Проверка статистических гипотез о значении коэффициента корреляции позволяет оценить, является ли связь между двумя случайными величинами результатом случайности. Рассмотрим эту методику в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
В инвестиционной практике, нам часто приходится оценивать силу линейной зависимости между двумя переменными величинами - корреляцию между ними. Общий подход заключается в использовании коэффициента корреляции.
Проверка гипотез о значении коэффициента корреляции позволяет оценить, является ли связь между двумя случайными величинами результатом случайности. Если мы решим, что связь не случайна, мы склонны использовать эту информацию в прогнозах, потому что хороший прогноз одной переменной величины поможет нам предсказать другую переменную величину.
Если коэффициент корреляции между двумя переменными величинами равен нулю, мы заключаем, что не существует линейной зависимости между этими величинами.
Мы используем проверку гипотез для оценки того, насколько значительно отличается коэффициент корреляции от нуля.
После того, как мы рассчитали коэффициент корреляции, мы должны задаться вопросом, есть ли существенное отличие его значения от 0. Прежде чем мы сможем ответить на этот вопрос, мы должны выяснить, что представляет собой распределение совокупности базовых переменных величин.
Для простоты предположим, что обе переменные нормально распределены.
На самом деле, мы должны считать, что каждое наблюдение
В двумерном нормальном распределении (англ. 'bivariate normal distribution'), т.е. нормальном распределении двух переменных величин, каждая отдельная переменная имеет нормальное распределение и их взаимосвязь полностью описываются коэффициентом корреляции
Для получения более подробной информации см., например, Daniel и Terrell (1995) и Greene (2018).
Мы предлагаем две гипотезы:
нулевую гипотезу
альтернативную гипотезу
Альтернативная гипотеза является проверкой того, что корреляция не равна 0; поэтому, здесь целесообразна двусторонняя проверка. Если эти две переменные распределены нормально, мы можем проверить, следует ли отвергнуть нулевую гипотезу будет, используя выборочный коэффициент корреляции
Формула для t-теста:
Эта тестовая статистика имеет t-распределение Стьюдента с
Практически важной особенностью Формулы 17 является то, что величина
Так, например, при размере выборки
При размере выборки
При отборе выборок из одной и той же совокупности, ложная нулевая гипотеза
Выборочная корреляция между месячной доходностью британского фунта (GBP) к японской иене (JPY) и канадскому доллару (САВ) составляет 0.5132 за период с января 2011 по декабрь 2017 года (Источник данных об обменных курсах: http://fx.sauder.ubc.ca/ ).
Можно ли отклонить нулевую гипотезу о том, что корреляция по совокупности равна 0 при уровне значимости 0.05?
Решение:
Для периода в 84 месяца с января 2011 года по декабрь 2017 года, мы используем следующую статистику, чтобы проверить нулевую гипотезу
В таблицах t-распределений мы найдем, что при уровне значимости 0.05, критическим значением для этой тестовой статистики будет 1.99 (
Если тестовая статистика либо больше 1.99, либо меньше -1.99, мы можем отвергнуть гипотезу о том, что корреляция по совокупности равна 0. Тестовая статистика равна 5.4146, поэтому мы можем отклонить нулевую гипотезу.