Определение частотного распределения.

Частотное распределение или плотность распределения (англ. 'frequency distribution') представляет собой табличное отображение данных, обобщенных в относительно небольшое количество интервалов.

Распределения частот помогают в анализе больших объемов статистических данных и работают со всеми типами измерительных шкал.

Ставки доходности являются основными фундаментальными единицами, которые финансовые аналитики и портфельные менеджеры используют для принятия инвестиционных решений, и мы можем использовать распределение частот для обобщения ставок доходности.

Когда мы анализируем норму прибыли, нашей отправной точкой является доходность за период владения (HPR, от англ. 'holding period return'), также называемая общей доходностью (англ. 'total reutrn').

Формула доходности за период владения.

Доходность за период владения \(R_t\) за период времени \(t\), равна:

\( \large R_t = (P_t - P_{t-1} + D_t) \big/ P_{t-1} \) (Формула 1)

где

  • \(P_t\) = цена за акцию в конце периода \(t\).
  • \(P_{t-1}\) = цена за акцию в конце периода \(t - 1\). Это период времени, непосредственно предшествующий периоду \(t\).
  • \(D_t\)= денежные поступления от распределений, полученные за период времени \(t\). (Для обыкновенных акций распределение - это дивиденды; для облигаций - купонная выплата).

Таким образом, доходность \(R_t\) за период времени \(t\) представляет собой прирост стоимости капитала (или убыток) плюс поступления от распределений, деленные на цену акций начального периода.

Формулу 1 можно использовать для определения доходности за период владения любым активом - за день, неделю, месяц или год, просто изменив интерпретацию временного интервала между последовательными значениями временного индекса \(t\).

Доходность за период владения, как определено в Формуле 1, имеет две важные характеристики.

  • Во-первых, она характеризуется временным периодом. Например, если между последовательными наблюдениями за ценой используется месячный интервал времени, то ставка доходности является месячной цифрой.
  • Во-вторых, ставка доходности не имеет связанной с ней денежной единицы. Например, предположим, что цены указаны в евро. Числитель и знаменатель Формулы 1 будут выражаться в евро, но полученное соотношение не будет выражать денежную единицу, поскольку денежные единицы в числителе и знаменателе будут взаимно аннулироваться.

Результат сохраняется независимо от валюты, в которой указаны цены на акции.

Тем не менее, обратите внимание на то, что если бы цены и денежные поступления от распределений были выражены в разных валютах, вам следовало бы конвертировать их в одну общую валюту перед расчетом доходности за период владения.

Из-за колебаний обменного курса в течение периода владения, доходность за период владения активом, рассчитанная в разных валютах, как правило, будет отличаться.

С учетом этих проблем мы переходим к частотному распределению доходности за период владения по индексу S&P 500.

  • Во-первых, мы изучаем годовые ставки доходности;
  • Затем мы смотрим на ежемесячные ставки доходности.

Годовые ставки доходности S&P 500, рассчитанные по Формуле 1, охватывают период с января 1926 г. по декабрь 2012 г., что составляет в общей сложности 87 ежегодных наблюдений. Ежемесячные данные о доходности охватывают период с января 1926 года по декабрь 2012 года, в общей сложности 1044 ежемесячных наблюдений.

Мы можем сформулировать основную процедуру построения частотного распределения следующим образом.

Построение частотного распределения.

  1. Отсортируйте данные в порядке возрастания.
  2. Рассчитайте размах данных Range, который определяется как
    Размах (англ. 'range') = Максимальное значение - Минимальное значение.
  3. Определите количество интервалов в частотном распределении, \(k\).
  4. Определите ширину интервала как \( \mathrm{Range} / k \).
  5. Определите интервалы, последовательно добавляя ширину интервала к минимальному значению, чтобы определить конечные точки интервалов. Последним будет интервал, включающий максимальное значение.
  6. Подсчитайте количество наблюдений, попадающих в каждый интервал.
  7. Составьте таблицу полученных интервалов от наименьшего до наибольшего, в которой показано количество наблюдений, попадающих в каждый интервал.

На шаге 4 при округлении ширины интервала округляйте скорее вверх, чем вниз, чтобы убедиться, что последний интервал включает в себя максимальное значение данных.

Как видно из вышеописанной процедуры, распределение частот группирует данные в набор интервалов. Интервалы также иногда называют классами, диапазонами или ячейками (англ. class, range, bin).

Интервал (англ. 'interval') - это набор значений, в который попадает наблюдение. Каждое наблюдение попадает только в один интервал, и общее количество интервалов охватывает все значения, представленные в выборке данных.

Фактическое количество наблюдений в данном интервале называется абсолютной частотой (англ. 'absolute frequency') или просто частотой.

Частотное распределение или распределение частот (англ. 'frequency distribution') - это перечень интервалов вместе с соответствующими показателями частоты.

Пример построения частотного распределения.

Чтобы проиллюстрировать основную процедуру, предположим, что у нас есть 12 наблюдений, отсортированных в порядке возрастания:

-4,57, -4,04, -1,64, 0,28, 1,34, 2,35, 2,38, 4,28, 4,42, 4,68, 7,16 и 11,43

Минимальное наблюдение составляет -4,57, а максимальное наблюдение составляет +11,43, поэтому размах составляет +11,43 - (-4,57) = 16. Если мы установим \(k = 4\), ширина интервала составит 16/4 = 4.

Таблица 1 показывает последовательное добавление ширины интервала 4 для определения конечных точек для интервалов (шаг 5).

Таблица 1. Определение конечных точек интервалов.

-4.57

+

4.00 =

-0.57

-0.57

+

4.00 =

3.43

3.43

+

4.00 =

7.43

7.4

+

4.00 =

11.43

Таким образом, интервалы составляют:

[-4,57 до -0,57),
[-0,57 до 3,43),
[3,43 до 7,43) и
[7,43 до 11,43]

Обозначения вроде [-4,57 -0,57) означают -4,57 \(\leq\) наблюдение \(<\) -0,57. В этом контексте квадратная скобка указывает, что конечная точка включена в интервал.

Таблица 2. Частотное распределение.

Интервал

Абсолютная
частота

A

-4.57

≤ наблюдение <

-0.57

3

B

-0.57

≤ наблюдение <

3.43

4

C

3.43

≤ наблюдение <

7.43

4

D

7.43

≤ наблюдение ≤

11.43

1

Обратите внимание, что интервалы не перекрываются, поэтому каждое наблюдение может быть однозначно помещено в один интервал.

На практике мы можем захотеть усовершенствовать вышеуказанную базовую процедуру. Например, мы можем захотеть, чтобы интервалы начинались и заканчивались целыми числами для простоты интерпретации.

Нам также нужно объяснить выбор количества интервалов \(k\). Мы обратимся к этим вопросам далее, при обсуждении построения частотных распределений для S&P 500.

Пример построения частотного распределения для ставок доходности S&P 500.

Сначала рассмотрим пример построения частотного распределения для годовых ставок доходность по S&P 500 за период с 1926 по 2012 год.

В течение этого периода доходность по S&P 500 имела минимальное значение -43,34 процента (в 1931 году) и максимальное значение +53,99 процента (в 1933 году).

Таким образом, размах данных составлял + 54% - (-43%) = 97%, приблизительно.

Теперь нужно определить количество интервалов k, в которые мы должны сгруппировать наблюдения.

Хотя учебники по статистике содержат некоторые базовые рекомендации для определения \(k\), на практике определение полезного значения для \(k\) часто включает проверку данных и вынесение оценочного суждения.

Насколько детальными должны быть интервалы?

Если мы используем слишком мало интервалов, мы обобщаем слишком много наблюдений и теряем соответствующие характеристики. Если мы используем слишком много интервалов, мы можем не получить достаточный уровень обобщения.

Мы можем установить подходящее значение для \(k\), оценив полезность полученной ширины интервала. Большое количество пустых интервалов может указывать на то, что мы пытаемся представить слишком много деталей.

Начав с относительно небольшой ширины интервала, мы можем видеть, являются ли интервалы в основном пустыми и не является ли слишком большим значение \(k\), связанное с этой шириной интервала.

Если интервалы в основном пустые или \(k\) очень велико, мы можем рассмотреть большие интервалы (меньшие значения \(k\)), пока не получим распределение частот, которое эффективно обобщает распределение.

Для годовых ставок S&P 500 интервалы доходности шириной в 1 процент привели бы к 97 интервалам, и многие из них были бы пустыми, потому что у нас есть только 87 ежегодных наблюдений.

Нам всегда нужно помнить, что целью распределения частот является обобщение данных. Предположим, что для простоты интерпретации мы хотим использовать ширину интервала, целых, а не в дробных значениях процентов.

Ширина 2-процентного интервала имеет намного меньше пустых интервалов, чем ширина 1-процентного интервала, и эффективно обобщает данные. 2-процентная ширина интервала будет связана с 97/2 = 48,5 интервалами, которые мы можем округлить до 49 интервалов.

Это количество интервалов будет покрывать 2% \(\times\) 49 = 98%. Мы можем подтвердить, что, если мы начнем наименьший 2-процентный интервал с целого числа -44,0%, последний интервал заканчивается на -44,0% + 98% = 54% и включает максимальную доходность в выборке: 53,99%.

При построении распределения частот у нас также будут интервалы, которые заканчиваются и начинаются со значения 0 процентов, что позволяет нам подсчитывать отрицательные и положительные значения доходности. Без лишней работы мы нашли эффективный способ обобщения данных.

Мы будем использовать интервалы доходности 2%, начиная с \( -44\% \leq R_t < -42\%\) (в таблице указано «-44% до -42%») и заканчивая \(52\% \leq R_t \leq 54\%\).

В Таблице 3 показано распределение частот для годовых ставок доходности по S&P 500.

Таблица 3 включает три других полезных способа представления данных, которые мы можем вычислить, как только мы установили распределение частот:

  • относительная частота,
  • накопленная частота (также называемая накопленной абсолютной частотой) и
  • накопленная относительная частота.

Определение относительной частоты.

Относительная частота (англ. 'relative frequency') - это абсолютная частота каждого интервала, деленная на общее количество наблюдений.

Накопленная относительная частота (англ. 'cumulative relative frequency') накапливает (складывает) относительные частоты, когда мы движемся от первого до последнего интервала. Она говорит нам о доле наблюдений, которые меньше верхнего предела каждого интервала.

Таблица 3. Распределение частот для
годовых ставок доходности S&P 500, 1926-2012.

Интервал доходности (%)

Частота

Относительная частота (%)

Накоп-
ленная частота

Накопленная относительная частота (%)

-44.0 до -42.0

1

1.15

1

1.15

-42.0 до -40.0

0

0.00

1

1.15

-40.0 до -38.0

0

0.00

1

1.15

-38.0 до -36.0

1

1.15

2

2.30

-36.0 до -34.0

1

1.15

3

3.45

-34.0 до -32.0

0

0.00

3

3.45

-32.0 до -30.0

0

0.00

3

3.45

-30.0 до -28.0

0

0.00

3

3.45

-28.0 до -26.0

1

1.15

4

4.60

-26.0 to -24.0

1

1.15

5

5.75

-24.0 до -22.0

1

1.15

6

6.90

-22.0 до -20.0

0

0.00

6

6.90

-20.0 до -18.0

0

0.00

6

6.90

-18.0 до -16.0

0

0.00

6

6.90

-16.0 до -14.0

1

1.15

7

8.05

-14.0 до -12.0

0

0.00

7

8.05

-12.0 до -10.0

4

4.60

11

12.64

-10.0 до -8.0

7

8.05

18

20.69

-8.0 до -6.0

1

1.15

19

21.84

-6.0 до -4.0

1

1.15

20

22.99

-4.0 до -2.0

1

1.15

21

24.14

-2.0 до 0.0

3

3.45

24

27.59

0.0 до 2.0

2

2.30

26

29.89

2.0 до 4.0

1

1.15

27

31.03

4.0 до 6.0

6

6.90

33

37.93

6.0 до 8.0

4

4.60

37

42.53

8.0 до 10.0

1

1.15

38

43.68

10.0 до 12.0

4

4.60

42

48.28

12.0 до 14.0

1

1.15

43

49.43

14.0 до 16.0

4

4.60

47

54.02

16.0 до 18.0

2

2.30

49

56.32

18.0 до 20.0

6

6.90

55

63.22

20.0 до 22.0

3

3.45

58

66.67

22.0 до 24.0

5

5.75

63

72.41

24.0 до 26.0

2

2.30

65

74.71

26.0 до 28.0

2

2.30

67

77.01

28.0 до 30.0

2

2.30

69

79.31

30.0 до 32.0

5

5.75

74

85.06

32.0 до 34.0

4

4.60

78

89.66

34.0 до 36.0

0

0.00

78

89.66

36.0 до 38.0

4

4.60

82

94.25

38.0 до 40.0

0

0.00

82

94.25

40.0 до 42.0

0

0.00

82

94.25

42.0 до 44.0

2

2.30

84

96.55

44.0 до 46.0

0

0.00

84

96.55

46.0 до 48.0

1

1.15

85

97.70

48.0 до 50.0

0

0.00

85

97.70

50.0 до 52.0

0

0.00

85

97.70

52.0 до 54.0

2

2.30

87

100.00

Источник: Ibbotson Associates.

Примечание: нижний предел интервала - это нестрогое неравенство \((\leq)\), а верхний предел - строгое неравенство \((<)\). Итоги накопленных относительных частот отражают вычисления полной точности, с округлением до двух десятичных разрядов.

Изучив частотное распределение, приведенное в Таблице 3, мы видим, что первый интервал доходности, от -44 до -42%, содержит одно наблюдение; его относительная частота составляет 1/87 или 1,15 процента.

Накопленная частота для этого интервала равна 1, поскольку только одно наблюдение составляет менее -42%. Таким образом, накопленная относительная частота составляет 1/87 или 1,15 процента.

Следующий интервал доходности включает 0 наблюдений; следовательно, его накопленная частота равна 0 + 1, а его накопленная относительная частота равна 1,15% (накопленная относительная частота от предыдущего интервала).

Мы можем найти другие накопленные частоты, добавив (абсолютную) частоту к предыдущей накопленной частоте. Таким образом, накопленная частота показывает нам число наблюдений, которые меньше верхнего предела каждого интервала доходности.

Как видно из Таблицы 3, интервалы доходности в этой выборке имеют частоты от 0 до 7. Интервал, охватывающий доходность от -10% до -8% \(-10\% \leq R_t < -8\%\) имеет больше всего наблюдений: 7.

Следующей по частоте является доходность от 4 до 6% \(4\% \leq R_t < 6\%\) и от 18 до 20% \(18\% \leq R_t < 20\%\), с 6 наблюдениями в каждом интервале.

Из столбца накопленной частоты мы видим, что количество отрицательных значений отрицательной доходности равно 24. Число положительных значений доходности должно быть равно 87-24 или 63. Мы можем выразить количество положительных и отрицательных значений доходности в процентах от общего числа, чтобы получить представление о риске, присущем инвестициям на фондовом рынке.

В течение 87-летнего периода S&P 500 имел отрицательную годовую доходность в 27,6% случаев (то есть 24/87). Этот результат отражен в пятом столбце Таблицы 3, где указывается накопленная относительная частота.

Распределение частот дает нам представление не только о том, где находится большинство наблюдений, но также о том, является ли распределение нормальным, ассиметричным (со скосом влево или вправо) или островершинным.

(см. также: CFA - Симметрия и асимметрия в распределениях доходности)

В случае с S&P 500 мы видим, что более половины наблюдений являются положительными, а большая часть этих ставок годовой доходности превышает 10% (только 14 из 63 ставок - около 22% - составляли от 0 до 10%).

Таблица 3 позволяет нам сделать еще один важный вывод относительно выбора количества интервалов, связанного, в частности, с доходностью капитала. Из распределения частот в Таблице 3 мы видим, что только 6 наблюдений попадают в промежуток между -44% и -16%, и только 5 - между 38% и 54%.

Рыночные данные о доходности часто характеризуются несколькими очень большими или маленькими результатами.

Мы могли бы исключить интервалы доходности по краям частотного распределения, выбрав меньшее значение \(k\), но тогда мы потеряли бы информацию о том, насколько плохо или хорошо работала фондовая биржа.

Риск-менеджеру может потребоваться информация о наихудших возможных результатах и, следовательно, может потребоваться подробная информация о крайних значениях распределения (или хвостах распределения, от англ. 'tail'). Для этого ему может быть полезно распределение частоты с относительно большим значением \(k\).

Портфельный менеджер или финансовый аналитик могут быть в равной степени заинтересованы в подробной информации о хвостах распределений. Однако, если менеджер или аналитик хочет получить картину только того, где находится большинство наблюдений, он может предпочесть использовать ширину интервала 4% (например, 25 интервалов, начинающихся с -44%).

Распределение частот для ежемесячной доходности S&P 500 выглядит совсем не так, как для годовой доходности. Серия ежемесячных ставок доходности с января 1926 года по декабрь 2012 года насчитывает 1044 наблюдения.

Доходность варьируется от минимума -30% до максимума +43%. При таком большом количестве ежемесячных данных мы должны сделать обобщение, чтобы получить представление о распределении, и поэтому мы группируем данные в 37 равных интервалов доходности, шириной в 2 процента.

Выгода от обобщения таким образом является существенной.

В Таблице 4 представлено полученное распределение частот. Абсолютные частоты находятся во втором столбце, за которым следуют относительные частоты. Относительные частоты округлены до двух десятичных знаков. Накопленные абсолютные частоты и накопленные относительные частоты находятся в четвертом и пятом столбцах соответственно.

Таблица 4. Распределение частот для ежемесячных ставок доходности S&P 500, 1926-2012.

Интервал доходности (%)

Абсолютная частота

Отно-
сительная частота (%)

Накоп-
ленная абсолютная частота

Накопленная относительная частота (%)

-30.0 до -28.0

1

0.10

1

0.10

-28.0 до -26.0

0

0.00

1

0.10

-26.0 до -24.0

1

0.10

2

0.19

-24.0 до -22.0

1

0.10

3

0.29

-22.0 до -20.0

2

0.19

5

0.48

-20.0 до -18.0

2

0.19

7

0.67

-18.0 до -16.0

3

0.29

10

0.96

-16.0 до -14.0

2

0.19

12

1.15

-14.0 до -12.0

6

0.57

18

1.72

-12.0 до -10.0

7

0.67

25

2.39

-10.0 до -8.0

23

2.20

48

4.60

-8.0 до -6.0

34

3.26

82

7.85

-6.0 до -4.0

59

5.65

141

13.51

-4.0 до -2.0

98

9.39

239

22.89

-2.0 до 0.0

157

15.04

396

37.93

0.0 до 2.0

220

21.07

616

59.00

2.0 до 4.0

173

16.57

789

75.57

4.0 до 6.0

137

13.12

926

88.70

6.0 до 8.0

63

6.03

989

94.73

8.0 до 10.0

25

2.39

1,014

97.13

10.0 до 12.0

15

1.44

1,029

98.56

12.0 до 14.0

6

0.57

1,035

99.14

14.0 до 16.0

2

0.19

1,037

99.33

16.0 до 18.0

3

0.29

1,040

99.62

18.0 до 20.0

0

0.00

1,040

99.62

20.0 до 22.0

0

0.00

1,040

99.62

22.0 до 24.0

0

0.00

1,040

99.62

24.0 до 26.0

1

0.10

1,041

99.71

26.0 до 28.0

0

0.00

1,041

99.71

28.0 до 30.0

0

0.00

1,041

99.71

30.0 до 32.0

0

0.00

1,041

99.71

32.0 до 34.0

0

0.00

1,041

99.71

34.0 до 36.0

0

0.00

1,041

99.71

36.0 до 38.0

0

0.00

1,041

99.71

38.0 до 40.0

2

0.19

1,043

99.90

40.0 до 42.0

0

0.00

1,043

99.90

42.0 до 44.0

1

0.10

1,044

100.00

Источник: Ibbotson Associates.

Примечание: нижний предел интервала - это нестрогое неравенство \((\leq)\), а верхний предел - строгое неравенство \((<)\). Относительная частота - это абсолютная частота или накопленная частота, деленная на общее количество наблюдений. Итоги накопленных относительных частот отражают вычисления полной точности, с округлением до двух десятичных разрядов.

Преимущество анализа распределения частот очевидно из Таблицы 4, которая говорит нам, что подавляющее большинство наблюдений (687/1044 = 66%) лежат в четырех интервалах, охватывающих доходность от -2% до +6%. Всего у нас 396 отрицательных и 648 положительных результатов. Почти 62% ежемесячных результатов являются положительными.

Глядя на накопленную относительную частоту в последнем столбце, мы видим, что интервал от -2 процентов до 0% показывает накопленную частоту 37,93% для верхнего предела доходности 0%. Это означает, что 37,93% наблюдений лежат ниже уровня 0%. Мы также видим, что не так много наблюдений больше +12% или меньше -12%.

Обратите внимание, что распределение частот годовой и месячной доходности не является напрямую сопоставимым. В среднем следует ожидать, что показатели доходности, измеренные с более короткими интервалами (например, месяцы), будут меньше, чем показатели доходности, измеренные с более длительными периодами (например, годами).

Далее мы построим частотное распределение средней доходности с поправкой на инфляцию за 1900-2010 гг. для 19 основных фондовых рынков.

Пример построения частотного распределения для доходности акций основных фондовых рынков.

Как в конечном итоге акции вознаграждали инвесторов в разных странах?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы могли бы непосредственно изучить среднюю годовую доходность.

Среднее или среднее арифметическое (англ. 'arithmetic mean') для набора значений равно сумме значений, деленной на количество суммируемых значений. Например, чтобы найти среднее арифметическое значение 111 ставок годовой доходности, мы суммируем 111 ставок годовой доходности, а затем делим итоговое значение на 111.

См. также:

CFA - Среднее арифметическое и показатели центральной тенденции.

Однако размер номинального уровня доходности зависит от изменений покупательной способности денег, и на международном уровне всегда присутствуют разнообразные уровни инфляции цен. Поэтому предпочтительнее сравнивать среднюю реальную доходность или доходность с учетом инфляции, полученную инвесторами в разных странах.

Димсон, Марш и Стонтон (2011) представили авторитетные доказательства доходности активов в 19 странах за 111 лет 1900-2010. В Таблице 5 приводятся их выводы для средней доходности с поправкой на инфляцию.

Таблица 5. Реальная (с поправкой на инфляцию) доходность акций 19 основных фондовых рынков, 1900-2010 гг.

Страна

Среднее арифметическое (%)

Австралия

9.1

Бельгия

5.1

Канада

7.3

Дания

6.9

Финляндия

9.3

Франция

5.7

Германия

8.1

Ирландия

6.4

Италия

6.1

Япония

8.5

Нидерланды

7.1

Новая Зеландия

7.6

Норвегия

7.2

Южная Африка

9.5

Испания

5.8

Швеция

8.7

Швейцария

6.1

Объединенное Королевство

7.2

Соединенные Штаты

8.3

Источник: Dimson, Marsh, and Staunton (2011).

Таблица 6 суммирует данные Таблицы 5 в пять интервалов, охватывающих доходность от 5 до 10%. На 19 рынках относительная частота интервала доходности от 5,0 до 6,0% рассчитывается, например, как 3/19 = 15,79%.

Таблица 6. Частотное распределение реальной средней годовой доходности капитала.

Интервал доходности (%)

Абсолютная частота

Относительная частота (%)

Накопленная абсолютная частота

Накопленная относительная частота (%)

5.0 до 6.0

3

15.79

3

15.79

6.0 до 7.0

4

21.05

7

36.84

7.0 до 8.0

5

26.32

12

63.16

8.0 до 9.0

4

21.05

16

84.21

9.0 до 10

3

15.79

19

100.00

Как видно из Таблицы 6, в мире наблюдается значительный разброс средней реальной доходности. Более четверти наблюдений приходится на интервал от 7,0 до 8,0%, который имеет относительную частоту 26,32%. 3 или 4 наблюдения попадают в каждый из остальных 4-х интервалов.