CFA - Ожидаемое значение, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины
Рассмотрим ожидаемое значение, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины, широко использующиеся при прогнозировании финансовых величин и коэффициентов, а также при оценке любых других факторов, которые могут повлиять на финансовое положение инвесторов, - в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
Ожидаемое значение случайной величины является важным количественным понятием в инвестициях. Инвесторы постоянно используют ожидаемые значения - при оценке выгод от альтернативных инвестиций, при прогнозировании прибыли на акцию и других корпоративных финансовых величин и коэффициентов, а также при оценке любых других факторов, которые могут повлиять на их финансовое положение.
Ожидаемое значение случайной величины определяется следующим образом:
Определение ожидаемого значения.
Ожидаемое значение случайной величины (или математическое ожидание, от англ. 'expected value') является средневзвешенной вероятностью возможных результатов случайной величины.
Для случайной величины \(X\) математическое ожидание \(X\) обозначается как \(E(X)\).
Ожидаемое значение (например, ожидаемая доходность акций) представляет собой либо будущее значение, например прогноз, либо «истинное» значение среднего (например, среднее значение для генеральной совокупности, которое обсуждается в чтении о статистических концепциях и доходности рынка). Следует различать ожидаемое значение и понятия исторического или выборочного среднего.
Выборочное среднее также суммирует в единственном числе центральное значение выборки. Тем не менее, выборочное среднее представляет собой центральное значение для определенного набора наблюдений в виде равно взвешенного среднего значения этих наблюдений.
Пример (8) анализа прибыли на акцию BankCorp.
Вы продолжаете свой анализ прибыли на акцию (EPS) BankCorp. В Таблице (3) вы представили распределение вероятностей для EPS BankCorp за текущий финансовый год.
|
Вероятность |
EPS ($) |
|---|---|
|
0.15 |
2.60 |
|
0.45 |
2.45 |
|
0.24 |
2.20 |
|
0.16 |
2.00 |
|
1.00 |
Каково ожидаемое значение EPS BankCorp на текущий финансовый год?
Следуя определению математического ожидания, перечислите каждый результат, взвесьте его по вероятности и суммируйте взвешенные результаты.
\( \begin{aligned}
E(EPS) &= 0.15($2.60) + 0.45($2.45) + 0.24($2.20) + 0.16($2.00) \\
&= $2.3405
\end{aligned} \)
Ожидаемое значение EPS составляет $2.34.
Формула, которое суммирует ваши вычисления в Примере (8):
\( \dst \large \begin{aligned}
E(X) &= P(X_l)X_l + P(X_2)X_2 + \cdots + P (X_n)X_n \\
&= \dsum_{i=1}^{n}P(X_i)X_i
\end{aligned} \) (Формула 7)
где
\(X_i\) - один из \(n\) возможных результатов случайной величины \(X\).
Ожидаемое значение - это наш прогноз. Поскольку мы обсуждаем случайные величины, мы не можем рассчитывать на реализацию отдельного прогноза (хотя мы надеемся, что в среднем прогнозы будут точными).
В результате важно измерить риск, с которым мы сталкиваемся. Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины измеряют разброс результатов вокруг ожидаемого значения или прогноза.
Определение дисперсии случайной величины.
Дисперсия случайной величины (англ. 'variance of random variable') - это ожидаемое значение (средневзвешенное по вероятности) квадратов отклонений от ожидаемого значения случайной величины:
\( \large \dst
\sigma^2(X) = E \Big \{ \big [ X - E(X) \big ]^2 \Big \} \) (Формула 8)
Для дисперсии случайной величины используются два обозначения:
\( \sigma^2(X) \) и \( \mathrm{Var}(X) \)
- Дисперсия - это число, которое больше или равно 0, потому что это сумма квадратов.
- Если дисперсия равна 0, дисперсия или риск отсутствуют.
- Результат определенный, а величина \(X\) вовсе не случайна.
- Дисперсия случайной величины больше 0 указывает на дисперсию (т.е. разброс) результатов.
- Увеличение дисперсии случайной величины указывает на увеличение разброса результатов.
Дисперсия \(X\) - это величина, выраженная в квадратах единиц \(X\). Например, если случайная величина является процентной доходностью, дисперсия доходности выражается в процентах, возведенных в квадрат.
Стандартное отклонение случайной величины легче интерпретировать, чем дисперсию, поскольку оно выражено в тех же единицах, что и случайная величина. Если случайная величина выражена в процентах, то стандартное отклонение также будет выражено в процентах.
Обратите внимание, что в следующем примере там, где дисперсия доходности указывается в виде десятичной дроби, усложнения работы с «процентами в квадрате» не возникает.
Определение стандартного отклонения случайной величины.
Стандартное отклонение случайной величины (англ. 'standard deviation of random variable') - это положительный квадратный корень дисперсии случайной величины.
Лучший способ познакомиться с этими понятиями - это поработать с ними на примерах.
Пример (9) расчета дисперсии и стандартного отклонения для EPS BankCorp.
В Примере (8) вы рассчитали ожидаемое значение прибыли на акцию (EPS) BankCorp как $2.34, что является вашим прогнозом.
Теперь вы хотите измерить разброс вокруг вашего прогноза. В Таблице 4 показано ваше представление о вероятности распределения прибыли на акцию за текущий финансовый год.
|
Вероятность |
EPS ($) |
|---|---|
|
0.15 |
2.60 |
|
0.45 |
2.45 |
|
0.24 |
2.20 |
|
0.16 |
2.00 |
|
1.00 |
Каковы дисперсия и стандартное отклонение EPS BankCorp для текущего финансового года?
Порядок расчета всегда предполагает сначала расчет ожидаемого значения, затем дисперсии, затем стандартное отклонение. Ожидаемое значение уже рассчитано.
Следуя приведенному выше определению дисперсии, рассчитайте отклонение каждого результата от среднего или ожидаемого значения, возведите в квадрат каждое отклонение, вычислите вес (умножьте) каждое квадратичное отклонение на вероятность его возникновения, а затем сложите эти результаты.
\( \small \begin{aligned}
\sigma^2(EPS) &= P($2.60)[$2.60 - E(EPS)]^2 + P($2.45)[$2.45 - E(EPS)]^2 \\
&+ P($2.20)[$2.20 - E(EPS)]^2 + P($2.00)[$2.00 - E(EPS)]^2 \\
&= 0.15(2.60 - 2.34)^2 + 0.45(2.45 - 2.34)^2 \\
&+ 0.24(2.20 - 2.34)^2 + 0.16(2.00 - 2.34)^2 \\
&= 0.01014 + 0.005445 + 0.004704 + 0.018496 = 0.038785
\end{aligned} \)
Стандартное отклонение - это положительный квадратный корень из 0.038785:
\( \sigma(EPS) = 0.038785^{1/2} = 0.196939 \)
или приблизительно 0.20.
Формулой, с помощью которой выполняется ваш расчет дисперсии в Примере 9 будет:
(Формула 9)
\(
\begin{aligned}
\sigma^2(X) &= P(X_l)\big[ X_l - E(X) \big]^2 + P(X_2)\big[ X_2 - E(X) \big]^2 \\
&+ \cdots + P(X_n)\big[ X_n - E(X) \big]^2 = \\
&\sum_{i=1}^{n}P(X_i) \big[ X_i - E(X) \big]^2
\end{aligned} \)
где
\(X_i\) - один из \(n\) возможных результатов случайной величины \(X\).
В инвестициях мы используем любую соответствующую информацию, доступную для составления наших прогнозов. Когда мы уточняем наши ожидания или прогнозы, мы обычно вносим корректировки на основе новой информации или событий; в этих случаях мы используем условные ожидаемые значения (англ. 'conditional expected values').
Ожидаемое значение случайной величины \(X\) для данного события или сценария \( S \) обозначается как \( E(X|S) \).
Предположим, что случайная величина \(X\) может принимать любое из \(n\) различных результатов \( X_1, X_2, ..., X_n \) (эти результаты образуют набор взаимоисключающих и исчерпывающих событий).
Ожидаемое значение \(X\) при условии \(S\) - это первый результат, \(X_i\), умноженный на вероятность первого результата, заданного\(S\), \( P(X_1|S) \), плюс второй результат, \(X_2\), умноженный на вероятность второго результата, заданного \(S\), \( P(X_2|S) \) и так далее.
(Формула 10)
\( \large \begin{aligned}
E(X|S) &= P(X_1|S)X_1 + P(X_2|S)X_2 \\
&+ \ldots + P(X_n|S)X_n
\end{aligned} \)
Мы проиллюстрируем эту формулу далее.
Параллельно с правилом полной вероятности для определения безусловных вероятностей существует принцип для определения (безусловных) ожидаемых значений.
Этот принцип является правилом полной вероятности для ожидаемого значения (англ. 'total probability rule for expected value').
Правило общей вероятности для ожидаемого значения.
\( \large E(X) = E(X|S)P(S) + E(X|S^C)P(S^C) \) (Формула 11)
(Формула 12)
\( \large \begin{aligned}
E(X) &= E(X|S_1)P(S_1) + E(X|S_2)P(S_2) \\
&+ \ldots + E(X|S_n)P(S_n)
\end{aligned} \)
где
- \( S_1, S_2, \ldots, S_n \) - взаимоисключающие и исчерпывающие сценарии или события.
Формула 12, гласит, что ожидаемое значение \(X\) равно ожидаемому значению \(X\) для данного сценария 1, \( E(X|S_1) \), умноженному на вероятность сценария 1, \( P(S_1) \) плюс ожидаемое значение \(X\) для данного сценария 2, \( E(X|S_2) \), умноженное на вероятность сценария 2, \( P(S_2) \) и т.д.
Чтобы использовать этот принцип, мы формулируем взаимоисключающие и исчерпывающие сценарии, которые полезны для понимания результатов случайной величины. Этот подход был использован при разработке распределения вероятностей EPS в BankCorp в Примерах 8 и 9, которое мы сейчас обсудим.
Доходы BankCorp чувствительны к процентным ставкам, и корпорация получает выгоду в условиях снижения процентных ставок.
Предположим, есть вероятность 0.60, что BankCorp будет работать в условиях снижения процентных ставок в текущем финансовом году, и вероятность 0.40, что она будет работать в условиях стабильных процентных ставок (вероятность повышения процентных ставок оценивается как незначительная).
Если происходит снижение процентных ставок, вероятность того, что EPS составит $2.60, оценивается в 0.25, а вероятность того, что EPS составит $2.45, оценивается в 0.75.
Обратите внимание, что 0.60, вероятность снижения процентных ставок, умноженная на 0.25, вероятность EPS в $2.60 при условии снижения процентной ставки равна 0.15, (безусловная) вероятность $2.60 приведена в таблице в Примерах 8 и 9. Вероятности последовательны.
Кроме того, 0.60(0.75) = 0.45, вероятность прибыли на акцию в размере $2.45 приведена в Таблицах 3 и 4.
Древовидная диаграмма на Рисунке 2 показывает остальную часть анализа.
Рисунок 2. Анализ прогнозируемой прибыли на акцию (EPS) BankCorp.
Сценарий снижения процентных ставок указывает нам на узел дерева, который разветвляется до результатов в $2.60 и $2.45. Мы можем найти ожидаемую прибыль на акцию при условии снижения процентной ставки, используя Формулу 10, следующим образом:
E (EPS | Снижение процентных ставок) =
= 0.25($2.60) + 0.75($2.45) = $2.4875
Если процентные ставки стабильны,
E(EPS | Стабильные процентные ставки) =
= 0.60($2.20) + 0.40($2.00) = $2.12
Например, как только мы получаем новую информацию о том, что процентные ставки стабильны, мы пересматриваем наши первоначальные ожидания EPS с $2.34 вниз до $2.12.
Теперь, используя правило общей вероятности для ожидаемого значения, находим:
E(EPS) = E(EPS | Снижение процентных ставок) P(Снижение процентных ставок) + E(EPS | Стабильные процентные ставки) P(Стабильные процентные ставки)
Таким образом,
\( E(EPS) = $2.4875(0.60) + $2.12(0.40) = $2.3405 \)
или около $2.34.
Эта сумма идентична оценке ожидаемого значения EPS, рассчитанной непосредственно из распределения вероятностей в Примере 8. Так же, как и наши вероятности, ожидаемые значения должны быть согласующимися; в противном случае наши инвестиционные действия могут создать возможности получения прибыли для других инвесторов за наш счет.
Для анализа мы сначала разрабатываем факторы или сценарии, которые влияют на результат интересующего события. После присвоения вероятностей этим сценариям мы формируем ожидания, обусловленные различными сценариями.
Затем мы действуем в обратном направлении, чтобы получить ожидаемую стоимость на текущий момент. В рассмотренном выше примере EPS был интересующим нас событием, а изменение процентных ставок было фактором, влияющим на EPS.
Мы также можем рассчитать дисперсию EPS для каждого сценария:
\(\sigma^2\)(EPS | Снижение процентных ставок)
= P($2.60 | Снижение процентных ставок)
\(\times\)[$2.60 - E(EPS | Снижение процентных ставок)]2
+ P($2.45 | Снижение процентных ставок)
\(\times\)[$2.45 - E(EPS | Снижение процентных ставок)]2
= 0.25(2.60 - $2.4875)2 + 0.75(2.45 - $2.4875)2 = 0.004219
\(\sigma^2\)(EPS | Стабильные процентные ставки)
= P($2.20 | Стабильные процентные ставки)
\(\times\) [$2.20 - E(EPS | Стабильные процентные ставки)]2
+ P($2.00 | Стабильные процентные ставки)
\(\times\) [$2.00 - E(EPS | Стабильные процентные ставки)]2
= 0.60(2.20 - $2.12)2 + 0.40(2.00 - $2.12)2 = 0.0096
Это условные стандартные отклонения, т.е. дисперсия EPS при условии снижения процентных ставок и дисперсия EPS при условии стабильных процентных ставок. Связь между безусловной дисперсией и условной дисперсией является относительно сложной темой.
Безусловная дисперсия EPS представляет собой сумму двух слагаемых:
- ожидаемого значения (средневзвешенного по вероятности) условных дисперсий и
- дисперсии условных ожидаемых значений EPS.
Второе слагаемое возникает потому, что изменчивость условного ожидаемого значения является источником риска.
Первое слагаемое равно:
\(\sigma^2\)(EPS) = P(Снижение процентных ставок) \(\sigma^2\)(EPS | Снижение процентных ставок) + P(Стабильные процентные ставки) \(\sigma^2\)(EPS | Стабильные процентные ставки)
= 0.60(0.004219) + 0.40(0.0096) = 0.006371
Второе слагаемое равно:
\(\sigma^2\)[E(EPS | Среда процентных ставок)] =
0.60($2.4875 - $2.34)2 + 0.40($2.12 - $2.34)2 = 0.032414
Суммируя два слагаемых, находим безусловную дисперсию, которая равна:
0.006371 + 0.032414 = 0.038785
Основными моментами здесь является:
- то, что дисперсия, как и ожидаемое значение, имеет условный аналог безусловной концепции и
- то, что мы можем использовать условную дисперсию для оценки риска по конкретному сценарию.
Пример (10) анализа прибыли на акцию BankCorp.
Продолжая анализ показателей BankCorp, вы сосредоточитесь сейчас на структуре затрат BankCorp. Модель операционных расходов BankCorp, которую вы исследуете, это:
\( \hat{Y} = a + bX \)
где
- \( \hat{Y} \) - прогноз операционных расходов в млн. долларов, а
- X - количество филиалов корпорации
\( \hat{Y} \) представляет собой ожидаемое значение \(Y\) при условии \(X\) или \(E (Y|X)\).
(\( \hat{Y} \) - это обозначение, используемое в регрессионном анализе, который мы обсудим в следующих чтениях.)
Вы интерпретируете значение \(a\) как постоянные затраты, а \(b\) - как переменные затраты. Уравнение будет выглядеть следующим образом:
\( \hat{Y} = 12.5 + 0.65X \)
BankCorp в настоящее время имеет 66 филиалов, и, согласно уравнению:
12.5 + 0.65(66) = $55.4 млн.
У вас есть два сценария роста, изображенные на древовидной диаграмме на Рисунке 3.
Рисунок 3. Прогнозируемые операционные расходы BankCorp.
- Рассчитайте прогнозируемые операционные расходы с учетом различных уровней операционных расходов, используя уравнение \( \hat{Y} = 12.5 + 0.65X \). Укажите вероятность каждого уровня из числа филиалов (см. вопросительные знак в крайних правых полях древовидной диаграммы).
- Рассчитайте ожидаемую стоимость операционных расходов в сценарии с высокими темпами роста. Также рассчитайте ожидаемую стоимость операционных расходов по сценарию низкого роста.
- Ответьте на вопрос в начальном поле дерева: каковы ожидаемые операционные расходы BankCorp?
Решение для части 1:
Используя уравнение \( \hat{Y} = 12.5 + 0.65X \) для ветвей дерева сверху вниз, находим:
|
Операционные расходы |
Вероятность |
|---|---|
|
\( \hat{Y}\) = 12.5 + 0.65(125) = $93.75 млн. |
0.80(0.50) = 0.40 |
|
\( \hat{Y}\) = 12.5 + 0.65(100) = $77.50 млн. |
0.80(0.50) = 0.40 |
|
\( \hat{Y}\) = 12.5 + 0.65(80) = $64.50 млн. |
0.20(0.85) = 0.17 |
|
\( \hat{Y}\) = 12.5 + 0.65(70) = $58.00 млн. |
0.20(0.15) = 0.03 |
|
Сумма = 1.00 |
Решение для части 2:
Суммы представлены в млн. долл.
E(операционные расходы | высокий рост) =
= 0.50(93.75) + 0.50(77.50) = $85.625
E(операционные расходы | низкий рост) =
= 0.85(64.50) + 0.15(58.00) = $63.525
Решение для части 3:
Суммы представлены в млн. долл.
E(операционные расходы) = E(операционные расходы | высокий рост) P(высокий рост)
+ E(операционные расходы | низкий рост) P(низкий рост)
= $85.625(0.80) + $63.525(0.20) = $81.205
Ожидаемые операционные расходы BankCorp составляют $81.205.
Мы снова увидим условные вероятности, когда будем обсуждать формулу Байеса. В этом разделе представлено несколько примеров проблем, которые можно решить с помощью вероятностных концепций.
Следующая проблема опирается на эти концепции, а также на аналитические навыки.
Пример (11) расчета премии за риск дефолта для долгового инструмента за один период.
Как соуправляющий портфеля краткосрочных облигаций, вы пересматриваете цену спекулятивной (дисконтной) облигации с нулевым купоном и сроком обращения 1 год. Для этого типа облигаций доход представляет собой разницу между уплаченной суммой и номинальной стоимостью, полученной при погашении.
Ваша цель - оценить соответствующую премию за риск дефолта для этой облигации. Вы определяете премию за риск дефолта как дополнительную доходность сверх безрисковой доходности, которая будет компенсировать инвесторам риск дефолта.
Если \(R\) - это обещанная доходность (доходность к погашению) по долговому инструменту, а \(R_F\) - безрисковая ставка, то премия за риск дефолта - это \(R - R_F\).
Вы оцениваете вероятность того, что риск дефолта облигации, обозначаемый как P(дефолт облигации) = 0,06.
Анализируя текущую доходность денежного рынка, вы обнаруживаете, что однолетние казначейские векселя США (T-bills) обеспечивают доходность в 2%, и вы используете эту ставку как \(R_F\).
В качестве первого шага вы делаете упрощенное предположение, что держатели облигаций ничего не возместят в случае дефолта.
Какая минимальная премия за риск вам требуется для этого инструмента?
Основная сложность в решении этого типа проблемы состоит в том, чтобы найти отправную точку. Во многих проблемах, включая эту, эффективным первым шагом является разделение возможных результатов на взаимоисключающие и исчерпывающие события экономически логичным способом.
Здесь, с точки зрения держателя облигации, есть два события, которые влияют на доходность, это:
- дефолт облигации и
- то, что дефолт облигации не произошел.
Эти два события охватывают все результаты.
Как эти события влияют на доход владельца облигации?
Вторым шагом является вычисление стоимости облигации для двух событий. У нас нет конкретных данных по номинальной стоимости облигации, но мы можем рассчитать стоимость за $1 или на одну вложенную денежную единицу.
|
Дефолт облигации |
Дефолт облигации не произошел |
|
|---|---|---|
|
Стоимость облигации |
$0 |
$(1 + R) |
Третий шаг - найти ожидаемую стоимость облигации (на 1 вложенный $).
E(Облигация) = $0 \(\times\) P(Дефолт облигации) + $(1 + \(R\)) [1 - P(Дефолт облигации не произошел)]
Таким образом,
E(Облигация) = $(1 + \(R\)) [1 - P(Дефолт облигации)].
Ожидаемая стоимость безрискового казначейский вексель (Т-bill) на 1 вложенный $ составляет \( (1 + R_F) \).
Следующий шаг требует экономических суждений.
Вы хотите, чтобы премия за риск была достаточно большой, поэтому вы ожидаете, по крайней мере, безубыточности по сравнению с инвестированием в T-bill. Этот результат будет достигнут, если ожидаемая стоимость облигации будет равна ожидаемой стоимости Т-bill за 1 вложенный $.
Ожидаемая стоимость облигации = Ожидаемая стоимость T-Bill
$(1 + \(R\))[1 - P(Дефолт облигации) = (1 + \(R_F\))
Рассчитывая доход к погашению по облигации, вы найдете:
\(R\) = {(1 + \(R_F\))/[1 - P(Дефолт облигации)]} - 1
Подставляя в значения формулу, вы получите:
\(R\) = [1.02/(1 - 0.06)] - 1 = 1.08511 - 1 = 0.08511
или около 8.51%, а премия за риск дефолта составит
\(R - R_F\) = 8.51% - 2% = 6.51%.
Вам необходима премия за риск дефолта не менее 651 базисных пунктов. Вы можете заявить об этом следующим образом: если цена облигации составляет 8.51%, вы получите спред в 651 базисный пункт, а также получите номинальную сумму облигации с вероятностью 94%.
Однако, если произойдет дефолт, вы потеряете все. С премией в 651 базисный пункт, вы рассчитываете точку безубыточности относительно инвестиций в казначейские векселя. Поскольку инвестиции в облигации с нулевым купоном имеют переменную стоимость, если вы не склонны к риску, вы будете требовать, чтобы премия превышала 651 базисный пункт.
Этот анализ является отправной точкой. Владельцы облигаций обычно возмещают часть своих инвестиций в случае дефолта. Следующим шагом будет включение в анализ уровня возмещения средств в случае дефолта.
В этом разделе мы рассматривали случайные финансовые величины, такие как EPS, как отдельные значения. Мы не исследовали, как такие показатели, как ожидаемое значение и дисперсия EPS, могут быть функциями других случайных величин.
Доходность портфеля - это одна случайная величина, которая, очевидно, является функцией других случайных величин - случайных ставок доходности отдельных ценных бумаг в портфеле.
Чтобы проанализировать ожидаемую доходность портфеля и дисперсию доходности, мы должны понимать, что эти величины являются функцией характеристик доходности отдельных ценных бумаг. Глядя на дисперсию доходности портфеля, мы видим, что способ, которым меняется доходность каждой отдельной ценной бумаги меняется, чрезвычайно важен.
Чтобы понять значение этих изменений отдельных ценных бумаг портфеля, нам необходимо изучить некоторые новые концепции, - ковариацию и корреляцию. В следующем разделе, который касается ожидаемой доходности портфеля и дисперсии доходности, эти концепции будут рассмотрены.