)

В портфеле есть только два будущих денежных потока - выкуп основной суммы по двум бескупонным облигациям. В более сложных портфелях может возникать серия купонных и основных платежей, при этом агрегированный денежный поток состоит из процентных купонов по некоторым облигациям и основных выплат при погашении.

Модифицированная дюрация портфеля - это дюрация Маколея, деленная на единицу плюс денежная доходность за период (здесь периодичность составляет 1).

ModDur = \( \dst {16.2825 \over 1.078611} \) = 15.0958

Модифицированная дюрация портфеля составляет 15.0958. Этот показатель указывает на процентное изменение рыночной стоимости с учетом изменения доходности по денежному потоку.

Если доходность по денежному потоку увеличивается или уменьшается на 100 б.п., ожидается, что рыночная стоимость портфеля уменьшится или увеличится примерно на 15.0958%.

Хотя этот подход теоретически правильный, но его трудно использовать на практике:

• Во-первых, доходность по денежному потоку обычно не рассчитывается для портфелей облигаций.
• Во-вторых, сумма и сроки будущих купонных и основных платежей неопределенны, если портфель содержит облигации с колл-опционами или пут-опционами или облигации с плавающей ставкой.
• В-третьих, риск процентной ставки обычно выражается как изменение базовых процентных ставок, а не как изменение доходности по денежному потоку.
• В-четвертых, изменение доходности по денежному потоку не обязательно соответствует изменению доходности к погашению отдельных облигаций. Например, если доходность к погашению по двум бескупонным облигациям в этом портфеле увеличивается или уменьшается на 10 б.п., доходность по денежному потоку увеличивается или уменьшается только на 9.52 б.п.

На практике для расчета дюрации портфеля обычно используется второй подход. Дюрация Маколея и модифицированная дюрация для портфеля рассчитываются как средневзвешенный показатель для отдельных облигаций. Доли общей рыночной стоимости портфеля являются весами.

Это средневзвешенное значение является приближением теоретически правильной дюрации портфеля, которая рассчитывается с использованием первого подхода. Это приближение становится более точным, когда различия в доходности к погашению по облигациям портфеля становятся меньше. Когда кривая доходности является плоской, два подхода дают одинаковую дюрацию портфеля.

Учитывая равные веса «50/50» в этом простом примере, эта версия дюрации портфеля легко рассчитывается.

Обратите внимание, что 1/1.020404 и 27.765 = 30/1.080503. Преимущество второго подхода состоит в том, что отзывные облигации, облигации с пут-опционом и облигации с плавающей ставкой могут быть включены в расчет средневзвешенного значения с использованием эффективной дюрации для этих ценных бумаг.

Основным преимуществом второго подхода является то, что его легко использовать в качестве показателя риска процентной ставки. Например, если доходность к погашению облигаций в портфеле увеличивается на 100 б.п., предполагаемое падение стоимости портфеля составляет 14.3725%.

Однако это преимущество также означает ограничение: этот показатель дюрации портфеля неявно предполагает параллельный сдвиг в кривой доходности. Параллельный сдвиг подразумевает, что все ставки изменяются на одинаковую сумму в одном и том же направлении.

В действительности изменение процентных ставок часто приводит к более крутой или более плоской кривой доходности. Волатильность доходности обсуждается далее в этом чтении.

Пример (11) оценки процентного убытка рыночной стоимости портфеля.

Инвестиционный фонд владеет следующим портфелем из трех государственных облигаций с фиксированной ставкой:

Общая рыночная стоимость портфеля составляет €96,437,017. Расчет для каждой облигации осуществляется на дату купона, поэтому нет начисленных процентов. Рыночная стоимость - это полные цены, с учетом номинальной стоимости. Купоны выплачиваются раз в полгода.

Доходность к погашению указана на полугодовой основе, что означает годовую ставку для периодичности 2. Дюрация Маколея приведена в годовом исчислении.

Рассчитайте среднюю (годовую) модифицированную дюрацию для портфеля, используя доли рыночной стоимости в качестве веса.

Оцените процентный убыток рыночной стоимости портфеля, если (годовая) доходность к погашению по каждой облигации увеличивается на 20 б.п.

Решение для части 1:

Средняя (годовая) модифицированная дюрация для портфеля составляет 6.0495.

Обратите внимание, что годовая модифицированная дюрация для каждой облигации - это годовая дюрация Маколея, деленная на единицу плюс доходность к погашению за полугодовой период.

Решение для части 2:

Снижение рыночной стоимости при увеличении доходности на 20 б.п. составляет 1.21%:

-6.0495 \(\times\) 0.0020 = -0.0121.