CFA - Мода и меры центральной тенденции

Ранее мы объяснили среднее арифметическое, которое является фундаментальной концепцией для описания центральной тенденции данных. Однако другие концепции среднего значения также очень важны для инвестиций.

Третьей важной мерой центральной тенденции является мода.

Определение моды.

Мода (англ. 'mode') является наиболее часто встречающимся значением в распределении.

Для моды иногда используется обозначение \(\bf \large М_0\).

Так же, как для среднего значения и медианы, мы можем различать моду совокупности и моду выборки. Исходя из того, что мода совокупности - это значение с наибольшей вероятностью появления в совокупности, в то время как мода выборки - это наиболее часто встречающееся значение в выборке, мы используем общий термин «мода» для краткости.

• Частотное распределение может иметь более одной моды или не иметь моды вообще.
• Когда распределение имеет 1 наиболее часто встречающееся значение, распределение называется унимодальным.
• Если у распределения есть 2 наиболее часто встречающихся значения, то у него есть две моды, и мы говорим, что это распределение бимодально.
• Если распределение имеет 3 наиболее часто встречающихся значения, то оно является тримодальным.
• Когда все значения в наборе данных различны, распределение не имеет моды, потому что никакое значение не встречается чаще, чем любое другое значение.

Данные о доходности акций и другие данные из непрерывных распределений могут не иметь модального результата. Однако, когда такие данные группируются в интервалы, мы часто находим интервал (возможно, больше одного интеравала) с самой высокой частотой: модальный интервал (или интервалы).

Например, частотное распределение для ежемесячной доходности S&P 500 имеет модальный интервал от 0 до 2%, как показано на Рисунке 2; этот интервал доходности содержит 220 наблюдений из 1 044. Модальный интервал всегда имеет самый высокий столбец в гистограмме.

Мода является единственной мерой центральной тенденции, которую можно использовать с номинальными данными.

Когда мы группируем взаимные фонды по разным стилям (т.е. цели инвестирования) и присваиваем номера каждому стилю, мода этих категоризированных данных является наиболее частым стилем взаимного фонда.

Пример расчета моды.

В Таблице 11 приведены кредитные рейтинги по приоритетным необеспеченным долгам по состоянию на сентябрь 2002 года для девяти сетей универмагов США. Рейтинг составлен Moody's Investors Service.

В порядке убывания кредитного качества (увеличение ожидаемой вероятности дефолта) рейтинги Moody's выглядят следующим образом:

Aaa, Aa1, Aa2, Aa3, A1, A2, A3, Baa1, Baa2, Baa3, Ba1, Ba2, Ba3, B1, B2, B3, Caa1, Caa2, Caa3, Ca и C.

Для получения дополнительной информации о кредитном риске и кредитных рейтингах см. Fabozzi (2007).

Источник: www.moodys.com.

Используя данные из Таблицы 11:

• Определите модальный кредитный рейтинг.
• Определите медианный кредитный рейтинг.

Решение для части 1:

Компании представляют 6 различных кредитных рейтингов, от Baa1 до Caa1. Чтобы упростить нашу задачу, мы сначала составим частотное распределение рейтингов.

Кредитные рейтинги Baa1, Ba2 и B3 имеют частоту 2, а остальные три рейтинга имеют частоту 1. Поэтому кредитный рейтинг универмагов США в сентябре 2013 года был тримодальным, при этом Baa1, Ba2 и B3 были тремя модами.

Moody's считает облигации с рейтингом Baa умеренным кредитным риском, Ba - значительным кредитным риском, а B - высоким кредитным риском.

Решение для части 2:

В группе с \( n = 9 \) - нечетное количество элементов. Медиана группы занимает:

\( (n + 1) / 2 = 10/2 \) = 5-е место.

Из Таблицы 12 видно, что Ba2 занимает пятое место. Поэтому медианный кредитный рейтинг на сентябрь 2013 года был Ba2.