CFA - Центральная предельная теорема и распределение выборочного среднего
Центральная предельная теорема - одна из наиболее практически полезных теорем теории вероятностей в работе финансового аналитика. Рассмотрим эту концепцию в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
Ранее мы рассматривали пример анализа, где аналитик оценивал средние планируемые капитальные затраты клиентов на телекоммуникационное оборудование.
Если предположить, что выборка репрезентативна для совокупности, то как аналитик может оценить ошибку выборки при расчете среднего значения по совокупности?
Рассматриваемое как формула, которая использует функцию случайных исходов случайной величины, выборочное среднее само по себе является случайной величиной с распределением вероятностей. Это распределение вероятностей называется выборочным распределением статистики (англ. 'sampling distribution').
Иногда возникает путаница, потому что термин «выборочное среднее» также используется в другом смысле. При расчете выборочного среднего для конкретной выборки, мы получаем определенное число, скажем, 8.
Если мы говорим, что «выборочное среднее равно 8», мы используем термин «выборочное среднее» в смысле конкретного исхода выборочного среднего как случайной величины. Число 8 является, конечно же, постоянной величиной и не имеет распределения вероятностей.
В данном обсуждении, мы не рассматриваем «выборочное среднее» как постоянную величину, относящуюся к конкретной выборке.
Для того, чтобы оценить, насколько близко выборочное среднее к среднему по совокупности, аналитик должен понимать распределение выборочного среднего. К счастью, у нас есть для этого инструмент, - центральная предельная теорема, которая помогает нам понять распределение выборочного среднего для многих задач оценивания, с которыми мы сталкиваемся.
Центральная предельная теорема.
Центральная предельная теорема - одна из наиболее практически полезных теорем теории вероятностей. Она имеет важное значение для того, как мы строим доверительные интервалы и проверяем статистические гипотезы.
Формально она формулируется следующим образом:
Центральная предельная теорема позволяет сделать довольно точные вероятностные утверждения о среднем значении совокупности на основе выборочного среднего, независимо от размера распределения совокупности (так как оно имеет конечную дисперсию), потому что выборочное среднее приблизительно соответствует нормальному распределению для выборок большого размера.
Тут сразу возникает очевидный вопрос:
«Какой размер выборки можно считать достаточно большим, чтобы мы могли считать, что выборочное среднее соответствует нормальному распределению?»
В целом, если размер выборки \( n \) больше или равен 30, то можно считать, что выборочное среднее приблизительно нормально распределено.
Центральная предельная теорема утверждает, что дисперсия распределения выборочного среднего равна \( \sigma^2 / n \). Положительный квадратный корень из дисперсии является стандартным отклонением.
Стандартное отклонение выборочной статистики также называют стандартной ошибкой статистики (англ. 'standard error').
Стандартная ошибка выборочного среднего является важной величиной в применении центральной предельной теоремы на практике.
Определение стандартной ошибки среднего значения выборки.
Для среднего значения выборки \( \overline X\) рассчитанного на основе выборки из совокупности со стандартным отклонением \( \sigma \), стандартная ошибка среднего значения выборки определяется одним из двух выражений:
\( \Large \dst \sigma_{\overline X} = {\sigma \over \sqrt n} \) (Формула 1)
когда мы знаем стандартное отклонение совокупности \( \sigma \), или
\( \Large \dst s_{\overline X} = {s \over \sqrt n} \) (Формула 2)
когда нам не известно стандартное отклонение совокупности и необходимо использовать стандартное отклонение выборки \(s\), чтобы оценить его.
Необходимо отметить технический момент: Когда мы делаем выборку размера \(n\) из конечной совокупности размера \(N\), мы применяем уменьшающий коэффициент к стандартной ошибке выборочного среднего, который называется поправкой для конечной совокупности (или FPC, от англ. 'finite population correction factor').
FPC равна \( [(N - n)/(N - 1)]^{1/2} \).
Таким образом, если \(N = 100\) и \(n = 20\), то \( [(100 - 20)/(100 - 1)]^{1/2} = 0.898933 \).
Если мы рассчитали стандартную ошибку равную, скажем, 20, в соответствии с Формулой 1 или Формулой 2, то оценка ошибки с поправкой составляет \( 20(0.898933) = 17.978663 \).
FPC применяется только когда мы делаем выборку из конечной совокупности без замены.
На практике, большинство аналитиков не применяют FPC, если размер выборки \(n\) слишком мал по сравнению с \( N \) (скажем, менее 5% от \(N\) ).
Для получения дополнительной информации о поправке для конечной совокупности см. Daniel and Terrell (1995).
На практике, нам почти всегда приходится использовать Формулу 2. Стандартное отклонение выборки \(s\) можно рассчитать, найдя квадратный корень из дисперсии выборки \(s^2\), которая рассчитывается следующим образом:
\( \Large \dst
s^2 = {\dsum_{i=1}^{n} \big ( X_i - \overline {X} \big )^2 \over n-1 } \) (Формула 3)
Мы скоро увидим, как мы можем использовать среднее значение выборки и его стандартную ошибку, чтобы сделать вероятностные утверждения о среднем значении совокупности, используя технику доверительных интервалов.
Но сначала мы проиллюстрируем всю силу центральной предельной теоремы.
Пример (3) применения центральной предельной теоремы.
Примечательно, что выборочное среднее для выборок больших размеров будет распределяться нормально, независимо от распределения генеральной совокупности.
Чтобы проиллюстрировать центральную предельную теорему в действии, мы используем в этом примере явное ненормальное распределение и используем его для создания большого количества случайных выборок размером 100.
Затем мы рассчитываем выборочное среднее для каждой выборки. Частотное распределение рассчитываемых выборочных средних является приближением распределения выборочного среднего для данного размера выборки.
Выглядит ли выборочное распределение как нормальное распределение?
Вернемся к примеру с аналитиком, изучающим планы капитальных затрат клиентов на покупку телекоммуникационного оборудования.
Предположим, что капитальные затраты на оборудование образуют непрерывную равномерную случайную величину с нижним пределом равным $0, и верхним пределом, равным $100. Для краткости, обозначим эту равномерную случайную величину как (0, 100).
Функция вероятности этой непрерывной равномерной случайной величины имеет довольно простую форму, не соответствующую нормальному распределению. Это горизонтальная линия с пересечением на вертикальной оси в точке 1/100. В отличии от нормальной случайной величины, для которой близкие к среднему исходы были бы наиболее вероятны, для равномерной случайной величины все возможные исходы равновероятны.
Чтобы проиллюстрировать силу центральной предельной теоремы, мы проводим моделирование методом Монте-Карло для изучения планируемых капитальных расходов на телекоммуникационное оборудование.
Моделирование методом Монте-Карло предполагает использование компьютера, чтобы смоделировать работу рассматриваемой системы с учетом риска. Составной частью моделирования методом Монте-Карло является генерация большого числа случайных выборок из заданного распределения вероятностей или распределений.
[см. также: CFA - Метод Монте-Карло]
В этом моделировании мы делаем 200 случайных выборок капитальных затрат 100 компаний (200 сгенерированных случайных исходов, каждый из которых состоит из капитальных затрат 100 компаний при \(n = 100 \)).
В каждом испытании моделирования, 100 значений капитальных затрат генерируются из равномерного распределения (0, 100). Для каждой случайной выборки, мы вычисляем выборочное среднее. Всего мы проводим 200 имитационных испытаний.
Поскольку мы определили распределение, генерирующее выборки, мы знаем, что средние капитальные затраты генеральной совокупности равны ($0 + $100 млн.)/2 = $50 млн.; дисперсия капитальных затрат совокупности равна \( (100 - 0)^2/12 = 833.33 \).
Таким образом, стандартное отклонение составляет $28.87 млн. и стандартная ошибка равна \( 28.87 \Big / \sqrt {100} = 2.887 \) в соответствии с центральной предельной теоремой.
Если \( a \) является нижним пределом равномерной случайной величины и \( b \) является верхним пределом, то среднее значение случайной величины определяется по формуле \( (a + b)/2 \), а ее дисперсия определяется по формуле \( (b - a)^2/12 \).
В чтении об обычных распределениях вероятности подробно описаны непрерывные равномерные случайные величины.
Результаты этого моделирования методом Монте-Карло приведены в Таблице 2 в виде частотного распределения. Это распределение является рассчитанным выборочным распределением среднего значения.
|
Диапазон выборки |
Абсолютная частота |
|---|---|
|
42.5 \(\leq \overline X <\) 44 |
1 |
|
44 \(\leq \overline X <\) 45.5 |
6 |
|
45.5 \(\leq \overline X <\)47 |
22 |
|
47 \(\leq \overline X <\) 48.5 |
39 |
|
48.5 \(\leq \overline X <\) 50 |
41 |
|
50 \(\leq \overline X <\) 51.5 |
39 |
|
51.5 \(\leq \overline X <\) 53 |
23 |
|
53 \(\leq \overline X <\) 54.5 |
12 |
|
54.5 \(\leq \overline X <\) 56 |
12 |
|
56 \(\leq \overline X <\) 57.5 |
5 |
Примечание: \( \overline X \) представляет собой средние капитальные затраты для каждой выборки.
Полученное распределение частот можно описать как колоколообразное, с центром, расположенным близко к среднему значению совокупности: 50. Наиболее частый или модальный диапазон, с 41 наблюдениями: от 48.5 до 50.
Общее среднее выборочных средних составляет $49.92, со стандартной ошибкой, равной $2.80. Рассчитанная стандартная ошибка близка к значению 2.887, заданному центральной предельной теоремой.
Расхождение между вычисленными и ожидаемыми значениями среднего и стандартного отклонения, полученными в соответствии с центральной предельной теоремой, является результатом случайности (ошибка выборки).
Таким образом, хотя распределение совокупности очень не нормальное, моделирование показало, что нормальное распределение хорошо описывает рассчитанное распределение выборочного среднего. При этом среднее и стандартная ошибка приближительно равны значениям, предсказанным с помощью центральной предельной теоремы.
Итак, в соответствии с центральной предельной теоремой, когда мы делаем выборку из любого распределения, распределение выборочного среднего будет иметь следующие свойства, если размер нашей выборки достаточно велик:
- Распределение выборочного среднего \( \overline X\) будет приблизительно соответствовать нормальному распределению.
- Среднее значение распределения \( \overline X\) будет равно среднему значению генеральной совокупности, из которой сделана выборка.
- Дисперсия распределения \( \overline X\) будет равна дисперсии совокупности, деленной на размер выборки.
Далее мы обсудим концепции и инструменты, связанные с оценкой параметров совокупности, с особым акцентом на среднее значение совокупности.
Мы фокусируем внимание на среднем значении совокупности, потому что интервальные оценки среднего значения совокупности интересуют финансовых аналитиков, как правило, больше, чем любой другой тип интервальных оценок.