Чтобы понять различные способы представления доходности на долговых рынках, необходимо разобраться в некоторых общепринятых соглашениях о котировке доходности по инструментам денежного рынка.

Денежный рынок (англ. 'money market') - это рынок краткосрочных долговых инструментов (со сроком погашения 1 год или менее).

Некоторые долговые инструменты требуют, чтобы эмитент погасил кредитору сумму займа плюс проценты. Другие являются чисто дисконтными инструментами, которые выплачивают проценты как разницу между заимствованной суммой и возвращенной суммой.

На денежном рынке США классическим примером чистого дисконтного инструмента является казначейский вексель США (T-bill или TB, от англ. 'Treasury bill'), выпущенный федеральным правительством.

Номинальная стоимость казначейского векселя - это сумма, которую правительство США обещает вернуть инвестору в погашение этого векселя.

При покупке казначейского векселя инвесторы оплачивают его номинальную стоимость за вычетом дисконта и получают полную номинальную стоимость в конце срока.

Дисконт (англ. 'discount') - это сумма, на которую уменьшается номинальная стоимость, благодаря чему формируется первичная цена продажи TB. Этот дисконт становится процентным доходом, который накапливается, потому что инвестор получает номинальную сумму в конце срока.

Таким образом, инвесторы получают денежный доход, равный дисконту, если они удерживают инструмент до погашения. Краткосрочные казначейские векселя на сегодняшний день является наиболее важным классом инструментов денежного рынка в США.

Другие типы инструментов денежного рынка включают краткосрочные векселя компаний и банковские акцепты, которые являются дисконтными инструментами, а также свободно обращающиеся депозитные сертификаты, которые являются процентными инструментами.

Рынок каждого из этих инструментов имеет свою собственную конвенцию для обозначения цены или доходности.

Далее мы рассмотрим соглашения (конвенции) о котировках казначейских векселей и других инструментов денежного рынка.

Чистые дисконтные инструменты, такие как казначейские векселя, котируются не так, как казначейские облигации США (англ. 'Treasury bonds'). Векселя котируются на базисе банковской скидки, а не на базисе цены.

Базис банковской скидки или дисконта (англ. 'bank discount basis') - это соглашение о котировках, в соответствии с которым годовая стоимость дисконта (скидки) рассчитывается в процентах от номинальной стоимости на основе 360-дневного года.

Доходность на базисе банковского дисконта рассчитывается следующим образом:

\( \large \dst
{r_{\rm BD} = \frac DF \frac{360}{t}} \) (Формула 3)

где

  • \(r_{\rm BD}\) = годовая доходность на базисе банковского дисконта.
  • \(D\) = дисконт в денежном выражении, равный разнице. между номинальной стоимостью векселя \(F\) и его покупной ценой\(P_0\).
  • \(F\) = номинал казначейского векселя.
  • \(t\) = фактическое количество дней, оставшихся до погашения.
  • \(360\) = количество дней в году в соответствии с банковской конвенцией.

Банковская дисконтная доходность (часто называемая просто дисконтной доходностью, от англ. 'bank discount yield') выражает сумму дисконта \(D\) в виде доли от номинальной стоимости (а не цены) казначейского векселя.

Затем эта доля умножается на количество периодов продолжительностью \(t\) в одном году (то есть \(360/t\)), при этом предполагается, что в году 360 дней. Аннуализация (пересчет в годовое исчисление), таким образом, предполагает простой процент (без промежуточных начислений).

Рассмотрим следующий пример.

Пример расчета банковской дисконтной доходности.

Предположим, что у нас есть вексель с номинальной стоимостью $100,000 и сроком погашения 150 дней по цене $98,000.

Какова будет банковская дисконтная доходность векселя?

Решение:

В этом примере дисконт \(D\) составляет $2,000. В соответствии с Формулой 3 доходность с учетом на базисе банковского дисконта составляет 4,8%:

\( \dst r_{\rm BD} = \frac{$2,000}{$100,000} \frac{360}{150} = 4.8\%\)

Цена дисконтных инструментов, таких как казначейские векселя, указывается с использованием дисконтной доходности, поэтому мы обычно переводим дисконтную доходность в цену.

Предположим, мы знаем, что доходность банковского дисконта составляет 4.8%, но не знаем цену. Мы находим сумму дисконта \(D\) следующим образом:

\(\dst D = r_{\rm BD}F \frac{t}{360}\)

При \(r_{\rm BD}\) = 4.8% дисконт в денежном выражении составляет:

\(D = 0.048 \times $100,000 \times 150/360 = $2,000 \)

После того, как мы вычислили сумму дисконта, мы можем определить цену покупки векселя как его номинальную стоимость за вычетом суммы дисконта:

\(F - D = $100,000 - $2,000 = $98,000 \)

Доходность на основе банковского дисконта не является значимым показателем доходности инвесторов по трем причинам.

  • Во-первых, эта доходность основана на номинальной стоимости, а не на цене покупки инструмента. Доходы от инвестиций должны оцениваться относительно суммы, которая инвестируется.
  • Во-вторых, доходность рассчитывается на основе 360-дневного года, а не 365-дневного.
  • В-третьих, банковская дисконтная доходность аннуализируется с начислением простого процента, то есть игнорирует возможность зарабатывать проценты по процентам (сложный процент).

Мы можем расширить пример, приведенный выше, чтобы рассмотреть три часто используемых альтернативных показателя доходности.

HPY - доходность за период владения.

Первым является доходность за период владения в течение оставшегося срока действия инструмента (150 дней в случае TB в примере выше).

Этот показатель определяет доход, который инвестор получит, удерживая инструмент до погашения. Этот показатель не является годовой нормой доходности (то есть, это периодическая процентная ставка).

На рынках ценных бумаг с фиксированным доходом этот показатель также называется доходностью за период владения (HPY, от англ. 'holding period yield').

Участники рынка облигаций часто используют термин «доходность» (англ. 'yield') применительно к общей доходности (т.е. доходности, включающей как изменение цены, так и сам доход по ценной бумаге). Например, доходность к погашению (англ. 'yield to maturity').

В других случаях доходность относится только к самому доходу от ценной бумаги. Например, текущая доходность (англ. 'current yield'), которая представляет собой годовой процентную ставку, деленную на цену.

Термин доходность за период владения (HPY) является синонимом, используемым на рынке облигаций для терминов: доходность за период владения (HPR), совокупный доход (англ. 'total return') и доход горизонта (англ. 'horizon return').

Для инструмента, который предполагает один денежный платеж в течение срока его действия, HPY будет равен:

\(\large \dst
{\rm HPY} = {P_1 - P_0 + D_1 \over P_0} \) (Формула 4)

где

  • \(P_0\) = цена покупки инструмента.
  • \(P_1\) = цена, полученная за инструмент при его погашении.
  • \(D_1\) = денежный доход, выплачиваемый инструментом при его погашения (то есть, проценты).

Когда мы используем эту формулу для расчета доходности процентного инструмента (например, для купонных облигаций), нам необходимо учитывать важную деталь:

цены покупки и продажи должны включать любые начисленные проценты, добавленные к цене сделки, поскольку облигация продается в промежуток времени между датами выплаты процентов.

Начисленные проценты (англ. 'accrued interest') - это купонные проценты, которые продавец зарабатывает с даты последнего купона, но не получает в качестве купонного дохода, поскольку следующая дата выплаты купонного дохода наступает после даты продажи облигации.

Цена, включающая начисленные проценты, называется полной ценой. Торговые цены котируются как «чистые» (т.е. без начисленных процентов), но если есть начисленные проценты, то, как объясняется выше, они добавляются к цене покупки.

Для чистых дисконтных ценных бумаг вся полученная прибыль достигается путем погашения по цене более высокой, чем покупная цена.

Поскольку казначейский вексель представляет собой чистый дисконтный инструмент, он не производит выплаты процентов и, следовательно, для него \(D_1 = 0 \). Поэтому доходность за период владения представляет собой сумму дисконта, деленную на цену покупки:

\(\large \dst {\rm HPY} = D / P_0 \)

где 

  • \( D = P_1 - P_0 \)

HPY - это сумма, которая представляется в годовом выражении другими показателями. Для казначейского векселя в примере выше инвестиции в размере $98,000 принесут $100,000 за 150 дней.

Доходность за период владения этими инвестициями с использованием составляет (по Формуле 4):

($100,000 - $98,000)/$98,000 = $2,000/$98,000 = 2.0408%

В этом примере периодическая ставка доходности в 2.0408% связана со 150-дневным периодом. Если бы мы использовали ставку доходности TB в качестве альтернативной стоимости инвестирования, мы бы использовали ставку дисконтирования 2,0408%, чтобы найти приведенную стоимость (PV) любого другого денежного потока, который будет получен через 150 дней.

До тех пор, пока другой денежный поток имеет характеристики риска, аналогичные характеристикам TB, этот подход является подходящим. Если бы другой денежный поток был более рискованным, чем TB, то мы могли бы использовать доходность TB в качестве базовой ставки, к которой мы добавили бы премию за риск.

Формула для HPY одинакова независимо от валюты деноминации.

EAY - эффективная годовая доходность.

Вторым показателем доходности является эффективная годовая доходность (EAY, от англ. 'effective annual yield'). EAY представляет собой годовую доходность, которая учитывает влияние начисления процентов на проценты.

Эффективная годовая доходность также еще называется эффективной годовой процентной ставкой (англ. 'effective annual rate').

\( \large\dst {\rm EAY} = (1 + {\rm HPY})^{365/t} - 1 \) (Формула 5)

В нашем примере мы можем рассчитать EAY следующим образом:

\( {\rm EAY} = (1.020408)^{365/150} - 1 = 1.050388 - 1 = 5.0388\% \)

Этот пример иллюстрирует общее правило:

банковская дисконтная доходность меньше эффективной годовой доходности (EAY).

Доходность на денежном рынке.

Третьим альтернативным показателем доходности является доходность на денежном рынке (англ. 'money market yield', также известная как 'CD equivalent yield').

В соответствии с этим соглашением котируемая доходность TB сопоставима с котировками по процентным инструментам денежного рынка, которые выплачивают проценты на 360-дневной основе.

В целом, доходность денежного рынка равна годовой доходности HPY, рассчитанной исходя из 360-дневного года:

\( r_{\rm MM} = ({\rm HPY})(360 / t) \)

По сравнению с банковской дисконтной доходностью, доходность денежного рынка рассчитывается по покупной цене, поэтому:

\( r_{\rm MM} = (r_{\rm BD})(F / P_0) \)

Это уравнение показывает, что доходность денежного рынка больше, чем банковская дисконтная доходность. На практике следующая формула является более полезной, поскольку она не требует знания цены векселя:

\( \large \dst r_{\rm MM } = {360 r_{\rm BD} \over 360 - (t)(r_{\rm BD})} \) (Формула 6)

Для примера TB доходность денежного рынка равна:

\( r_{\rm MM} = (360)(0.048)/[360 - (150) (0.048)] = 4.898\% \)

Некоторые национальные рынки используют формулу доходности денежного рынка, а не банковскую дисконтную доходность, чтобы котировать доходность по таким дисконтным инструментам, таким как казначейские векселя.

В Канаде принято указывать доходность казначейских векселей с использованием формулы денежного рынка, предполагающей 365-дневный год.

Доходность дисконтных векселей Казначейства Германии со сроком погашения менее 1 года и французских векселей BTF рассчитывается по формуле денежного рынка с учетом 360-дневного года.

В таблице ниже приведены три показателя доходности, которые обсуждались выше.

Три наиболее часто используемых показателя доходности

Доходность за период владения (HPY)

Эффективная годовая доходность (EAY)

Доходность денежного рынка (CD equivalent yield)


\( \dst {\rm HPY} = {P_1 - P_0 + D_1 \over P_0} \)
 

\( \dst {\rm EAY} = (1 + {\rm HPY})^{365/t} - 1 \)

\( \dst r_{\rm MM} = {360 r_{\rm BD} \over 360 - (t)(r_{\rm BD})} \)

Следующий пример поможет вам закрепить ваши знания об этих показателях доходности.

Пример использования соответствующей ставки дисконтирования.

Вам необходимо найти текущую стоимость (PV) денежного потока в $1,000, который должен быть получен в течение 150 дней.

Вы решаете рассмотреть казначейские векселя со сроком погашения 150 дней, чтобы определить соответствующую процентную ставку для расчета приведенной стоимости. Вы нашли множество показателей доходности для 150-дневного TB.

Таблица ниже представляет эту информацию.

Краткосрочная доходность денежного рынка.

Доходность за период владения

2.0408%

Банковская дисконтная доходность

4.8%

Доходность денежного рынка

4.898%

Эффективная годовая доходность

5.0388%

Какие показатели доходности подходят для определения текущей стоимости $1,000, которые будут получены через 150 дней?

Решение:

Доходность за период владения является подходящим показателем, и мы также можем использовать доходность денежного рынка и эффективную годовую доходность после преобразования их в HPY.

Доходность за период владения (2.0408%). Эта доходность - именно то, что нам нужно.

Поскольку она применяется к 150-дневному периоду, мы можем использовать ее напрямую, чтобы найти текущую стоимость $1,000, которые будут получены в течение 150 дней. (Вспомните принцип, в соответствии с которым ставки дисконтирования должны быть совместимы с периодом времени.)

Текущая (приведенная) стоимость:

PV = $1,000 / 1.020408 = $980.00

Теперь мы можем понять, почему другие показатели доходности неуместны или не так легко применимы.

Банковская дисконтная доходность (4.8%). Мы не должны использовать этот показатель доходности для определения приведенной стоимости денежного потока. Как упоминалось ранее, банковская дисконтная доходность основана на номинальной стоимости векселя, а не на его цене.

Доходность денежного рынка (4.898%). Чтобы использовать доходность денежного рынка, нам нужно преобразовать ее в доходность за 150-дневный период, разделив ее на (360/150).

После получения HPY = 0.04898/(360/150) = 0.020408 мы используем ее для дисконтирования $1,000, как указано выше.

Эффективная годовая доходность, EAY (5.0388%). Эта доходность также была пересчитана в годовое исчисление, поэтому ее необходимо скорректировать, чтобы она соответствовала срокам движения денежных средств.

Мы можем получить из EAY доходность за период владения следующим образом:

\( (1.050388)^{150/365} - 1 = 0.020408 \)

Напомним, что когда мы нашли EAY, экспонента составляла 365/150, или количество 150-дневных периодов в 365-дневном году. Чтобы уменьшить эффективную годовую доходность до 150-дневной доходности, мы используем обратную величину показателя, который мы использовали для пересчета в годовое исчисление.

В предыдущем примере мы преобразовали два краткосрочных показателя годовой доходности в доходность за 150-дневный период владения. Это - один из способов пересчета.

Нам также часто бывает необходимо конвертировать периодические ставки в годовые. Эта проблема может возникнуть как на денежных рынках, так и на рынках долгосрочной задолженности.

Например, многие облигации (долгосрочные долговые инструменты) выплачивают проценты раз в полгода. Облигационные инвесторы рассчитывают IRR для облигаций, известную как доходность к погашению (YTM).

Если полугодовая доходность к погашению составляет 4%, как мы можем конвертировать в годовую доходность?

Точный подход (с учетом начисления сложного процента) состоит в том, чтобы вычислить (1.04)2 - 1 = 0.0816 или 8.16%. Это то, что мы называем эффективной годовой доходностью.

Однако подход, используемый на рынках облигаций США, заключается в удвоении полугодовой доходности к погашению: 4% \(\times\) 2 = 8%.

Доходность к погашению, рассчитанная таким образом, без учета начисления процентов, называется эквивалентной доходностью облигаций (англ. 'bond equivalent yield').

См. также:

CFA - Краткосрочные инвестиционные инструменты.

На практике, этот результат в 8%, будет называться просто доходностью облигации к погашению. На денежных рынках, если бы мы определяли годовую доходность за 6 месяцев, удваивая ее, чтобы сделать результат сопоставимым с доходностью облигаций, мы бы также сказали, что результатом будет эквивалентная доходность облигации.