Дисперсия актива или стандартное отклонение доходности часто интерпретируются как мера риска актива.

Дисперсия и стандартное отклонение доходности учитывают доходность выше и ниже среднего, но инвесторы наиболее обеспокоены риском низкой доходности, например, доходностью ниже среднего значения.

Поэтому финансовые аналитики разработали полудисперсию, полуотклонение и связанные с ними меры дисперсии, которые сосредоточены на риске снижения доходности.

Полудисперсия (англ. 'semivariance') определяется как среднеквадратичное отклонение ниже среднего.

Полуотклонение (иногда называемое полустандартным отклонением, англ. 'semideviation', 'semistandard deviation') - это положительный квадратный корень из полудисперсии.

Например, чтобы вычислить полудисперсию выборки, необходимо выполнить следующие шаги:

  1. Рассчитать выборочное среднее.
  2. Определить наблюдения, которые меньше или равны среднему значению (то есть отбрасываем наблюдения, превышающие среднее значение).
  3. Вычислить сумму квадратов отрицательных отклонений от среднего значения (используя наблюдения, которые меньше или равны среднему значению).
  4. Разделить сумму квадратов отрицательных отклонений (полученную на шаге 3) на общий размер выборки минус 1:
    \(n - 1\).

Формула полудисперсии.

Формула полудисперсии, аппроксимирующая несмещенную оценку:

\( \large \dst
\dsum_{для \ X_i \leqslant \overline X} ( X_i - \overline X )^2 \ \Big/ \ (n-1) \)

Рассмотрим эту формулу на примере акций фонда SLASX с доходностью (в процентах) -39.44, 31.64, 12.53, -4.35 и 12.82 (см. Таблицу 15).

Мы ранее рассчитали среднюю доходность в 2.64%.

Два значения доходности, -39.44 и -4.35, меньше, чем 2.64.

Мы вычисляем сумму квадратов отрицательных отклонений от среднего как:

 (-39.44 - 2.64)2 + (-4.35 - 2.64)2 = -42.082 + -6.992 = 1,770.73 + 48.86 = 1,819.59

При \(n - 1 = 4\), мы приходим к выводу, что полудисперсия равна:

1,819.59/4 = 454.9

а полуотклонение равно:

\( \sqrt {454.9} = 21.3\% \), приблизительно.

Полуотклонение в 21.3% меньше стандартного отклонения в 26.7%. Таким образом, с точки зрения риска снижения доходности, стандартное отклонение преувеличивает риск, по сравнению с полуотклонением.

Целевая полудисперсия и целевое полуотклонение.

На практике нас могут интересовать значения доходности (или другого показателя) ниже некоторого уровня, отличного от среднего. Например, если наша целевая доходность составляет 12.75% в год, мы можем быть особенно обеспокоены доходом ниже 12.75% в год. Мы можем назвать ставку 12,75% нашей целью.

Термином целевая полудисперсия (англ. 'target semivariance') называется среднеквадратичное отклонение ниже заявленной цели, а целевое полуотклонение (англ. 'target semideviation') - это ее положительный квадратный корень.

Чтобы вычислить целевую полудисперсию выборки, мы указываем цель в качестве первого шага. После определения наблюдений ниже цели мы находим сумму квадратов отрицательных отклонений от цели и делим эту сумму на количество наблюдений минус 1.

Формула целевой полудисперсии:

\( \large \dst
\dsum_{для \ X_i \leqslant B} ( X_i - B )^2 \ \Big/ \ (n-1) \)

где

  • \(B\) - цель, а
  • \(n\) - количество наблюдений.

С целевой доходностью 12.75%, мы находим в случае с акциями SLASX, что три значения доходности (-39.44, 12.53 и -4.35) были ниже цели.

Целевая полудисперсия составляет:

[(-39.44 - 12.75)2 + (12.53 - 12.75)2 + (-4.35 - 12.75)2] / (5 - 1) = 754.06,

а целевое полуотклонение:

\( \sqrt {754.06} = 27.5\% \), приблизительно.

Когда распределения доходности симметричны, эффект полудисперсии и дисперсии эквивалентен. Для асимметричных распределений дисперсия и полудисперсия ранжируют риск снижения доходности по-разному.

Полудисперсия (или полуотклонение) и целевая полудисперсия (или целевое полуотклонение) обладают интуитивной привлекательностью, но с ними сложнее работать математически, чем с обычной дисперсией.

Дисперсия или стандартное отклонение входит в определение многих наиболее часто используемых концепций финансового риска, таких как коэффициент Шарпа и бета-коэффициент.

Возможно, по этим причинам дисперсия (или стандартное отклонение) гораздо чаще используется в инвестиционной практике, чем полудисперсия.