Разобравшись в основах распределений вероятности, мы теперь готовы узнать о компьютерном методе, в котором вероятностные распределения играют важную роль. Этот метод называется моделированием методом Монте-Карло, статистическим моделированием или имитационным моделированием (англ. 'Monte Carlo simulation').

Моделирование методом Монте-Карло в области финансов предполагает использование компьютера для имитации функционирования сложной финансовой системы.

Характерной особенностью моделирования методом Монте-Карло является генерация большого числа случайных выборок из заданного распределения вероятностей или распределений, характеризующих риск в рассматриваемой системе.

Моделирование методом Монте-Карло имеет несколько совершенно разных применений. Один из вариантов использования - в финансовом планировании.

Исследователь Стэнфордского университета Сэм Сэведж представил следующую довольно точную аналогию роли этого метода:

«Что вы обязательно сделаете, прежде чем подняться по приставной лестнице? Вы встряхните ее, чтобы проверить устойчивость, - это и есть моделирование методом Монте-Карло»

Так же, как встряхивание лестницы помогает нам оценить риски падения с лестницы, моделирование методом Монте-Карло позволяет экспериментировать с предлагаемой финансовой стратегией или политикой до ее фактического осуществления. Например, показатели инвестиционной деятельности можно оценить относительно эталона или обязательства.

Пенсионные планы с установленными выплатами часто предполагают вложение свободных активов в зависимости от запланированного погашения пенсионных обязательств.

Пенсионные обязательства представляют собой сложный случайный процесс. В финансовом планировании активов и обязательств с использованием метода Монте-Карло, функционирование пенсионных активов и обязательств моделируется на определенный временной период, с учетом допущений о том, как инвестируются активы и других случайных величин.

Ключевым моментом в этой имитации и методе Монте-Карло является распределение вероятностей для различных источников риска (в том числе процентных ставок и ставок доходности рынка ценных бумаг, в данном случае).

Последствия решений инвестиционной политики пенсионного фонда можно оценить с помощью моделирования на определенный период. Эксперимент можно повторить для другого набора допущений.

В приведенном ниже Примере (11) серия ставок доходности не достаточно велика, чтобы ответить на вопросы аналитиков о временных закономерностях фондового рынка, поэтому исследователи моделируют рыночную доходность, чтобы найти ответы на свои вопросы.

Моделирование методом Монте-Карло также широко используется для получения стоимостной оценки риска VaR. В этом случае мы моделируем показатель прибыли и убытков портфеля в течение определенного промежутка времени.

Повторные испытания в рамках моделирования (каждое испытание означает получение случайных наблюдений из распределения вероятностей) создают частотное распределение для оценки стоимости портфеля. Например, точка, которая определяет порог отсечения, по меньшей мере, 5% благоприятных моделируемых изменений, является 95%-ной оценкой риска VaR.

Чрезвычайно важным применением моделирования методом Монте-Карло является оценка сложных ценных бумаг, в частности, некоторых европейских опционов, для которых не существует аналитической формулы ценообразования.

Опцион в европейском стиле или европейский опцион (англ. 'European-style option') может быть исполнен только по истечении определенного срока.

Для других ценных бумаг, таких как ипотечные ценные бумаги со сложными встроенными опционами, моделирование методом Монте-Карло также является важным аналитическим инструментом.

Исследователи используют моделирование методом Монте-Карло, чтобы проверить свои модели и инструменты.

Насколько критично конкретное предположение об эффективности модели?

Поскольку мы управляем предположениями, когда делаем имитацию, мы можем выполнить моделирование методом Монте-Карло, чтобы исследовать чувствительность модели к изменению наших предположений.

Процесс моделирования методом Монте-Карло.

Чтобы понять технику моделирования методом Монте-Карло, давайте представим процесс в виде серии шагов.

Эти шаги следует рассматривать только с целью изучения метода Монте-Карло, а не в качестве подробного рецепта для практической работы с этим методом, так как процесс может сильно отличаться в зависимости от области его применения, которая также очень разнообразна.

Для того, чтобы проиллюстрировать эти шаги, мы рассмотрим пример использования метода Монте-Карло для оценки азиатского колл-опциона, не имеющего аналитической формулы ценообразования.

Азиатский колл-опцион (англ. 'Asian call option') - это опцион в европейском стиле со стоимостью в момент исполнения, равной разнице между ценой акций в момент исполнения и средней ценой акций в течение срока действия опциона, или $0, в зависимости от того, что больше.

Например, если цена акции в момент исполнения опциона составляет $34, а средняя стоимость в течение срока действия опциона составляет $31, то стоимость опциона на момент исполнения составляет $3 (наибольшее значение из $34 - $31 = $3 и $0).

  • Шаги с 1 по 3 описывают имитацию;
  • Шаги с 4 по 7 выполняют сам процесс имитации.

Шаг 1. Определите интересующие величины (стоимость опциона, например, или размер активов пенсионного плана) в терминах базовых случайных величин.

Базовой случайной величиной (или несколькими величинами) может быть цена акций опциона, рыночная стоимость пенсионных активов, или другие случайные величины, связанные с обязательствами по пенсионному плану.

Укажите первоначальные значения базовых случайных величин.

Для иллюстрации шагов, мы используем оценку азиатского колл-опциона: \( С_{iT} \) представляет стоимость опциона при исполнении в момент времени \(T\). Нижний индекс \(i\) в \( С_{iT} \) указывает, что значение \( С_{iT} \) является результатом \(i-\text{го}\) имитационного испытания (англ. 'simulation trial').

Каждое имитационное испытание требует генерации случайной величины (итерация Шага 4).

Шаг 2. Определите временную шкалу. Возьмите календарный временной горизонт и разделить его на несколько подпериодов, общим числом \(K\).

Календарный период разделенный на \(K\) подпериодов, имеет временной инкремент (приращение времени) \(\Delta t\).

Шаг 3. Сделайте предположения о характере распределения для факторов риска, которые влияют на базовые случайные величины.

Например, цена акций является базовой случайной величиной для азиатского колл-опциона, поэтому нам нужна модель движения цен на акции. Допустим, мы выбираем следующую модель движения цен на акции, где \( Z_k \) обозначает стандартную нормальную случайную величину:

 \(\Delta t\)(Цена акций) = (\( \mu \times \) Предыдущая цена акций \(\times \Delta t\)) + (\( \sigma \times \) Предыдущая цена акций \(\times Z_k \))

В данном случае, \( Z_k \) является фактором риска при моделировании. Выбирая значение \( \mu\) и \( \sigma\), мы контролируем распределение стоимости акций. Хотя в этом примере используется один фактор риска, данная имитация может иметь несколько факторов риска.

Шаг 4. С помощью компьютерной программы или функции Excel, сгенерируйте \(K\)  случайные наблюдения для каждого фактора риска.

В нашем примере, функция Excel будет генерировать \(K\) значений стандартной нормальной случайной величины \( Z_k \): \( Z_1, \ Z_2, \ Z_3, \ldots , \ Z_k \).

Шаг 5. Вычислите базовые случайные величины, используя случайные наблюдения, сгенерированные на Шаге 4.

Результатом описанной выше модели динамики цены акций будет \(K\) наблюдений изменений цены акций. Для преобразования этих изменений в \(K\) цен на акции необходим дополнительный расчет (с использованием первоначальных цен акций, определенных на Шаге 1).

Другой расчет вычисляет среднюю цену акций в течение срока действия опциона (т.е. сумма \(K\) цен на акции делятся на \(K\)).

Шаг 6. Рассчитайте интересующие величины.

В нашем примере, первый расчет определяет стоимость азиатского колл-опциона на момент исполнения, \( С_{iT} \). А второй расчет дисконтирует эту конечную (будущую) стоимость к приведенной (текущей) стоимости, чтобы получить стоимость опциона на текущую дату, \( С_{i0} \).

Мы выполнили одно имитационное испытание (Нижний индекс \(i\) в \( С_{i0} \) означает \(i-\text{ое}\) имитационное испытание).

При моделировании методом Монте-Карло, в табличной форме записываются статистические данные каждого испытания, касающиеся распределения интересующих нас величин, в том числе их средние значения и стандартные отклонения.

Шаг 7. Итеративно возвращайтесь к Шагу 4, пока не выполните все \( I \) испытаний.

И, наконец, рассчитайте итоговые статистические данные для всех имитаций. Ключевым значением в нашем примере является среднее значение \( С_{i0} \) для общего количества имитационных испытаний, \( I \). Это среднее значение и будет оценкой стоимости азиатского колл-опциона методом Монте-Карло.

Сколько имитационных испытаний необходимо выполнить?

Как правило, нам нужно увеличить количество испытаний на коэффициент 100, чтобы увеличить точность испытания на 1 знак.

В зависимости от задачи, могут потребоваться десятки тысяч испытаний, чтобы получить точность до 2 знаков после запятой (например, это требуется стоимости опциона).

Проведение большого количества испытаний не обязательно проблематично, учитывая нынешние вычислительные мощности (даже обычного пользовательского ПК). Необходимое число имитационных испытаний может быть уменьшено с использованием специальных процедур понижения дисперсии, но эта тема выходит за рамки данного чтения.

Для получения дополнительной информации об уменьшении числа испытаний и о других технических аспектах моделирования методом Монте-Карло, см. Hillier and Lieberman (2010).

Генераторы случайных чисел и процедура генерации случайных наблюдений.

На Шаге 4 нашего примера, компьютер генерирует набор случайных наблюдений для стандартной нормальной случайной величины. Напомним, что для равномерного распределения все возможные исходы равновероятны.

Термин «генератор случайных чисел» (англ. 'random number generator') относится к алгоритму, который возвращает равномерно распределенные случайные числа между 0 и 1.

В контексте компьютерного моделирования, термин «случайное число» (англ. 'random number') относится к наблюдению из равномерного распределения.

Для других распределений в данном контексте используется термин «случайное наблюдение» (англ. 'random observation').

Числа, возвращаемые генераторами случайных чисел, зависят от «зерна» или начального значения (от англ. 'seed'). Если то же самое зерно передается в качестве параметра в тот же генератор, он будет возвращать ту же самую последовательность случайных чисел.

Все последовательности в конечном итоге повторяются.

Из-за этой предсказуемости, технически правильное название для чисел, полученных с помощью генераторов случайных чисел - псевдослучайные числа (англ. 'pseudo-random numbers').

Псевдослучайные числа достаточно хаотичны для большинства практических целей.

Замечательным фактом является то, что случайные наблюдения из любого распределения можно получить с использованием равномерной случайной величины в диапазоне от 0 до 1.

Для того, чтобы лучше понять это, рассмотрим метод обратной трансформации случайных наблюдений (англ. 'inverse transformation method').

Предположим, что мы заинтересованы в получении случайных наблюдений для случайной величины \(X \), с кумулятивной функцией распределения \( F(x) \). Напомним, что \( F(x) \), рассчитанная в точке \(x\), представляет собой число между 0 и 1.

Предположим, что случайный исход этой случайной величины равен 3.21 и что \(F(3.21) = 0.25\) или 25%.

Определим обратную функцию \(F\) и назовем ее \( F^{-1} \). Она может сделать следующее: подставим вероятность 0.25 в функцию \( F^{-1} \), и она вернет случайный результат 3.21. Другими словами, \( F^{-1}(0.25)=3.21 \).

Для генерации случайных наблюдений величины \( X \), выполняются следующие шаги:

  1. генерация равномерного случайного числа \(r\), между 0 и 1, с использованием генератора случайных чисел и
  2. расчет \( F^{-1}(r) \), чтобы получить случайное наблюдение величины \( X \).

Генерация случайного наблюдения сама по себе является областью отдельного изучения, и здесь мы лишь кратко обсудили метод обратной трансформации.

Как финансовому аналитику, вам не придется заниматься техническими деталями преобразования случайных чисел в случайные наблюдения, но вы должны знать, что случайные наблюдения из любого распределения можно сгенерировать с использованием равномерной случайной величины.

Далее, в Примерах 11 и 12, мы проиллюстрируем, как моделирование методом Монте-Карло позволяет определить потенциальную выгоду от выбора момента сделки (рыночного тайминга).

Пример (11) определения потенциальной прибыли от рыночного тайминга: метод Монте-Карло (1).

Все активные инвесторы хотят достичь наилучшей эффективности. Одним из возможных источников высокой эффективности является выбор момента сделки или рыночный тайминг (англ. 'market timing') - способность определить оптимальный момент для покупки или продажи ценных бумаг.

Насколько точно инвестор должен прогнозировать бычий рынок (англ. 'bull market') и медвежий рынок (англ. 'bear market'), чтобы получать прибыль?

Какой размер прибыли по сравнению со стратегией «покупать и держать» можно получить при заданной точности прогнозирования рынка?

Долгосрочная инвестиционная стратегия «покупать и держать» (англ. 'buy-and-hold strategy') игнорирует краткосрочные изменения рыночной стоимости акций.

Из-за большой изменчивости доходности активов, необходим огромный объем данных о доходности, чтобы получить статистически достоверные ответы на эти вопросы.

Поэтому исследователи Chua, Woodward и To (1987) выбрали метод Монте-Карло для определения потенциальной прибыли от рыночного тайминга. Их интересовали перспективы канадских инвесторов.

Чтобы понять их исследование, предположим, что в начале года инвестор прогнозирует, что в следующем году будет либо бычий рынок, либо медвежий рынок.

  • Если прогнозируется бычий рынок, инвестор вкладывает все свои деньги в акции и получает рыночную доходность за этот год.
  • С другой стороны, если прогнозируется медвежий рынок, инвестор вкладывает деньги в казначейские векселя и получает безрисковую доходность.
Рынок классифицируется как бычий, если рыночная доходность \( R_{Mt}\) за вычетом безрисковой доходности по казначейским векселям \( R_{Ft}\), является положительной в течение года. В противном случае, рынок классифицируются как медвежий рынок.

Инвестиционные результаты тех, кто использует рыночный тайминг можно сравнить с результатами тех, кто придерживается долгосрочной стратегии buy-and-hold. Долгосрочный инвестор получает рыночный доход ежегодно.

Для Chua и др. одним из интересующих показателей был выигрыш от рыночного тайминга. Они определили эту величину как среднюю доходность маркет-таймера за вычетом средней доходности долгосрочного инвестора.

Чтобы сымитировать рыночную доходность, Chua и др. сгенерировали 10 000 случайных стандартных нормальных наблюдений, \( Z_t \). Во время исследования средняя годовая доходность канадских акций составляла 12.95%, а стандартное отклонение - 18.30%.

С учетом этих параметров, моделируемая рыночная доходность будет:

\( R_{Mt} = 0.1830 Z_t + 0.1295, \ t = 1, \ 2, \ \ldots, \ 10,000. \)

Используя второй набор 10 000 случайных стандартных нормальных наблюдений, историческую доходность канадских казначейских векселей, а также историческую корреляцию векселей и доходности акций, авторы сгенерировали 10 000 ставок доходности казначейских векселей.

Инвесторы могут обладать различными навыками и опытом прогнозировании бычьих и медвежьих рынков. Chua и др. охарактеризовали маркет-таймеров по точности прогнозирования бычьих рынков и точности прогнозирования медвежьих рынков.

Например, точность прогнозирования бычьего рынка в 50% означает, что, если маркет-таймер прогнозирует бычий рынок на следующий год, он оказывается прав только в половине случаев, что указывает на отсутствие навыка.

Предположим, что точность в прогнозировании бычьего рынка составляет 60% и 80% - в прогнозировании медвежьего рынка (обозначается как 'маркет-таймер 60-80').

Мы можем смоделировать, насколько инвестор будет точен.

После генерации первого наблюдения для \( R_{Mt} - R_{Ft}\), мы знаем, соответствует ли это наблюдение бычьему или медвежьему рынку.

Если наблюдение соответствует бычьему рынку, то 0.60 (точность прогноза на бычьем рынке) сравнивается со случайным числом (от 0 до 1).

Если случайное число оказывается меньше, чем 0.60, что происходит с вероятностью 60%, то предполагается, что маркет-таймер правильно предсказал бычий рынок и его доходность для этого первого наблюдения является рыночной ставкой доходности.

Если случайное число оказывается больше, чем 0.60, то предполагается, что маркет-таймер допустил ошибку и предсказал медвежий рынок. Его доходность для этого наблюдения является безрисковой ставкой доходности.

Аналогичным образом, если это первое наблюдение соответствует медвежьему рынку, маркет-таймер имеет 80-процентный шанс быть правым в прогнозировании медвежьего рынка на основе генерации случайных чисел.

В любом случае, доходность инвестора сравнивается с рыночной доходностью, чтобы зафиксировать его выигрыш (разницу) по сравнению с долгосрочной стратегией buy-and-hold.

Описанный выше процесс является одним имитационным испытанием (итерацией).

Сымитированной средней доходностью, заработанной маркет-таймером, будет средняя заработанная доходность по итогу всех испытаний в моделировании.

Для того, чтобы лучше понять этот процесс, рассмотрим гипотетическое моделирование методом Монте-Карло с четырьмя испытаниями для маркет-таймера 60-80 таймера (напомним, что это означает 60% точность в прогнозировании бычьих рынков и 80% точность в прогнозировании медвежьих рынков).

В Таблице 8 приведены данные для моделирования.

Давайте взглянем на испытания 1 и 2.

В испытании 1, первое сгенерированное случайное число приводит к рыночной доходности 0.121. Поскольку рыночная доходность 0.121, превысила безрисковую доходность по векселю 0.050, мы имеем дело с бычьим рынком.

Затем мы генерируем случайное число 0.531, которое мы потом сравниваем с точностью маркет-таймера для бычьего рынка, 0.60. Поскольку 0.531 меньше, чем 0.60, то предполагается, что маркет-таймер правильно спрогнозировал бычий рынок и, соответственно, вложился в акции. Таким образом, в этом испытании маркет-таймер получает рыночную доходность 0.121.

В испытании 2 мы наблюдаем еще один бычий рынок, и, поскольку случайное число 0.725 больше, чем 0.60, то предполагается, что маркет-таймер сделал ошибку и предсказал медвежий рынок. Таким образом, таймер заработал безрисковую доходность 0.081, а не более высокую рыночную доходность.

Таблица 8. Гипотетическое моделирование для маркет-таймера 60-80.

Испытание

Генерация случайных наблюдений для рыночной доходности  \( R_{Mt}\)

Результаты моделирования

\( R_{Mt}\)

\( R_{Ft}\)

Бычий или медвежий рынок?

Случайное число \(X\)

Предска-
зание маркет-таймера правильно?

Зарабо-
танная доходность маркет-таймера

1

0.121

0.050

Бычий

0.531

Да

0.121

2

0.092

0.081

Бычий

0.725

Нет

0.081

3

-0.020

0.034

Медвежий

0.786

Да

0.034

4

0.052

0.055

A

0.901

B

C

\(\overline R = D\)

Примечание. \(\overline R \) является средней доходностью, заработанной маркет-таймером за четыре испытания моделирования.

Используя данные из Таблицы 8, определите значения A, B, C и D.

Решение:

Значение А: 'Медвежий', потому что рыночная доходность 0.052 оказалась ниже безрисковой доходности 0.055 в испытании 4.

Значениt В: 'Нет', потому что мы наблюдаем медвежий рынок, и если сравним случайное число 0.901 с точностью прогнозирования медвежьего рынка 0.80, то окажется, что маркет-таймер допустил ошибку (поскольку 0.901 больше, чем 0.8)

Значение С: 0.052, так как маркет-таймер сделал ошибку, инвестировал в фондовый рынок и заработал 0.052, что ниже безрисковой доходности 0.055.

Значение D:

\(\overline R \) = (0.121 + 0.081 + 0.034 + 0.052) = 0.288/4 = 0.072.

Обратите внимание, что мы могли бы вычислить другие статистические данные, помимо среднего, такие как стандартное отклонение доходности, заработанной маркет-таймером за четыре испытания в моделировании.

Пример (12) определения потенциальной прибыли маркет-таймера: метод Монте-Карло (2).

Итак, мы обсудили исследование Chua, Woodward и To и проиллюстрировали метод Монте-Карло гипотетическим моделированием из четырех испытаний.

Гипотетическое моделирование в Примере 11 включало слишком малое число испытаний, чтобы получить из него статистически точные выводы. Моделирование Chua и др. включало 10 000 испытаний. Исследователи определили пороговые значения навыков прогнозирования бычьих и медвежьих рынков в 50%, 60%, 70%, 80%, 90% и 100%.

Таблица 9 представляет собой небольшую выдержку из их результатов моделирования без учета трансакционных издержек (трансакционные издержки были также рассмотрены).

Например, в соответствии с этой таблицей, маркет-таймер с 60% точностью прогнозирования бычьего рынка и 80% точностью прогнозирования медвежьего рынка получал среднюю годовую выгоду (прибыль) от рыночного тайминга в размере -1.12 в год (т.е. отрицательную).

В среднем, заработок долгосрочного инвестора, придерживавшегося стратегии buy-and-hold, превосходил заработок маркет-таймера на 1.12 процентных пунктов.

Также заметна значительная изменчивость прибыли среди испытаний моделирования, однако стандартное отклонение прибыли составило 14.77%, так что во многих исследованиях (но не в среднем) прибыль была положительной.

Строка 3 (Выигрыш / Проигрыш) является отношением прибыльных переходов между рынком акций и безрисковых векселей к убыточным переходам. Это соотношение было благоприятным (1.2070) для маркет-таймера 60-80.

Однако, при анализе с учетом трансакционных издержек, меньшее количество переходов было прибыльным: коэффициент Выигрыш/Проигрыш составил 0.5832 для маркет-таймера 60-80.

Таблица 9. Выгода (прибыль) от рыночного тайминга (без трансакционных издержек).

Точность для бычьего рынка (%)

Точность для медвежьего рынка (%)

50

60

70

80

90

100

60

Среднее (%)

-2.50

-1.99

-1.57

-1.12

-0.68

-0.22

Ст. откл. (%)

13.65

14.11

14.45

14.77

15.08

15.42

Выигрыш / Проигрыш

0.7418

0.9062

1.0503

1.2070

1.3496

1.4986

Источник: Chua, Woodward и To (1987), Таблица II (выдержка).

Авторы пришли к выводу, что стоимость отказа от инвестирования в акции в течение года бычьего рынка высока. Поскольку долгосрочный инвестор, придерживающийся стратегии buy-and-hold, никогда не пропускает год бычьего рынка, он имеет 100%-ную точность прогнозирования для бычьих рынков (за счет точности 0% для медвежьих рынков).

С учетом их определений и предположений, авторы также пришли к выводу, что успешный рыночный тайминг требует минимальной точности 80% при прогнозировании как бычьих, так и медвежьи рынков.

Рыночный тайминг является постоянной областью интереса и изучения, и существуют другие исследования и выводы. Тем не менее, этот пример показывает, как моделирование методом Монте-Карло используется для решения важных вопросов инвестиций.

Метод исторического моделирования.

Аналитик выбирает распределения вероятностей при моделировании методом Монте-Карло.

В отличие от этого, историческое моделирование (англ. 'historical simulation' или 'back simulation') заключается в выборке значений из исторических записей (или других базовых случайных величин), чтобы сымитировать процесс.

Концепция, лежащая в основе исторического моделирования, предполагает, что исторический опыт наиболее наглядно характеризует распределения (и что прошлое применимо к будущему).

Например, вернемся к Шагу 2 моделирования методом Монте-Карло, описанному выше, и предположим, что временной инкремент составляет 1 день. Далее, предположим, что мы основываем моделирование на записях ежедневных ставок доходности акций за последние 5 лет.

В одном из типов исторического моделирования, мы случайным образом выбираем \(K\) ставок доходности из исторических записей, чтобы выполнить одно имитационное испытание. Мы возвращаем наблюдения в выборку, и в следующем испытании мы снова делаем случайную выборку с заменой. Результаты моделирования напрямую отражают частоты в данных.

Недостатком такого подхода является то, что любой не учтенный за выбранный период риск (например, крах фондового рынка), не будет отражен в моделировании.

По сравнению с моделированием методом Монте-Карло, историческое моделирование не подлежит анализу «а что, если». Тем не менее, историческое моделирование является признанной альтернативной методу Монте-Карло.

Моделирование методом Монте-Карло является дополнением к аналитическим методам. Оно обеспечивает только статистические оценки, а не точные результаты. Аналитические методы, насколько возможно, обеспечивают более глубокое представление о причинно-следственных связях.

Например, модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза-Мертона, применительно к стоимости европейского опциона, представляет собой аналитический метод, выраженный в виде формулы. Это гораздо более эффективный метод для оценки такого опциона, чем моделирование методом Монте-Карло.

В качестве аналитического метода, модель Блэка-Шоулза-Мертона позволяет аналитику быстро оценить чувствительность стоимости колл-опциона к изменениям текущей цены акций и другим случайным величинам, которые определяют стоимость при исполнении опциона.

В отличие от этого, моделирование методом Монте-Карло не дает такую точную картину напрямую.

Однако, только некоторые виды опционов можно оценить с помощью аналитических методов. И поскольку инновации финансовых продуктов продолжаются, область применения для моделирования методом Монте-Карло продолжает расти.