Современная теория портфеля или Портфельная теория Марковица (MPT, от англ. 'modern portfolio theory') широко использует идею о том, что стоимость инвестиционных возможностей можно осмысленно оценить с помощью анализа средней доходности и дисперсии доходности.

В экономической теории, анализ среднего и дисперсии (или анализ средних отклонений, англ. 'mean-variance analysis') применяется именно тогда, когда инвесторы склонны к риску: когда они выбирают инвестиции так, чтобы максимизировать ожидаемую выгоду (полезность); и когда

  1. доходность нормально распределена, или
  2. инвесторы используют квадратичные функции полезности.
Функция полезности (англ. 'utility function') - это математическое представление отношения инвесторов к риску и доходности.

Анализ средних отклонений может давать приблизительные выводы, когда либо предположение 1, либо предположение 2 нарушается. Поскольку на практике финансисты предпочитают работать с наблюдаемыми величинами, такими как доходность, суждение о том, что доходность, по крайней мере, приблизительно нормально распределена, играет ключевую роль в MPT.

Анализ средних отклонений в целом считает риск симметричным в том смысле, что стандартное отклонение отражает изменчивость как выше, так и ниже среднего.

Мы обсудим анализ средних отклонений в деталях далее, в чтении о концепциях портфельных инвестиций.

Альтернативный подход оценивает только риск падения доходности. Здесь мы обсудим один из таких безопасных подходов, правила повышенной надежности, так как он дает отличную иллюстрацию применения теории нормальных распределений к практическим проблемам инвестирования.

Правила повышенной надежности (англ. 'safety-first rules') в первую очередь фокусируются на риске дефицита (англ. 'shortfall risk'), т.е риске того, что стоимость портфеля упадет ниже некоторого минимально допустимого уровня в течение определенного временного горизонта.

Например, риск того, что стоимость активов в пенсионном плане с установленными выплатами будет ниже обязательств по плану, является примером риска дефицита.

Предположим, что инвестор рассматривает любую доходность ниже уровня \( R_L \) неприемлемой. Критерий повышенной надежности Роя (англ. "Roy's safety-first criterion") утверждает, что оптимальный портфель минимизирует вероятность того, что доходность портфеля, \( R_p \), упадет ниже порогового уровня, \( R_L \).

Цель инвестора заключается в выборе портфеля, который сводит к минимуму вероятность \( P(R_p < R_L) \).

Если доходность портфеля нормально распределяется, мы можем вычислить вероятность \( P(R_p < R_L) \), используя стандартные отклонения \( R_L \) ниже ожидаемой доходности портфеля, \( E(R_p) \). Портфель, для которого \( E(R_p) - R_L \) является наибольшим значением по сравнению со стандартным отклонением, минимизирует \( P(R_p < R_L) \).

Поэтому, если доходность нормально распределена, оптимальный портфель повышенной надежности максимизирует коэффициент повышенной надежности (SFRatio, от англ. 'safety-first ratio'):

\( \Large {\rm SFRatio} = [E(R_p) - R_L] / \sigma_p \)

Величина \( E(R_p) - R_L \) является расстоянием от средней доходности до уровня дефицита доходности. Разделив это расстояние на \( \sigma_p \), мы получим расстояние в единицах стандартного отклонения.

Необходимо выполнить два шага для выбора портфеля с использованием критерия Роя (с учетом нормальности распределения доходности портфелей):

  1. Рассчитать SFRatio для каждого портфеля.
  2. Выберите портфель с самым высоким SFRatio.
Если актив предлагает безрисковую доходность за рассматриваемый временной горизонт, и если доходность актива \( R_L \) меньше или равна безрисковой ставке, то оптимальным решением, с точки зрения надежности, будет полностью инвестировать в безрисковый актив. Владение безрисковым активом, в данном случае, исключает вероятность того, что доходность будет отрицательной.

Для портфеля с заданным коэффициентом повышенной надежности, вероятность того, что его доходность будет ниже, чем \( R_L \), равна \( N(-{\rm SFRatio}) \), а оптимальный портфель повышенной надежности имеет самую низкую такую ​​вероятность.

Например, предположим, что уровень доходности инвестора, \( R_L \), составляет 2%. Инвестор анализирует два портфеля.

Портфель 1 имеет ожидаемую доходность 12% со стандартным отклонением 15%. Портфель 2 имеет ожидаемый доходность 14% со стандартным отклонением 16%.

Коэффициенты SFRatio равны \( 0.667 = (12 - 2)/15 \) и \( 0.75 = (14 - 2)/16 \) для Портфелей 1 и 2, соответственно. Для лучшего Портфеля 2, вероятность того, что доходность портфеля будет меньше, чем 2%, равна \( N(-0.75) = 1 - N(0.75) = 1 - 0.7734 = 0.227 \) или около 23%, при условии, что доходность портфеля нормально распределена.

Вы, возможно, заметили сходство SFRatio с коэффициентом Шарпа. Если мы используем безрисковую ставку, \( R_F \), в качестве критического уровня \( R_L \), то SFRatio становится коэффициентом Шарпа.

Подход критерия повышенной надежности позволяет по-новому взглянуть на коэффициент Шарпа:

Когда мы оцениваем портфели, используя коэффициент Шарпа, портфель с самым высоким коэффициентом Шарпа сводит к минимуму вероятность того, что доходность портфеля будет меньше безрисковой ставки (с учетом нормальности распределения доходности портфеля).

Пример (9) определения оптимального портфеля повышенной надежности для клиента.

Вы исследуете распределение активов для клиентки из Канады с портфелем в C$800,000. Хотя ее инвестиционной целью является долгосрочный рост, в конце года она может изъять C$30,000 из портфеля для финансирования расходов на образование.

Если эта необходимость возникнет, она хотела бы иметь возможность снять с инвестиционного счета C$30,000, не затронув при этом первоначальный капитал в размере C$800,000. В Таблице 6 показаны три альтернативных размещения капитала.

Таблица 6. Среднее и стандартное отклонение для трех размещений (в процентах).

A

B

C

Ожидаемая годовая доходность

25

11

14

Стандартное отклонение доходности

27

8

20

Вам необходимо задать себе следующие вопросы (исходя из нормальности распределений для частей 2 и 3):

  1. Учитывая желание клиента не уменьшать первоначальный капитал в C$800,000, каков будет уровень дефицита, \( R_L \)? Используйте этот уровень для решения части 2.
  2. В соответствии с критерием повышенной надежности, какое из трех размещений является наилучшим?
  3. Какова вероятность того, что доходность оптимального портфеля повышенной надежности будет меньше, чем уровень дефицита?

Решение для части 1:

Поскольку C$30,000/C$800,000 составляет 3.75%, любая доходности менее 3.75% вынудит клиентку уменьшить первоначальный капитал, если она изымет C$30,000. Таким образом,  \( R_L \) = 3.75%.

Решение для части 2:

Для того, чтобы решить, какое из трех размещений является оптимальным с точки зрения повышенной надежности, вам нужно выбрать вариант с самым высоким коэффициентом \( [E(R_p) - R_L]/ \sigma_p \):

  • Размещение A: 0.787037 = (25 - 3.75)/27
  • Размещение B: 0.90625 = (11 - 3.75)/8
  • Размещение C: 0.5125 = (14 - 3.75)/20

Размещение В, с наибольшим коэффициентом повышенной надежности SFRatio (0.90625), является наилучшей альтернативой в соответствии с критерием повышенной надежности.

Решение для части 3:

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что \( P(R_B < 3.75) = N(-0.90625) \). Мы можем округлить 0.90625 до 0.91, чтобы использовать таблицы стандартного нормального распределения.

Во-первых, мы вычислим:

\( N(-0.91) = 1 - N(0.91) = 1 - 0.8186 = 0.1814 \) или около 18.1%.

Используя функцию электронных таблиц стандартного нормального распределения для -0.90625 без округления, мы получим 18.24% или около 18.2%. Оптимальный портфель повышенной надежности имеет примерно 18-процентный шанс не достигнуть порога доходности в 3.75%.

Стоит отметить несколько моментов.

Во-первых, если бы входящие параметры даже хоть немного различались, мы могли бы получить другой рейтинг. Например, если средняя доходность B была бы 10%, а не 11%, наилучшим вариантом был бы B.

Во-вторых, если бы минимальный уровень доходности в 3.75% был бы необходимостью, а не желанием, сумма C$830,000 в год могла быть смоделирована как обязательство.

Стратегии фиксированной доходности, такие как балансирование денежных потоков (англ. 'cash flow matching') могут быть использованы для компенсации или иммунизации квази-обязательства в сумме C$830,000.

Правило повышенной надежности Роя было самым ранним подходом к решению проблемы риска дефицита. Стандартный процесса выбора портфеля с учетом анализа средних отклонений использовать для ограничения риска дефицита.

Во многих инвестиционных ситуациях, помимо критерия повышенной надежности Роя, мы используем нормальное распределение для оценки вероятности. Например, исследователи Kolb, Gay и Hunter (1985) разработали выражение на основе стандартного нормального распределения для оценки вероятности того, что фьючерсный трейдер истощит свою ликвидность из-за убытков по фьючерсному договору.

Еще одна сфера, в которой нормальное распределение играет важную роль, - это область управления финансовыми рисками. Финансовые институты, такие как инвестиционные банки, дилеры по ценным бумагам, а также коммерческие банки имеют формальные системы для оценки и контроля финансовых рисков на различных уровнях, начиная от торговых позиций до общего риска для компании.

Финансовые риски (англ. 'financial risk') - это риски, связанные с ценами на активы и другими финансовыми случайными величинами. В отличие от финансовых рисков, нефинансовые риски (например, связанные с операциями и технологии), требуют иных инструментов для управления.

См. также:

CFA - Финансовый риск и финансовый рычаг.

Стоимостная оценка риска (Var).

Двумя ключевыми инструментами в управлении финансовыми рисками являются стоимостная мера риска (VaR) и стресс-тестирование / анализ сценариев.

Стресс-тестирование / анализ сценариев (англ. 'stress testing/scenario analysis') - это дополнение к VaR, которое является одним из методов оценки убытков в крайне неблагоприятных сочетаниях событий или сценариев.

Стоимостная мера риска или стоимостная оценка риска (VaR, от англ. 'Value at Risk') представляет собой денежную оценку минимального значения ожидаемых убытков в течение определенного периода времени (например, день, квартал или год) при заданном уровне вероятности (часто 0.05 или 0.01).

Предположим, мы указываем однодневный временной период и уровень вероятности 0.05, что будет называться "95-процентной однодневной оценкой риска (VaR)".

В 95% однодневной VaR, 95% относятся к уверенности в значении VaR, что равно 1 - 0,05; это традиционный способ формулировки VaR.

Если это значение VaR относится к портфелю на €5 млн., то существует 0.05 вероятность того, что портфель потеряет €5 млн. или более в течение одного дня (при условии, что наши предположения верны).

Один из основных подходов к оценке Var, дисперсионно-ковариационный или аналитический метод, предполагает, что доходность соответствует нормальному распределению. Для получения дополнительной информации о VaR см. исследование  Chance and Brooks (2012).