Среднее геометрическое значение чаще всего используется для усреднения темпов изменения во времени или для расчета скорости роста переменной.

В инвестициях мы часто используем среднее геометрическое для усреднения временного ряда ставок доходности актива или портфеля или для расчета темпов роста финансового показателя, такого как прибыль или выручка.

Например, в разделе, посвященному временной стоимости денег, мы вычислили темп роста продаж компании Hyundai Steel. Этот темп роста был средним геометрическим значением.

Из-за важности этой концепции в следующем разделе мы вернемся к использованию среднего геометрического и рассмотрим практические перспективы его использования. Среднее геометрическое определяется по следующей формуле.

Формула среднего геометрического.

Среднее геометрическое значение G (англ. 'geometric mean') множества наблюдений \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) равно:

\(\large \displaystyle
G = \sqrt[n]{X_1 X_2 X_3\dots X_n} \) (Формула 5)

где \(X_i \geq 0\) для \(i = 1,2, ..., n\)

Уравнение Формулы 5 имеет решение, и геометрическое среднее существует, только если произведение под знаком корня неотрицательно. Мы налагаем это ограничение таким образом, чтобы все наблюдения \( X_i \) в Формуле 5 были больше или равны нулю.

Мы можем найти геометрическое среднее, используя Формулу 5, напрямую, при помощи любого калькуляторс с клавишей возведения в степень (у большинства финансовых калькуляторов это клавиша \( y^x\)).

Мы также можем найти среднее геометрическое, используя натуральные логарифмы.

Формулу 5 также можно представить в следующем виде:

\(\large \dst
\ln{G} = \frac{1}{n} \ln{(X_1 X_2 X_3\dots X_n)}
\)

или как

\(\large \dst
\ln{G} = {\dsum_{i=1}^{n} \ln{X_i} \over n}
\)

Если мы вычислили \( \ln{G} \), то \( G=e^{ln{G}} \) (на большинстве калькуляторов клавишей для этого шага является \(e^x\)).

Рискованные активы могут иметь отрицательную доходность до -100% (если их цена падает до нуля), поэтому мы должны позаботиться об определении соответствующих переменных для усреднения при вычислении среднего геометрического.

Мы не можем просто рассчитать произведение ставок доходности выборки и затем взять \(n\)-ный корень, потому что доходность за любой период может быть отрицательной.

Мы должны пересмотреть результат расчета так, чтобы произведение ставок доходности под знаком корня было положительным. Мы делаем это, добавляя 1.0 к ставкам доходности, выраженным в десятичных числах.

Выражение \( 1 + R_t \) означает доход на конец года относительно начальной суммы инвестиций на начало года. Если мы используем выражение \( 1 + R_t \), наблюдения никогда не будут отрицательными, потому что отрицательный доход не может составлять менее -100% (т.е. менее -1).

Результатом будет среднее геометрическое \( 1 + R_t \); затем вычитая 1.0 из этого результата, мы получаем среднее геометрическое для отдельных ставок доходности \( R_t \).

Например, доходность Индексного фонда RBC за период 2008-2012 гг. из Таблицы 13 можно представить в десятичной форме как:

-0.331, 0.341, 0.168, -0.092, и 0.064.

Добавление 1.0 к этим ставкам дает:

0.669, 1.341, 1.168, 0.908 и 1.064.

Используя Формулу 5, мы получим:

\( \begin{align}
& \sqrt[5]{(0.669)(1.341)(1.168)(0.908)(1.064)} = \\
& \sqrt[5]{51.012337} = 1.002455
\end{align} \)

Полученное число равно 1 плюс среднее геометрическое ставки доходности. Вычитая 1.0 из этого результата, мы получаем 1.002455 - 1.0 = 0.002455 или примерно 0.25%.

Среднегеометрическая доходность Канадского индексного фонда RBC за период 2008-2012 годов составила 0,25 процента.

Уравнение, которое суммирует вычисление среднего геометрического доходности (или геометрической ставки доходности), \( R_G \), является слегка измененной версией Формулы 5, в которой \( X_i \) представляет собой выражение: «1 + ставка доходности в десятичной форме».

Поскольку среднее геометрическое доходности использует временные ряды, мы используем подстрочный индекс \(t\) для обозначения временного периода.

\( \begin{align}
& 1+R_G = \sqrt[T]{(1+R_1)(1+R_2)\dots (1+R_T)} \\
& 1+R_G = \left[ \prod_{t=1}^{T} (1+R_t) \right]^\frac{1}{T}
\end{align} \)

Это приводит к следующей формуле.

Формула среднегеометрической доходности.

Для данного временного ряда ставок доходности \( R_t, t = 1, 2, \ldots, T \) среднегеометрическая доходность (или геометрическая ставка доходности, от англ. 'geometric mean return' или 'time-weighted return') за период времени, охватывающий ставки доходности от \( R_1 \) до \( R_T \), равна:

\(\large \displaystyle
R_G = \left[ \prod_{t=1}^{T} (1+R_t) \right]^\frac{1}{T} \) (Формула 6)

Мы можем использовать Формулу 6 для расчета среднегеометрической доходности любого ряда ставок. Среднегеометрическая доходность также называется накапливаемой [сложной] доходностью (от англ. 'compound return').

Например, если усредненные результаты в Формуле 6 имеют месячную периодичность, мы можем назвать полученную ставку накапливаемой или сложной месячной доходностью.

Следующий пример иллюстрирует вычисление среднего геометрического, а также сравнение среднего геометрического и среднего арифметического.

Пример (1) расчета и сравнения среднегеометрической и среднеарифметической доходности.

Как аналитик взаимных фондов, вы изучаете совокупную доходность двух инвестиционных фондов за последние 5 лет, по состоянию на начало 2013 года.

Таблица 15. Совокупная доходность двух взаимных фондов, 2008-2012 гг.

Год

Фонд Selected
American Shares
(SLASX)

Фонд T. Rowe Price
Equity Income
(PRFDX)

2008

-39.44%

-35.75%

2009

31.64

25.62

2010

12.53

15.15

2011

-4.35

-0.72

2012

12.82

17.25

Источник: performance.morningstar.com.

Основываясь на данных из Таблицы 15, сделайте следующее:

  1. Рассчитайте среднегеометрическую доходность SLASX.
  2. Рассчитайте среднее арифметическое доходности SLASX и сопоставьте ее со среднегеометрической доходностью фонда.
  3. Рассчитайте среднегеометрическую доходность PRFDX.
  4. Рассчитайте среднее арифметическое доходности PRFDX и сопоставьте ее со среднегеометрической доходностью фонда.

Решение для части 1:

Сначала преобразуем ставки доходности SLASX в десятичную форму и добавим 1.0 к каждой ставке: 0,6056, 1,3164, 1,1253, 0,9565 и 1,1282.

Используем Формулу 6, чтобы найти среднегеометрическую доходность SLASX:

\(\begin{align}
R_G &= \sqrt[5]{(0.6056)(1.3164)(1.1253)(0.9565)(1.1282)} - 1 \\
&=  \sqrt[5]{0.968084} - 1 = 0.993534 - 1 = -0.006466 \\
&= -0.65\% \end{align} \)

Решение для части 2:

Для SLASX,

\(\begin{align}
\overline R &= (-39.44 + 31.64 + 12.53 - 4.35 +12.82) / 5 \\
&= 13.20/5 = 2.64\%
\end{align} \)

Среднее арифметическое доходности SLASX превышает среднегеометрическую доходность на 2.64 - (-0.65) = 3.29% или 329 базисных пунктов.

Решение для части 3:

Преобразовав ставки доходности PRFDX в десятичную форму и прибавив 1.0 к каждой из них, мы получим: 0.6425, 1.2562, 1.1515, 0.9928 и 1.1725.

Используем Формулу 6, чтобы найти среднее геометрическое значение доходности PRFDX:

\(\begin{align}
R_G &= \sqrt[5]{(0.6425)(1.2562)1.1515)(0.9928)(1.1725)} - 1 \\
&=  \sqrt[5]{1.081859} - 1 = 1.015861 - 1 = 0.015861 = 1.59\%
\end{align} \)

Решение для части 4:

Для PRFDX,

\( \begin{align}
\overline R &= (-35.75 + 25.62 + 15.15 - 0.72 + 17.25)/5 \\
&= 21.55/5 = 4.31\%
\end{align} \)

Среднее арифметическое для PRFDX превышает среднегеометрическую доходность на 4.31 - 1.59 = 2.72% или 272 базисных пункта.

В таблице ниже обобщены полученные результаты.

Таблица 16. Итоги расчета среднеарифметической и среднегеометрической доходности для взаимных фондов.

Фонд

Среднее
арифметическое (%)

Среднее
геометрическое (%)

SLASX

2.64

-0.65

PRFDX

4.31

1.59

В приведенном примере для обоих взаимных фондов среднегеометрическая доходность была меньше среднеарифметической доходности. Фактически, геометрическое среднее всегда меньше или равно среднему арифметическому.

Неравенство Йенсена.

Это утверждение может быть доказано с помощью неравенства Йенсена (англ. 'Jensen's inequality'), которое означает, что среднее значение функции меньше или равно функции, вычисленной в среднем, если функция выпуклая вниз - в случае для \( \ln {X}\).

Единственный момент, когда два средних значения будут равны, - это когда нет изменчивости в наблюдениях, то есть, когда все наблюдения совокупности одинаковы.

Например, предположим, что доходность за каждый год в течение 3-х лет составляет 10%. Среднее арифметическое составляет 10%. Чтобы найти среднее геометрическое, мы сначала выражаем результаты как \( 1 + R_t \), а затем находим среднее геометрическое:

\( \bigl[(1.10)(1.10)(1.10)\bigr]^{1/3} - 1.0 = 10\% \).

Два средних значения одинаковы.

В приведенном выше примере наблюдалась изменчивость в доходности фондов; таким образом, для обоих фондов среднее геометрическое должно быть непременно меньше среднего арифметического.

В целом, разница между арифметическим и геометрическим средним возрастает вместе с изменчивостью наблюдений от периода к периоду.

В следующих разделах мы рассмотрим стандартное отклонение как меру изменчивости. При постоянной средней арифметической доходности средняя геометрическая доходность уменьшается на размер увеличения стандартного отклонения.

Эта взаимосвязь также иллюстрируется в рассмотренном выше примере. Случайная проверка показывает, что доходность SLASX несколько более изменчива, чем доходность PRFDX, и, следовательно, разброс между средней арифметической и геометрической доходностью больше для SLASX (329 базисных пунктов), чем для PRFDX (272 базисных пункта).

Мы введем формальные меры изменчивости позже. Но обратите внимание, например, на 71.08% в доходности между 2008 и 2009 годами для SLASX против 61.37% для PRFDX. Аналогичным образом, обратите внимание на колебание процентной ставки в 19.11% в период между 2009 и 2010 годами для SLASX против 10.47% для PRFDX.

Значения средней арифметической и среднегеометрической доходности не всегда должны ранжировать фонды одинаково, однако в этом примере PRFDX имеет как более высокую арифметическую, так и более высокую среднюю геометрическую доходность, чем SLASX.

Однако разница между средней геометрической доходностью двух фондов (2.24%) больше, чем разница между средней арифметической доходностью (1.67%).

Как финансовый аналитик должен интерпретировать эти результаты?

Среднегеометрическая доходность представляет собой темп роста или сложную норму прибыли от инвестиций. Один доллар, вложенный в SLASX в начале 2008 года, вырос бы (или, в данном случае, снизился бы) до (0.6056)(1.3164)(1.1253)(0.9565)(1.1282) = $0.9681, что равно 1 плюс средняя геометрическая доходность, начисленная по сложной ставке процента в течение 5 периодов:

\( \bigl[1 + (-0.006466)\bigr]^5 = (0.993534)^5 = $0.9681 \)

Это подтверждает, что среднее геометрическое является сложной процентной ставкой доходности.

Для PRFDX один доллар вырос бы до большей суммы (0.6425)(1.2562)(1.1515)(0.9928)(1.1725) = $1.0819, что равно (1.015861)5.

Так как среднее геометрическое фокусирует внимание на прибыльности инвестиций в течение нескольких последовательных периодов, оно представляет ключевой интерес для инвесторов. Среднеарифметическая доходность, ориентированная на средний доход за 1 период, также представляет интерес.

Как арифметические, так и геометрические средние играют серьезную роль в управлении инвестициями, и часто используются совместно при анализе доходности.

Приведенный ниже пример подчеркивает эти моменты в простом контексте.

Пример (2) средней геометрической и арифметической доходности.

Гипотетическая инвестиция в 1 акцию изначально составляет €100. Год спустя акции торгуются на уровне €200. В конце второго года цена акций опускается до первоначальной цены покупки в €100. В течение 2-летнего периода дивиденды не выплачиваются.

Рассчитайте арифметическую и геометрическую среднегодовую доходность.

Решение:

Во-первых, нам нужно найти годовую доходность за год 1 и год 2 по Формуле 1.

Доходность за год 1 = 200/100 - 1 = 100%
Доходность за год 2 = 100/200 - 1 = -50%

Среднее арифметическое годовой доходности составляет:

(100% - 50%)/2 = 25%

Прежде чем мы найдем среднее геометрическое, мы должны преобразовать процентные ставки доходности в \( 1 + R_t \). После этой корректировки среднее геометрическое по Формуле 6 составляет:

\( \sqrt{2.0 \times 0.50} -1 = 0\% \)

Средняя геометрическая доходность 0% точно отражает то, что конечная стоимость инвестиций в год 2 равна начальной стоимости в год 1. Сложная норма прибыли на инвестиции составляет 0%. Средняя арифметическая доходность отражает среднее значение за 1 год.