Логнормальное распределение вероятностей довольно точно описывает распределение цен на многие финансовые активы и применяется в модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза-Мертона. Рассмотрим эту концепцию в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
Логнормальное распределение вероятностей тесно связано с нормальным распределением и широко используется для моделирования распределения вероятностей цен на акции и другие активы. Например, логнормальное распределение применяется в модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза-Мертона.
Модель Блэка-Шоулза-Мертона (англ. 'Black-Scholes-Merton option pricing model') предполагает, что цена актива, лежащего в основе опциона, логнормально распределяется.
Случайная величина
Верно и обратное: если натуральный логарифм случайной величины
Два наиболее примечательных свойства логнормального распределения заключаются в том, что оно ограничено снизу 0 и имеет перекос вправо (т.е. имеет длинный правый хвост). Обратите внимание на эти два свойства на графиках двух логнормальных распределений на Рисунке 7.
Цены на активы ограничены снизу 0. На практике было установлено, что логнормальное распределение довольно точно описывает распределение цен на многие финансовые активы.
С другой стороны, нормальное распределение часто является хорошей приблизительной моделью для доходности активов. По этой причине оба эти распределения очень важны для профессионалов в области финансов.
Рисунок 7. Два логнормальных распределения.
Подобно нормальному распределению, логнормальное распределение полностью описывается двумя параметрами. В отличие от других распределений, которые мы рассмотрели, логнормальное распределение определяется в терминах параметров иного распределения.
Два параметра логнормального распределения - это среднее и стандартное отклонение (или дисперсия) связанного с ним нормального распределения: среднее значение и дисперсия
Помните, мы должны следить за двумя наборами средних и стандартных отклонений (или дисперсий):
Выражения для среднего и дисперсии самой логнормальной величины сложны.
Предположим, что нормальный случайная величина
Определим
Поскольку величина
Что представляет собой ожидаемое значение
Можно предположить, что ожидаемое значение
Заметим, что
Чтобы получить некоторое представление об этой концепции, подумайте о том, что произойдет, если мы увеличим
Источник этого объяснения: Luenberger (1998).
Выражения для среднего значения и дисперсии логнормальной случайной величины приведены ниже, где
Обращайтесь к этим выражениям по мере необходимости, если нет потребности запоминать их:
Теперь мы исследуем взаимосвязь между распределением доходности акций и ценой акций. Далее мы покажем, что если непрерывно начисляемая (т.е. по сложной ставке) доходность акций имеет нормальное распределение, то будущая цена акций будет обязательно логнормально распределена.
Непрерывное начисление означает непрерывную или сплошную временную линию, в отличии от дискретного начисления, при котором время движется в дискретных конечных интервалах.
Непрерывно начисляемая доходность - это одна из так называемых моделей непрерывного финансирования (англ. 'continuous time finance model'), таких как модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза-Мертона.
См. чтения о временной стоимости денег для получения дополнительной информации о непрерывном (сложном) начислении процентов.
Кроме того, мы покажем, что цену акций можно хорошо описать логнормальным распределением, даже если непрерывно начисляемая доходность не следует нормальному распределению. Эти результаты дают теоретическую основу для моделирования цен с помощью логнормального распределения.
Сначала мы покажем, что цена акций в будущий момент времени
Это соотношение выражается как:
Мы можем записать
Так как цена
Для того, чтобы создать основу для дальнейшего обсуждения, предположим, что мы имеем ряд последовательных наблюдений стоимости акций (через равные временные периоды):
Текущая цена акций,
Относительная цена (англ. 'price relative'),
Например, если
В целом, относительные цены имеют вид:
где
Важной концепцией является непрерывно начисляемая доходность, связанная с доходностью за период владения, такой как
Непрерывно начисляемая доходность (англ. 'continuously compounded return'), связанная с доходностью за период владения, это натуральный логарифм из 1 плюс эта доходность за период владения, или, что эквивалентно, натуральный логарифм из конечной цены деленной на начальную цену (относительная цена).
В этом чтении мы используем строчную
Например, если мы наблюдаем недельную доходность за период владения 0.04, то недельной непрерывно начисляемой доходностью является
€1.00 инвестированный на одну неделю под 0.039221 при непрерывном начислении приносит €1.04, что эквивалентно 4%-ной недельной доходности за период владения.
Формула непрерывно начисляемой доходности для временного промежутка от
В нашем примере,
Таким образом, ставка 13.98% является непрерывно начисляемой доходностью во временной промежуток от
Если наш инвестиционный временной горизонт простирается от
Применив экспоненциальную функцию к обеим сторонам уравнения, мы получим:
поэтому
Мы также можем выразить
Логарифмируя обе стороны этого уравнения, мы находим, что непрерывно начисляемая доходность к моменту времени
Использование доходности за период владения для нахождения конечного значения $1 инвестиции, предполагает умножение величин (1 + доходность за период владения). Использование же непрерывно начисляемой доходности предполагает сложение.
Ключевом предположением во многих инвестиционных задачах является то, что ставки доходности независимо и идентично распределены (IID, от англ. 'independently and identically distributed'):
Предположим, что ставки непрерывно начисляемой доходности за 1 период (например,
(мы складываем
(как следствие предположения о независимости).
Дисперсия непрерывно начисляемой доходности за период владения
Если непрерывно начисляемая доходность за 1 период в правой части Формулы 6 нормально распределяется, то непрерывно начисляемой доходности за период владения
Эта связь объясняется тем, что линейная комбинация нормальных случайных величин тоже нормальна. Но даже если ставки непрерывно начисляемой доходности за 1 период не являются нормальными, их сумма,
Мы упоминали центральную предельную теорему (англ. 'central limit theorem') ранее, при обсуждении нормального распределения.
Напомним, что в соответствии с центральной предельной теоремой сумма (а также среднее) множества независимых идентично распределенных случайных величин с конечными дисперсиями нормально распределяется, независимо от распределения самих случайных величин.
Центральная предельная теорема обсуждается далее в чтениях о выборочном методе.
[см.: CFA - Центральная предельная теорема и распределение выборочного среднего]
Теперь сравните
Ясно, что мы можем моделировать будущую цену акций
Это предположение о нормально распределенной доходности является основой в теории применения логнормального распределения в качестве модели для распределения цен на акций и другие активы.
Непрерывно начисляемая доходность играет роль во многих моделях ценообразования опционов, как уже упоминалось ранее. Оценка волатильности имеет решающее значение для использования моделей ценообразования опционов, таких как модель Блэка-Шоулза-Мертона.
Волатильность (англ. 'volatility') оценивает стандартное отклонение непрерывно начисляемой доходности базового актива.
Волатильность также называют мгновенным стандартным отклонением, и обозначают так же:
Для получения более подробной информации об этих концепциях см. Chance and Brooks (2012).
На практике мы очень часто оцениваем волатильность, используя историческую последовательность непрерывно начисляемой дневной доходности. Мы собираем множество ставок непрерывно начисляемой доходности (за период владения 1 день), и затем используем Формулу 5, чтобы преобразовать их в непрерывно начисляемую дневную доходность.
Затем мы вычисляем стандартное отклонение непрерывно начисляемой дневной доходности и аннуализируем (пересчитываем в годовое исчисление) это значение с помощью Формулы 8.
Для вычисления стандартного отклонения множества или выборки из
Квадратный корень из выборочной дисперсии дает нам стандартное отклонение выборки. Более подробно расчет стандартного отклонения рассмотрен в чтениях о статистических концепциях и доходности рынка.
По соглашению, волатильность указывается в годовом исчислении.
В финансовой практике годовое исчисление часто рассчитывается на базе 250 дней в году - это приблизительное количество дней, когда финансовые рынки открыты для торговли. База в 250 дней в году может привести к лучшей оценке волатильности, чем календарная база - в 365 дней.
Таким образом, если дневная волатильность была 0.01, мы можем выразить волатильность (в годовом исчислении) как
Пример 10 иллюстрирует оценку волатильности акций Astra International.
Предположим, вы анализируете акции компании Astra International (обозначение на индонезийской фондовой бирже: ASII) и вас интересует цена акций Astra за неделю, в течение которой международные экономические новости существенно повлияли на индонезийский фондовый рынок.
Вы решили использовать волатильность в качестве меры изменчивости акций Astra в течение этой недели. Таблица 7 показывает цены закрытия (цены на момент закрытия биржи) в течение этой недели.
Дата |
Цена закрытия (IDR) |
---|---|
17 июня 2013 |
6,950 |
18 июня 2013 |
7,000 |
19 июня 2013 |
6,850 |
20 июня 2013 |
6,600 |
21 июня 2013 |
6,350 |
Используйте данные из Таблице 7, чтобы сделать следующее:
Решение для части 1:
Во-первых, используйте Формулу 5 для расчета непрерывно начисляемой дневной доходности. Затем найдите стандартное отклонение для полученной доходности обычным способом. (При расчете выборочной дисперсии, чтобы получить стандартное отклонение выборки, используйте в знаменателе размер выборки, уменьшенный на 1).
Сумма = -0.090287
Среднее = -0.022572
Дисперсия = 0.000452
Стандартное отклонение = 0.021261
Стандартное отклонение непрерывно начисляемой дневной доходности равно 0.021261.
Формула 8 утверждает, что
Мы хотим пересчитать результат в годовое исчисление так, чтобы временной горизонт
Мы находим, что в годовом исчислении волатильность акций Astra за эту неделю составляла 33.6%, что рассчитывается как
Обратите внимание, что выборочное среднее, -0.022572, является возможной оценкой среднего значения,
Выборочное среднее может быть переведено в оценку ожидаемой непрерывно начисляемой годовой доходности с помощью Формулы 7:
Но четырех наблюдений слишком мало, чтобы оценить ожидаемую доходность. Изменчивость дневной доходности важнее любой информации об ожидаемой доходности в такой короткой последовательности наблюдений.
Решение для части 2:
Цены на акции Astra должны следовать логнормальному распределению, если непрерывно начисляемая дневная доходность акций Astra следует нормальному распределению.
Мы показали, что распределение цены акций является логнормальным, с учетом некоторых предположений.
Каковы среднее значение и дисперсия
Выше мы привели перечень выражений для среднего и дисперсии логнормальной случайной величины. В этом перечне,
Например, выражение для среднего значения:
Ранее в этом чтении мы использовали среднее значение и дисперсию (или стандартное отклонение), чтобы построить интервалы, в которых мы ожидали найти определенный процент наблюдений нормально распределенной случайной величины. Эти интервалы были симметричны относительно среднего значения.
См. также:
Можем ли мы использовать подобные, симметричные интервалы для логнормальной случайной величины?
К сожалению, мы не можем. Поскольку логнормальное распределение не является симметричным, такие интервалы являются более сложными, чем для нормального распределения, и мы не будем обсуждать эту особую тему здесь.
См. Hull (2011) для обсуждения логнормальных доверительных интервалов.
Наконец, мы представили связь между средним и дисперсией непрерывно начисляемой доходности с различными временными горизонтами (см. Формулы 7 и 8), но как связаны средние и дисперсии ставок доходности за период владения и ставок непрерывно начисляемой доходности?
Как аналитики, мы обычно рассуждаем в терминах доходности за период владения, а не непрерывно начисляемой доходности, и хотим преобразовать средние и стандартные отклонения доходности за период владения в средние и стандартные отклонения непрерывно начисляемой доходности для работы с опционами, например.
Чтобы осуществить такие преобразования (и в таком и в обратном направлении), мы можем использовать выражения, изложенные в работе: Ferguson (1993).