CFA - Денежная дюрация облигации и цена базисного пункта

Модифицированная дюрация - это показатель процентного изменения цены облигации, учитывающий изменение ее доходности к погашению. Денежная дюрация - это связанный с модифицированной дюрацией показатель.

Денежная дюрация облигации (англ. 'money duration') является показателем изменения цены, выраженным в денежных единицах валюты, в которой номинирована облигация.

Денежная дюрация может быть указана в д.е. на 100 д.е. номинальной стоимости или как фактический размер позиции облигации в портфеле. В США денежная дюрация обычно называется «долларовой дюрацией» (англ. 'dollar duration').

Денежная дюрация (MoneyDur) рассчитывается как годовая модифицированная дюрация,  умноженная на полную цену (\(\PV^{Full}\)) облигации, включая начисленные проценты.

MoneyDur = AnnModDur \(\times \PV^{Full} \) (Формула 10)

Изменение цены облигации, выраженное в валюте (д.е.) облигации, рассчитывается с использованием Формулы 11, которая очень похожа на Формулу 6. Разница состоит в том, что для данного изменения годовой доходности к погашению ( \(\Delta {\rm Yield}\) ) модифицированная дюрация оценивает процентное изменение цены, а денежная дюрация оценивает изменение в денежных единицах.

Для теоретического примера рассмотрим облигацию с 6% полугодовым купоном, с погашением 14 февраля 2027 года и доходностью 6.00% при расчете на 11 апреля 2019 года. Полная цена облигации составляет 100.940423 на 100 д.е. номинальной стоимости, а годовая модифицированная дюрация составляет 6.1268.

Предположим, что компания по страхованию жизни из Найроби открывает позицию по этой облигации по номинальной стоимости KES 100,000,000. Рыночная стоимость инвестиций - KES 100,940,423. Денежная дюрация этой облигации составляет KES 618,441,784 (= 6.1268 \(\times\) KES 100,940,423).

Следовательно, если доходность к погашению увеличивается на 100 б.п. - с 6.00% до 7.00% - ожидаемый убыток составляет приблизительно KES 6,184,418 (= KES 618,441,784 \(\times\) 0.0100). В процентном выражении этот ожидаемый убыток составляет приблизительно 6.1268%. Поправка на выпуклость, описываемая в следующем разделе, делает этот расчет более точным.

Другая версия денежной дюрации - цена базисного пункта или базисный пункт в ценовом выражении (PVBP, 'price value of a basis point') для облигации. PVBP - это оценка изменения полной цены при изменении доходности к погашению на 1 б.п.

PVBP можно рассчитать с использованием формулы, аналогичной таковой для приблизительной модифицированной дюрации. Формула 12 используется для расчета PVBP.

{\PV_-} и {PV_+} являются полными ценами, рассчитанными путем уменьшения и увеличения доходности к погашению на 1 б.п. PVBP также называют «PV01», что означает  «цена 01» или «приведенная стоимость 01», где «01» означает 1 б.п.

В США этот показатель обычно называют «DV01» т.е. «долларовая цена 01». Связанный показатель, который иногда называют «базисным пунктом» (или BPV, 'basis point value'), - это денежная дюрация, умноженная на 0.0001 (1 б.п.).

В качестве примера расчета PVBP рассмотрим 2.875% американскую казначейскую облигацию с полугодовым купоном. Облигация погашается 15 мая 2028 года. В Иллюстрации 5 показатель PVBP для этой облигации составляет 0.08540. Ее доходность к погашению составляет 2.849091%, а дата расчета приходится на 59 день 184-дневного периода начисления купона.

Чтобы подтвердить этот результат, рассчитаем другие цены, увеличив и уменьшив доходность к погашению.

Во-первых, увеличим доходность на 1 б.п. (0.01%), с 2.849091% до 2.859091%, чтобы найти \(\PV_+\), которая равна 100.594327.

\( \begin{aligned} \dst
\PV_+ &= \left[
{\dst 1.4375 \over \left(1+{0.02859091 \over 2} \right)^1} + \ldots +
{\dst 101.4375 \over \left(1+{0.02859091 \over 2} \right)^{20}}
\right] \\[1ex]
&\times \left(1+{0.02859091 \over 2} \right)^{59/184} \\
&= 101.594327
\end{aligned} \)

Затем уменьшите доходность к погашению на 1 б.п., с 2.849091% до 2.839091%, чтобы найти \(\PV_-\), которая равна 100.765123.

\( \begin{aligned} \dst
\PV_- &= \left[
{\dst 1.4375 \over \left(1+{0.02839091 \over 2} \right)^1} + \ldots +
{\dst 101.4375 \over \left(1+{0.02839091 \over 2} \right)^{20}}
\right] \\[1ex]
&\times \left(1+{0.02839091 \over 2} \right)^{59/184} \\
&= 100.765123
\end{aligned} \)

PVBP рассчитывается путем подстановки этих результатов в Формулу 12.

PVBP = \( \dst {100.765123 - 100.594327 \over 2} = 0.08540 \)

Другой показатель денежной дюрации, представляемый на странице Bloomberg YAS, является «риском». Он равен 8.540. Этот показатель риска Bloomberg - это просто PVBP (или PV01), умноженный на 100.

Пример (12) расчета и анализа денежной дюрации.

Страховая компания открывает позицию в $10 млн. (номинальная стоимость) в 5.95% облигации доминиканской республики, которая погашается 25 января 2027 года. Облигация оценивается в 101.996 на 100 д.е. номинальной стоимости и дает полугодовую доходность в 5.6511% при расчете на 24 июля 2018 года.

Общая рыночная стоимость позиции, включая начисленные проценты, составляет $10,495,447 или 104.495447 на 100 д.е. номинальной стоимости. Дюрация Маколея (годовая) составляет 6.622.

1. Рассчитайте денежную дюрацию для этой суверенной облигации, выраженную в д.е. на 100 номинальной стоимости.
2. Используя денежную дюрацию, оцените убыток по позиции для каждого увеличения доходности к погашению на 1 б.п. на дату расчета.

---

Решение для части 1:

Денежная дюрация - это годовая модифицированная дюрация, умноженная на полную цену облигации на 100 д.е. номинальной стоимости.

\( \dst
{ 6.622 \over 1 + {0.056511 \over 2} } \times $104.954472 = $675.92 \)

---

Решение для части 2:

Для каждого увеличения на доходности к погашению на 1 б.п. убыток составит $0.067592 на 100 д.е. номинальной стоимости:

$675.92 \(\times\) 0.0001 = $0.067592.

С учетом размера позиции в $10 млн. номинальной стоимости, предполагаемый убыток при увеличении доходности на 1 б.п. составляет $6,759.20. Денежная дюрация выражена в д.е. на 100 д.е. номинала, поэтому размер позиции в $10 млн. делится на $100.

\( \dst
$0.067592 \times {$10,000,000 \over $100} = $6,759.20 \)