Поскольку дисперсия и стандартное отклонение широко используются как количественные показатели риска инвестиций, аналитики должны быть знакомы с проверкой гипотез, касающихся дисперсии.

Корреляция между двумя переменными величинами также широко используется в инвестициях. Например, инвестиционным менеджерам часто приходится выяснять корреляцию между доходностью различных активов.

Таким образом, аналитики также должны быть знакомы с проверкой гипотез о значении коэффициента корреляции. Методика проверки гипотез о дисперсии и корреляции, описанная в этом разделе, регулярно встречается в инвестиционной литературе.

Далее мы рассмотрим два типа проверки гипотез, касающихся дисперсии: проверку гипотез о значении одной дисперсии совокупности и проверку гипотез о равенстве двух дисперсий совокупности.

Затем мы рассмотрим, как проверить значение коэффициента корреляции.

Рассмотрим проверку гипотез о значении дисперсии \(\sigma^2\), на основе одной совокупности. Мы используем \(\sigma^2_0\) для обозначения гипотетического значения \(\sigma^2\).

Мы можем сформулировать нулевые и альтернативные гипотезы следующим образом:

  1. \(H_0: \sigma^2 = \sigma^2_0\) против \(H_a: \sigma^2 \neq \sigma^2_0\)
    (альтернативная гипотеза «не равно»)
  2. \(H_0: \sigma^2 \leq \sigma^2_0\) против \(H_a: \sigma^2 > \sigma^2_0\)
    (альтернативная гипотеза «больше чем»)
  3. \(H_0: \sigma^2 \geq \sigma^2_0\) против \(H_a: \sigma^2 < \sigma^2_0\)
    (альтернативная гипотеза «меньше чем»)

При проверке дисперсии одной нормально распределенной совокупности, мы используем тестовую статистику хи-квадрат (или критерий хи-квадрат, англ. 'chi-square test statistic'), обозначаемую \(\chi^2\).

Распределение хи-квадрат, в отличие от нормального распределения и t-распределения, является асимметричным.

Как и t-распределение, хи-квадрат распределение (англ. 'chi-square  distribution') является семейством распределений. Существует отдельное распределение для каждого возможного значения степеней свободы, \(n - 1\) (где \(n\) - размер выборки).

В отличие от t-распределения, хи-квадрат распределение ограничено снизу 0; \(\chi^2\) не принимает отрицательных значений.

Тестовая статистика для проверки гипотезы о значении дисперсии совокупности (нормально распределенная совокупность).

Если у нас есть \(n\) независимых наблюдений из нормально распределенной совокупности, соответствующей тестовой статистикой (критерием) будет:

\(\large \dst {\chi^2 = {(n-1)s^2 \over \sigma^2_0}}\) (Формула 14)

с \(n - 1\) степенями свободы.

Числитель формулы представляет собой выборочную дисперсию, которая рассчитывается как

\( \large \dst {s^2 = {\dsum^n_{i=1} \big ( X_i - \overline X \big )^2 \over n-1 }}\) (Формула 15)

В отличие от t-статистики, критерий хи-квадрат чувствителен к нарушениям его допущений. Если фактически выборка не является случайной или если она не отобрана из нормально распределенной совокупности, умозаключения на основе критерия хи-квадрат, вероятно, будут ошибочными.

Если мы выбираем уровень значимости \(\alpha\), критические значения для трех пар гипотез будут следующими:

Критические значения для проверки гипотез о дисперсии совокупности.

  1. «Не равно» \(H_a\): нулевая гипотеза отклоняется, если тестовая статистика больше верхней точки \(\alpha / 2\) (обозначается как \(\chi^2_{\alpha /2}\)) или меньше нижней точки \(\alpha / 2\) (обозначается как \(\chi^2_{1 - \alpha /2}\)) распределения хи-квадрат со степенями свободы \(\mathrm{df} = n-1\).
  2. «Больше чем» \(H_a\): нулевая гипотеза отклоняется, если тестовая статистика больше верхней точки \(\alpha\) хи-квадрат распределения со степенями свободы \(\mathrm{df} = n-1\).
  3. «Меньше чем» \(H_a\): нулевая гипотеза отклоняется, если тестовая статистика меньше нижней точки \(\alpha\) хи-квадрат распределения со степенями свободы \(\mathrm{df} = n-1\).

Так же, как и для других проверок гипотез, тестовую статистику хи-квадрат можно интерпретировать как доверительный интервал. В отличие от доверительных интервалов на основе z-статистики или t-статистики, доверительные интервалы хи-квадрат для дисперсии являются асимметричными.

Двусторонний доверительный интервал для дисперсии совокупности, на основе выборки размера \(n\), имеет нижний предел \({\rm L} = (n-1)s^2 \Big / \chi^2_{\alpha /2}\) и верхний предел \({\rm U} = (n-1)s^2 \Big / \chi^2_{1-\alpha /2}\).

При нулевой гипотезе, гипотетической значение дисперсии совокупности должно находиться в рамках этих двух пределов.

Пример (7) проверки характеристик риска и доходности взаимного инвестиционного фонда акций.

Вы продолжаете анализ Sendar Equity Fund [см. Пример (1)], взаимного фонда растущих акций со средней капитализацией, работающего на протяжении 24 месяцев.

Напомним, что в течение этого периода, Sendar Equity достиг выборочного стандартного отклонения месячной доходности в 3.60%.

Теперь вы хотите проверить утверждение, что конкретный инвестиционный подход с последующим Sendar результат в стандартном отклонении месячной доходности менее чем на 4 процента.

Теперь вы хотите проверить утверждение о том, что особый инвестиционный подход, которому следовал Sendar, приводит к стандартному отклонению месячной доходности менее 4%.

  1. Сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезы в соответствии со описанием цели исследования.
  2. Определите тестовую статистику для проведения проверки гипотез из части 1.
  3. Определите критическое значение или значения для проверки гипотез из части 1 при уровне значимости 0.05.
  4. Определите, отвергается ли нулевая гипотеза при уровне значимости 0.05 (используйте таблицы t-распределений).

Решение для части 1:

У нас есть альтернативная гипотеза «меньше чем», где \(\sigma\) является стандартным отклонением доходности фонда Sendar Equity.

Возведя в квадрат стандартное отклонение, мы сможем выполнить проверку с точки зрения дисперсии. Нулевая и альтернативная гипотезы:

\(H_0: \sigma^2 \geq 16.0\) против \(H_a: \sigma^2 < 16.0\)

Решение для части 2:

Тестовой статистикой будет \(\chi^2\) с 24 - 1 = 23 степенями свободы.

Решение для части 3:

В соответствии с таблицами t-распределений, нижнее критическое значение при уровне значимости 0.05 находится в ряду для df = 23, в колонке 0.95 (95% вероятности в правом хвосте, дает 0.95 вероятности получения тестовой статистики этого размера или выше).

Критическое значение равно 13.091. Мы отвергаем нуль, если обнаружим, что \(\chi^2\) меньше 13.091.

Решение для части 4:

\( \begin{aligned} \chi^2 &= {(n-1)s^2 \over \sigma^2_0} \\ &= {23 \times 3.60^2 \over 4^2} \\ &= {298.08 \over 16} = 18.63 \end{aligned} \)

Поскольку 18.63 (расчетное значение тестовой статистики) не меньше 13.091, мы не отвергаем нулевую гипотезу.

Мы не можем сделать вывод, что инвестиционный подход Sendar приводит к стандартному отклонению месячной доходности менее 4%.