Среднее абсолютное отклонение позволяет решить проблему, заключающуюся в том, что сумма отклонений от среднего равна нулю. Для этого при расчете среднего используется абсолютное значение отклонений.

Второй подход к расчету отклонений состоит в их возведении в квадрат.

Дисперсия и стандартное отклонение, основанные на квадрате отклонений, являются двумя наиболее широко используемыми мерами дисперсии:

  • Дисперсия определяется как среднее квадратов отклонений от среднего значения.
  • Стандартное отклонение - это положительный квадратный корень дисперсии.

Далее обсуждается расчет и использования дисперсии и стандартного отклонения.

Дисперсия генеральной совокупности.

Если нам известен каждый элемент генеральной совокупности, мы можем вычислить дисперсию генеральной совокупности или просто дисперсию (англ. 'population variance').

Она обозначается символом \(\sigma^2\)[сигма] и представляет собой среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения.

Формула дисперсии генеральной совокупности.

\( \Large
\sigma^2 = { \dsum_{i=1}^{N} ( X_i - \mu )^2 \over N } \) (Формула 11)

где

  • \(\mu\) [мю] - это среднее генеральной совокупности, а
  • \(N\) - размер генеральной совокупности.

Зная среднее значение μ, мы можем использовать Формулу 11 для вычисления суммы квадратов отклонений от среднего с учетом всех \(N\) элементов в генеральной совокупности, а затем для определения среднего квадратов отклонений путем деления этой суммы на \(N\).

Независимо от того, является ли отклонение от среднего положительным или отрицательным, возведение в квадрат этой разности дает положительное число.

Таким образом, дисперсия решает проблему отрицательных отклонений от среднего значения, устраняя их посредством операции возведения в квадрат этих отклонений.

Рассмотрим пример.

Прибыль в процентах от выручки для оптовых клубов BJ's Wholesale Club, Costco и Walmart за 2012 год составляла 0.9%, 1.6% и 3.5% соответственно. Мы рассчитали среднюю прибыль в процентах от выручки как 2.0%.

Следовательно, дисперсия прибыли в процентах от выручки составляет:

(1/3)[(0.9 - 2.0)2 + (1.6 - 2.0)2 + (3.5 - 2.0)2]
= (1/3)(-1.12 + -0.42 + 1.52)
= (1/3)(1.21 + 0.16 + 2.25) = (1/3)(3.62) = 1.21

Стандартное отклонение генеральной совокупности.

Поскольку дисперсия измеряется в квадратах, нам нужен способ вернуться к исходным единицам. Мы можем решить эту проблему, используя стандартное отклонение, т.е. квадратный корень из дисперсии.

Стандартное отклонение легче интерпретировать, чем дисперсию, поскольку стандартное отклонение выражается в той же единице измерения, что и наблюдения.

Формула стандартного отклонения генеральной совокупности.

Стандартное отклонение генеральной совокупности (или просто стандартное отклонение, а также среднеквадратическое отклонение, от англ. 'population standard deviation'), определяемое как положительный квадратный корень из дисперсии генеральной совокупности, составляет:

\( \Large \dst
\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{N} ( X_i - \mu )^2 \over N} \) (Формула 12)

где

  • \(\mu\) [мю] - это среднее генеральной совокупности, а
  • \(N\) - размер генеральной совокупности.
Используя пример прибыли в процентах от выручки для оптовых клубов BJ's Wholesale Club, Costco и Walmart за 2012 год, в соответствии с Формулой 12, мы вычислим дисперсию 1.21, а затем возьмем квадратный корень: \( \sqrt{1.21} \) = 1.10.

Как дисперсия, так и стандартное отклонение являются примерами параметров распределения. В последующих чтениях мы введем понятие дисперсии и стандартного отклонения как меры риска.

Занимаясь инвестициями, мы часто не знаем среднего значения интересующей совокупности, обычно потому, что мы не можем практически идентифицировать или провести измерения для каждого элемента генеральной совокупности.

Поэтому мы рассчитываем среднее значение по генеральной совокупности и среднее выборки, взятой из совокупности, и вычисляем выборочную дисперсию или стандартное отклонение выборки, используя формулы, немного отличающиеся от Формул 11 и 12.

Мы обсудим эти вычисления далее.

Однако в инвестициях у нас иногда есть определенная группа, которую мы можем считать генеральной совокупностью. Для четко определенных групп наблюдений мы используем Формулы 11 и 12, как в следующем примере.

Пример расчета стандартного отклонения для генеральной совокупности.

В Таблице 20 представлен годовой оборот портфеля из 12 фондов акций США, которые вошли в список Forbes Magazine Honor Roll 2013 года.

Журнал Forbes ежегодно выбирает американские взаимные фонды, отвечающие определенным критериям для своего почетного списка Honor Roll.

Критериями являются:

  • сохранение капитала (эффективность на медвежьем рынке),
  • непрерывность управления (у фонда должен управлять менеджер непрерывно, в течение не менее 6 лет), диверсификация портфелей,
  • доступность (дисквалификация фондов, которые закрыты для новых инвесторов), и
  • долгосрочные показатели эффективности после уплаты налогов.

Оборачиваемость или оборот портфеля, показатель торговой активности, является меньшим значением из стоимости продаж или покупок за год, деленным на среднюю чистую стоимость активов за год. Количество и состав списка Forbes Honor Roll меняются из года в год.

Таблица 20. Оборот портфеля: взаимные фонды Forbes Honor Roll за 2013 год.

Фонд

Годовой оборот портфеля (%)

Bruce Fund (BRUFX)

10

CGM Focus Fund (CGMFX)

360

Hotchkis And Wiley Small Cap Value A Fund (HWSAX)

37

Aegis Value Fund (AVALX)

20

Delafield Fund (DEFIX)

49

Homestead Small Company Stock Fund (HSCSX)

1

Robeco Boston Partners Small Cap Value II Fund (BPSCX)

32

Hotchkis And Wiley Mid Cap Value A Fund (HWMAX)

72

T Rowe Price Small Cap Value Fund (PRSVX)

9

Guggenheim Mid Cap Value Fund Class A (SEVAX)

19

Wells Fargo Advantage Small Cap Value Fund (SSMVX)

16

Stratton Small-Cap Value Fund (STSCX)

11

Источник: Forbes (2013).

Основываясь на данных из таблицы 20, сделайте следующее:

  1. Рассчитайте среднее по совокупности для оборота портфеля за период, используя данные для 12 фондов из Honor Roll.
  2. Рассчитайте дисперсию и стандартное отклонение совокупности для оборота портфеля.
  3. Объясните использование формул в этом примере.

Решение для части 1:

\(\mu\) = (10 + 360 + 37 + 20 + 49 + 1 + 32 + 72 + 9 + 19 + 16 + 11)/12
= 636 /12 = 53%.

Решение для части 2:

Установив, что \(\mu\) = 53%, мы можем вычислить дисперсию

\( \sigma^2 = { \sum_{i=1}^{N} ( X_i - \mu )^2 \over N } \), сначала рассчитав числитель, а затем разделив результат на \(N\) = 12.

Числитель (сумма квадратов отклонений от среднего) равен:

(10 - 53)2 + (360 - 53)2 + (37 - 53)2 + (20 - 53)2 +
(49 - 53)2 + (1 - 53)2 + (32 - 53)2 + (72 - 53)2 +
(9 - 53)2 + (19 - 53)2 + (16 - 53)2 + (11 - 53)2 = 107,190

Таким образом,

\( \sigma^2 \) = 107,190/12 = 8,932.50.

Для расчета стандартного отклонения находим квадратный корень:

\( \sigma = \sqrt{ 8,932.50 } \) = 94.51%.

Единицей измерения дисперсии является процент в квадрате, поэтому единицей измерения стандартного отклонения также является процент.

Решение для части 3:

Если генеральная совокупность четко определена как фонды Forbes Honor Roll за один конкретный год (2013 г.), и если под оборотом портфеля понимается конкретный одногодичный период, о котором отчитывается Forbes, то применение формул генеральной совокупности для дисперсии и стандартного отклонения уместно.

Результаты 8,932.50 и 94.51 представляют собой, соответственно, перекрестную дисперсию и стандартное отклонение годового оборота портфеля для фондов Forbes Honor Roll за 2013 год.

Фактически, мы не могли должным образом использовать фонды Honor Roll для оценки дисперсии оборота портфеля (например) любой другой по-разному определенной генеральной совокупности, потому что фонды Honor Roll не являются случайной выборкой из какой-либо большей генеральной совокупности взаимных фондов США.

Выборочная дисперсия.

Во многих случаях в управлении инвестициями подгруппа или выборка из генеральной совокупности - это все, что мы можем наблюдать. Когда мы имеем дело с выборками, сводные показатели называются статистикой.

Статистика, которая измеряет дисперсию по выборке, называется выборочной дисперсией или дисперсией выборки (англ. 'sample variance').

В приведенном ниже обсуждении обратите внимание на использование латинских букв вместо греческих для обозначения объема выборки.

Формула выборочной дисперсии.

\( \Large
s^2 = { \dsum_{i=1}^{n} ( X_i - \overline X )^2 \over n-1 } \) (Формула 13)

где

  • \( \overline X \) - среднее значение выборки, а
  • \(n\) - количество наблюдений в выборке.

Формула 13 предписывает нам предпринять следующие шаги для вычисления выборочной дисперсии:

  1. Рассчитать выборочное среднее значение, \( \overline X \).
  2. Рассчитать квадратичное отклонение каждого наблюдения от среднего значения по выборке, \( ( X_i - \overline X )^2 \)
  3. Найти сумму квадратов отклонений от среднего: \( \sum_{i=1}^{n} ( X_i - \overline X )^2 \).
  4. Разделить сумму квадратов отклонений от среднего на \( (n - 1)\).

Мы проиллюстрируем расчет выборочной дисперсии и выборочного стандартного отклонения на примере ниже.

Отличие выборочной дисперсии от дисперсии генеральной совокупности.

Мы используем обозначение \( s^2 \) для выборочной дисперсии, чтобы отличить ее от дисперсии генеральной совокупности \( \sigma^2 \).

Формула для выборочной дисперсии почти такая же, как и для дисперсии генеральной совокупности, за исключением использования среднего значения выборки \( \overline X \) вместо среднего значения генеральной совокупности μ и другого делителя.

В случае дисперсии генеральной совокупности мы делим числитель на размер совокупности \(N\). Однако для дисперсии выборки мы делим ее на размер выборки минус 1 или \(n - 1\). Используя \(n - 1\) (а не \(n\)) в качестве делителя мы улучшаем статистические свойства выборочной дисперсии.

В статистических терминах выборочная дисперсия, определенная в Формуле 13, является несмещенной оценкой (англ. 'unbiased estimator ') дисперсии генеральной совокупности \( \sigma^2 \).

Мы обсудим эту концепцию далее в чтении о выборке.

Величина \(n - 1\) также называется числом степеней свободы (англ. 'number of degrees of freedom') при оценке дисперсии генеральной совокупности.

Чтобы оценить дисперсию \( s^2 \), мы должны сначала вычислить среднее. После того как мы вычислили среднее значение выборки, существует только \(n - 1\) независимых отклонений от него.

Стандартное отклонение выборки.

Для стандартного отклонения генеральной совокупности мы аналогичным образом можем вычислить стандартное отклонение выборки, взяв квадратный корень из положительной дисперсии выборки.

Формула стандартного отклонения выборки.

Стандартное отклонение выборки (выборочное стандартное отклонение, выборочное среднеквадратическое отклонение, англ. 'sample standard deviation'), обозначается символом \(s\) и рассчитывается следующим образом:

\( \Large \dst
s = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} ( X_i - \overline X )^2 \over n-1 } \) (Формула 14)

где

  • \( \overline X \) - среднее значение выборки, а
  • \(n\) - количество наблюдений в выборке.

Чтобы рассчитать стандартное отклонение выборки, мы сначала вычисляем дисперсию выборки, используя приведенные выше шаги. Затем мы берем квадратный корень из выборочной дисперсии.

Пример, приведенный ниже, иллюстрирует расчет выборочной дисперсии и стандартного отклонения выборки для двух взаимных фондов, представленных ранее.

Пример расчета выборочной дисперсии и стандартного отклонения выборки.

После расчета геометрических и арифметических средних доходностей двух взаимных фондов в Примере (1) мы вычислили две меры дисперсии для этих фондов, размах и среднее абсолютное отклонение доходности (см.  Пример расчета размаха и среднего абсолютного отклонения для оценки риска).

Теперь мы вычислим выборочную дисперсию и стандартное отклонение выборки для доходности тех же двух фондов.

Таблица 15. Совокупная доходность двух взаимных фондов,
2008-2012 гг. (повтор).

Год

Фонд Selected
American Shares
(SLASX)

Фонд T. Rowe Price
Equity Income
(PRFDX)

2008

-39.44%

-35.75%

2009

31.64

25.62

2010

12.53

15.15

2011

-4.35

-0.72

2012

12.82

17.25

Источник: performance.morningstar.com.

На основании приведенных выше данных сделайте следующее:

  1. Рассчитайте выборочную дисперсию доходности для (A) SLASX и (B) PRFDX.
  2. Рассчитайте выборочное стандартное отклонение доходности для (A) SLASX и (B) PRFDX.
  3. Сравните дисперсию доходности, измеренную стандартным отклонением доходности и средним абсолютным отклонением доходности для каждого из двух фондов.

Решение для части 1:

Чтобы вычислить выборочную дисперсию, мы используем Формулу 13 (значения отклонений приведены в процентах).

А. SLASX:

1. Среднее значение выборки:

\( \overline R \) = (-39.44 + 31.64 + 12.53 - 4.35 +12.82)/ 5 =
13.20/5 = 2.64%.

2. Квадратичные отклонения от среднего значения:

(-39.44 - 2.64)2 = (-42.08)2 = 1,770.73
(31.64 - 2.64)2 = (29.00)2 = 841.00
(12.53 - 2.64)2 = (9.89)2 = 97.81
(-4.35 - 2.64)2 = (-6.99)2 = 48.86
(12.82 - 2.64)2 = (10.18)2 = 103.63

3. Сумма квадратов отклонений от среднего составляет:

1,770.73 + 841.00 + 97.81 + 48.86 + 103.63 = 2,862.03.

4. Разделим сумму квадратов отклонений от среднего на (n - 1):

2,862.03 / (5 - 1) = 2,862.03 / 4 = 715.51

B. PRFDX:

1. Среднее значение выборки:

\( \overline R \) = (-35.75 + 25.62 + 15.15 - 0.72 + 17.25)/5 = 21.55/5 = 4.31%.

2. Квадратичные отклонения от среднего значения:

(-35.75 - 4.31)2 = (-40.06)2 = 1,604.80
(25.62 - 4.31)2 = (21.31)2 = 454.12
(15.15 - 4.31)2 = (10.84)2 = 117.51
(-0.72 - 4.31)2 = (-5.03)2 = 25.30
(17.25 - 4.31)2 = (12.94)2 = 167.44

3. Сумма квадратов отклонений от среднего составляет:

1,604.80 + 454.12 + 117.51 + 25.30 + 167.44 = 2,369.17.

4. Разделим сумму квадратов отклонений от среднего на \((n - 1)\):

2,369.17/4 = 592.29

Решение для части 2:

Чтобы найти стандартное отклонение, мы берем положительный квадратный корень из дисперсии.

A. Для SLASX, s = \( \sqrt {715.51} \) = 26.7%.

B. Для PRFDX, s = \( \sqrt {592.29} \) = 24.3%.

 

Решение для части 3:

Таблица 21 суммирует результаты части 2 для стандартного отклонения и включает результаты для MAD из Примера расчета размаха и среднего абсолютного отклонения для оценки риска.

Таблица 21. Два взаимных фонда: сравнение стандартного отклонения и среднего абсолютного отклонения (MAD).

Фонд

Стандартное
отклонение (%)

Среднее
абсолютное
отклонение (%)

SLASX

26.7

19.6

PRFDX

24.3

18.0

Обратите внимание, что среднее абсолютное отклонение меньше стандартного отклонения. Среднее абсолютное отклонение всегда будет меньше или равно стандартному отклонению, потому что стандартное отклонение придает больший вес большим отклонениям, чем маленьким (помните, что отклонения возводятся в квадрат).

Поскольку стандартное отклонение является мерой дисперсии относительно среднего арифметического, мы обычно представляем  среднее арифметическое и стандартное отклонение вместе при анализе данных.

Когда мы имеем дело с данными, которые представляют собой временной ряд процентных изменений, представление геометрического среднего, представляющего собой сложную ставку скорости роста, также очень полезно.

В Таблице 22 представлены исторические геометрические и арифметические средние доходности, а также историческое стандартное отклонение доходности для годовой и месячной доходности S&P 500.

Мы представляем эту статистику для номинальной (без поправки на инфляцию) доходности, чтобы мы могли наблюдать первоначальные величины доходности.

Таблица 22. Доходность рынка ценных бумаг: средние значения и стандартные отклонения.

Ставка доходности

Геометрическое
среднее (%)

Среднее
арифметическое (%)

Стандартное отклонение

S&P 500 (Годовая)

9.84

11.82

20.18

S&P 500 (Месячная)

0.79

0.94

5.50

Источник: Ibbotson.