Если рыночная цена облигации известна, Формулу 1 можно использовать для расчета доходности к погашению облигации, которую иногда называют доходностью при выкупе (англ. 'redemption yield', 'yield-to-redemption').

Доходность к погашению (англ. 'yield-to-maturity') - это внутренняя норма прибыли денежных потоков по облигации. Это единая процентная ставка, поэтому все будущие денежные потоки дисконтируются по этой ​​ставке и сумма приведенной стоимости всех денежных потоков равна цене облигации. Это подразумеваемая рыночная ставка дисконтирования.

Доходность к погашению - это норма прибыли по облигации для инвестора, учитывающая три важных допущения:

  • Инвестор удерживает облигацию до погашения.
  • Эмитент выплачивает все купоны и основную сумму в запланированные даты. Следовательно, доходность к погашению - это обещанная доходность, то есть доходность, предполагающая, что эмитент осуществит все платежи по облигации без дефолта.
  • Инвестор может реинвестировать купонные платежи с той же доходностью. Это является характеристикой внутренней нормы прибыли.

Например, предположим, что четырехлетняя 5% облигация с годовым купоном оценивается в 105 на 100 номинала. Доходностью к погашению будет решение следующего уравнения с нахождением ставки \( r \):

\( \begin{aligned} \dst
105 = {5 \over (1+r)^1} + {5 \over (1+r)^2} + {5 \over (1+r)^3} + {105 \over (1+r)^4}
\end{aligned} \)

Решение уравнения методом подбора или с использованием функций временной стоимости денег на финансовом калькуляторе или в Excel дает:

\( r = 0.03634 \)

Облигация продается с премией, поскольку ее купонная ставка (5%) больше, чем доходность, которая требуется инвесторам (3.634%).

Доходность к погашению не зависит от фактической номинальной стоимости облигации в портфеле ценных бумаг с фиксированным доходом.

Например, предположим, что у японского институционального инвестора есть трехлетняя 2.5% облигация с полугодовым купоном и номинальной стоимостью JPY100 млн.

В настоящее время облигация оценивается в JPY98,175,677. Доход за полугодовой период можно рассчитать путем решения данного уравнения для \(r\):

\( \begin{aligned} \dst
98.175677 &= {1.25 \over (1+r)^1} + {1.25 \over (1+r)^2} + {1.25 \over (1+r)^3} \\[1ex]
&+ {1.25 \over (1+r)^4} + {1.25 \over (1+r)^5} + {101.25 \over (1+r)^6}
\end{aligned} \)

Доходность за полугодовой период равна 1.571% (r = 0.01571), что можно в переводе в годовое исчисление дает:

\( 3.142\% \ (0.01571 \times 2 = 0.03142) \)

В целом, эта трехлетняя 2,5% полугодовая облигация на любую сумму номинальной стоимости имеет годовую доходность к погашению 3.142%, если ее цена составляет 98.175677% от номинальной стоимости.

Пример 2. Доходность к погашению для облигации с премией, дисконтной облигации и бескупонной облигации.

Рассчитайте доходность к погашению для следующих облигаций. Цены указаны на 100 д.е. от номинальной стоимости.

Облигация

Купона за период

Количество периодов
до погашения

Цена

A

3.5

4

103.75

B

2.25

6

96.50

C

0

60

22.375


Решение:

Облигация A

\( \begin{aligned} \dst
103.75 = {3.5 \over (1+r)^1} + {3.5 \over (1+r)^2} + {3.5 \over (1+r)^3} + {103.5 \over (1+r)^4}, \\[1ex] r = 0.02503
\end{aligned} \)

Облигация A продается с премией, поэтому ее доходность к погашению за период (2.503%) должна быть больше купонной ставки за период (3.5%).

Облигация B

\( \begin{aligned} \dst
96.50 = {2.25 \over (1+r)^1} + {2.25 \over (1+r)^2} + {2.25 \over (1+r)^3} + {2.25 \over (1+r)^4} \\[1ex] {2.25 \over (1+r)^5} + {102.25 \over (1+r)^6}, \ \ r = 0.02894
\end{aligned} \)

Облигация B продается с дисконтом, поэтому доходность к погашению за период (2.894%) должна быть больше купонной ставки за период (2.25%).

Облигация C

\( \begin{aligned} \dst
22.375 = {100 \over (1+r)^{60}}, \ \ r = 0.02527
\end{aligned} \)

Облигация С - это бескупонная облигациями, продающаяся со значительным дисконтом к номинальной стоимости. Ее доходность к погашению составляет 2.527% за период.