CFA - Коэффициент Шарпа
Рассмотрим коэффициент Шарпа, - один из основных показателей, используемых для оценки эффективности финансовых активов с поправкой на риск, - в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
Хотя коэффициент вариации CV был разработан как мера относительной дисперсии, его обратное значение характеризует доходность на единицу риска, поскольку стандартное отклонение доходности обычно используется в качестве меры инвестиционного риска.
Например, портфель со средней месячной доходностью 1.19% и стандартным отклонением 4.42% имеет обратный \(\rm{CV}\): 1.19%/4.42% = 0.27. Этот результат показывает, что каждая единица стандартного отклонения представляет собой доходность в размере 0.27%.
Более точный коэффициент доходности/риска признает существование безрисковых инвестиций, т.е. доходности при практически нулевом стандартном отклонении.
Имея в своем распоряжении безрисковый актив, инвестор может выбрать рискованный портфель, \(p\), а затем объединить этот портфель с безрисковым активом для достижения любого желаемого уровня абсолютного риска, измеряемого стандартным отклонением доходности, \(s_p\).
Рассмотрим график со средней доходностью по вертикальной оси и стандартным отклонением доходности по горизонтальной оси. Любая комбинация портфеля \(p\) и безрискового актива лежит на луче (линии) с наклоном, равным значению (Средняя доходность - Безрисковая доходность), деленному на \(s_p\).
Луч, обеспечивающий инвесторам наибольшее вознаграждение (доходность, превышающую безрисковую ставку) на единицу риска, - это тот, который имеет наибольший уклон.
Отношение избыточной доходности (т.е. превышающей безрисковую ставку) к стандартному отклонению доходности для портфеля \(p\) - это наклон луча, проходящего через \(p\), который представляет собой однозначную меру эффективности портфеля, известную как коэффициент Шарпа, в честь его разработчика Уильяма Ф. Шарпа.
Формула коэффициента Шарпа.
Коэффициент Шарпа (англ. 'Sharpe ratio') для портфеля p, основанный на исторических ставках доходности, определяется как:
\( \Large \dst
S_h = {\overline R_p - \overline R_F \over s_p} \) (Формула 16)
где
- \(\overline R_p\) - средняя доходность портфеля,
- \(\overline R_F\) - средняя доходность безрискового актива, а
- \(s_p\) - стандартное отклонение доходности портфеля.
Эта формула представляет собой ex post или исторический коэффициент Шарпа.
Мы также можем рассчитать коэффициент Шарпа для портфеля за будущие периоды, основываясь на наших ожиданиях относительно средней доходности, безрисковой доходности и стандартного отклонения доходности. Это будет ex ante коэффициент Шарпа.
Можно также столкнуться с альтернативной формулой коэффициента Шарпа, в которой знаменателем является стандартное отклонение ряда значений (доходность портфеля - безрисковая доходность), а не стандартное отклонение доходности портфеля. На практике оба варианта обычно дают очень похожие результаты.
Для получения дополнительной информации о коэффициенте Шарпа, который также называют мерой Шарпа (англ. 'Sharpe measure'), отношением вознаграждения к изменчивости (англ. 'reward-to-variability ratio') и показателем избыточной доходности от изменчивости (англ. 'excess return to variability measure') см. Gruber, Brown, and Goetzmann (2013) и Sharpe (1994).
Числитель коэффициента Шарпа - это средняя доходность портфеля минус средняя доходность безрискового актива за период выборки. Выражение \( \overline R_p - \overline R_F \) измеряет дополнительное вознаграждение, которое инвесторы получают за принятый дополнительный риск. Мы называем эту разницу средней избыточной доходностью (англ. 'mean excess return') портфеля \(p\).
Таким образом, коэффициент Шарпа измеряет вознаграждение в виде средней избыточной доходности на единицу риска, измеряемой стандартным отклонением доходности.
Те не склонные к риску инвесторы, которые принимают решения только в отношении средней доходности и стандартного отклонения доходности, предпочитают портфели с более высокими коэффициентами Шарпа, чем портфели с меньшими коэффициентами Шарпа.
Чтобы проиллюстрировать расчет коэффициента Шарпа, рассмотрим эффективность двух биржевых фондов.
Фонд SPDR S&P 500 стремится отслеживать инвестиционные результаты индекса S&P 500 (акции США с большой капитализацией), а индекс iShares Russell 2000 стремится отслеживать инвестиционные результаты индекса Russell 2000 (акции США с небольшой капитализацией).
В Таблице 25 представлена историческая среднеарифметическая доходность, а также историческое стандартное отклонение для серии годовых ставок доходности этих двух фондов и 30-дневного казначейского векселя США за период 2003-2012 гг.
|
Фонд / T-Bill |
Среднее арифметическое (%) |
Стандартное отклонение |
|---|---|---|
|
Индекс iShares Russell 2000 |
9.26 |
22.36 |
|
Индекс SPDR S&P 500 |
6.77 |
19.99 |
|
30-дневный казначейский вексель США |
1.58 |
1.78 |
Источники: finance.yahoo.com и www.federalreserve.gov.
Используя среднюю 30-дневную доходность казначейского векселя США, чтобы представить безрисковую ставку, мы находим следующие коэффициенты Шарпа:
iShares Russell 2000: \( \dst S_{h,\rm{IWM}} = {9.26-1.58 \over 22.36} = 0.34 \)
SPDR S&P 500: \( S_{h,\rm{SPY}} = \dst {6.77-1.58 \over 19.99} = 0.26 \)
Хотя акции с небольшой капитализацией (индекс iShares Russell 2000) имели более высокое стандартное отклонение, они показали лучшие результаты, чем акции с высокой капитализацией (индекс SPDR S&P 500), в соответствии с коэффициентом Шарпа.
Предостережения относительно использования коэффициента Шарпа.
Коэффициент Шарпа является основой оценки эффективности финансовых активов. Но необходимо сделать два предостережения относительно его использования: одно связано с интерпретацией отрицательных коэффициентов Шарпа, а другое - с концептуальными ограничениями.
Финансовая теория говорит нам, что в долгосрочной перспективе инвесторам следует компенсировать дополнительную среднюю доходность сверх безрисковой ставки для принятия дополнительного риска, по крайней мере, если рискованный портфель хорошо диверсифицирован. Если инвесторы получат такую компенсацию, числитель коэффициента Шарпа будет положительным.
Тем не менее, мы часто обнаруживаем, что портфели демонстрируют отрицательные коэффициенты Шарпа, когда соотношение рассчитывается за периоды, в которых доминируют медвежьи рынки акций. Это повышает осторожность при работе с отрицательными коэффициентами Шарпа.
При работе положительными коэффициентами Шарпа, коэффициент Шарпа для портфеля уменьшается, если мы увеличиваем риск, при прочих равных условиях.
Этот результат является интуитивно понятным для оценки эффективности с поправкой на риск. Однако при отрицательных коэффициентах Шарпа увеличение риска приводит к увеличению коэффициента Шарпа в цифровом выражении (например, удвоение риска может увеличить коэффициент Шарпа с -1 до -0,5).
Поэтому, сравнивая портфели с отрицательными коэффициентами Шарпа, мы обычно не можем считать, что больший коэффициент Шарпа (тот, который ближе к нулю) означает лучшую эффективность с поправкой на риск.
Однако, если стандартные отклонения равны, портфель с отрицательным коэффициентом Шарпа, близким к нулю, имеет преимущество.
На практике, чтобы сделать интерпретируемое сравнение с использованием коэффициента Шарпа, нам может потребоваться увеличить период оценки так, чтобы один или несколько коэффициентов Шарпа стали положительными. Финансовый аналитик также может рассмотреть возможность использования другого показателя для оценки эффективности.
Концептуальное ограничение коэффициента Шарпа состоит в том, что он учитывает только один аспект риска - стандартное отклонение доходности. Стандартное отклонение является наиболее подходящим показателем риска для портфельных стратегий с приблизительно симметричным распределением доходности. Стратегии с опционными элементами имеют асимметричную доходность.
Соответственно, инвестиционная стратегия может приносить частые небольшие выгоды, но потенциально может привести к нечастым, но чрезвычайно большим убыткам. Это утверждение описывает обратное распределение с отрицательной асимметрией. Мы обсудим асимметрию позже.
Такая стратегия иногда образно описывается как "собирание монет перед бульдозером". Например, некоторые стратегии хедж-фондов имеют тенденцию к подобной модели доходности.
Рассчитанный за период, в течение которого работает стратегия (т.е. больших убытков не произошло), этот тип стратегии будет иметь высокий коэффициент Шарпа. В этом случае коэффициент Шарпа дал бы слишком оптимистичную картину показателей, скорректированных с учетом риска, поскольку стандартное отклонение не полностью измеряет принимаемый инвесторами риск.
Поэтому, прежде чем применять коэффициент Шарпа для оценки работы менеджера, мы должны оценить, адекватно ли описывает стандартное отклонение риск инвестиционной стратегии менеджера.
Приведенный ниже пример иллюстрирует вычисление коэффициента Шарпа в контексте оценки эффективности портфеля.
Пример расчета коэффициента Шарпа для оценки эффективности финансовых активов.
В более ранних примерах мы вычисляли различные статистические данные для двух взаимных фондов, Selected American Shares (SLASX) и T. Rowe Price Equity Income (PRFDX), за пятилетний период, заканчивающийся в декабре 2012 года.
В Таблице 26 приведены отдельные статистические данные для этих двух взаимных фондов на более длительный период, - 10-летний период, заканчивающийся в 2012 году.
|
Фонд |
Среднее |
Стандартное |
|---|---|---|
|
SLASX |
8.60 |
20.02 |
|
PRFDX |
8.91 |
18.12 |
Источник: performance.morningstar.com.
30-дневная ставка казначейских векселей (T-Bill) США часто используется в качестве безрисковой ставки. Рассчитанная ранее в Таблице 25 среднегодовая доходность Т-Bill за период 2003-2012 годов составляла 1.58%.
Используя информацию из Таблицы 25 и среднегодовую доходность 30-дневных T-Bill, сделайте следующее:
- Рассчитайте коэффициенты Шарпа для SLASX и PRFDX в течение периода 2003-2012 гг.
- Укажите, какой фонд имел лучшие показатели с поправкой на риск в течение этого периода, в соответствии с коэффициентом Шарпа.
Решение для части 1:
У нас уже есть средние значения и стандартные отклонения доходности портфеля, а также среднегодовая безрисковая норма доходности с 2003 по 2012 год.
SLASX: \( \dst S_{h,\rm{SLASX}} = {8.60-1.58 \over 20.02} = 0.35 \)
PRFDX: \( \dst S_{h,\rm{PRFDX}} = {8.91-1.58 \over 18.12} = 0.40 \)
Решение для части 2:
У PRFDX был более высокий положительный коэффициент Шарпа, чем у SLASX в течение рассматриваемого периода. По коэффициенту Шарпа эффективность PRFDX была выше.
Это неудивительно, так как PRFDX имел более высокую доходность и более низкое стандартное отклонение, чем SLASX.