Есть множество способов оценить норму прибыли инвестиций в облигации с фиксированной ставкой. Рассмотрим 5-летнюю государственную бескупонную облигацию. На текущий момент цена покупки составляет 80. Инвестор получает 100 при выкупе облигации через 5 лет.

Одна из возможных оценок доходности составляет 25% - т.е. прибыль 20, разделенная на инвестированную сумму 80. Однако инвесторам нужен стандартизированный показатель доходности, чтобы обеспечить сравнение облигаций с различными оставшимися сроками погашения.

Следовательно, показатель доходности необходимо аннуализировать, т.е. привести в годовое исчисление. Возможная годовая ставка для этой бескупонной облигации составляет 5% в год - 25% деленные на 5 лет. Но для облигаций со сроком погашения более 1 года инвесторы хотят увидеть аннуализированную ставку доходности, рассчитанную с учетом реинвестирования дохода, т.е. кумулятивную или сложную годовую процентную ставку.

Ставки денежного рынка по инструментам со сроком погашения не более 1 года обычно аннуализируются, но без кумулятивного начисления. Они устанавливаются на основе простого процента. Эта концепция рассматривается далее в этом чтении.

В целом, аннуализированная и кумулятивная доходность по облигации с фиксированной ставкой зависит от количества периодов в году, которое называют периодичностью годовой ставки. Как правило, периодичность соответствует частоте купонных платежей.

Облигация, которая выплачивает полугодовой купон, имеет заявленную годовую доходность к погашению с периодичностью 2 - ставка за полугодовой период умножается на 2. Облигация, которая выплачивает купон ежеквартально, имеет заявленную годовую доходность к погашению с периодичностью 4 - ставка за квартал умножается на 4.

Всегда важно знать периодичность заявленной годовой ставки.

Периодичность годовой рыночной ставки дисконтирования для бескупонной облигации является произвольной, поскольку у нее нет купонных платежей. При полугодовом начислении годовая доходность к погашению для 5-летней бескупонной облигации, оцениваемой в 80 на 100 номинальной стоимости, составляет 4.5130%. Эта годовая ставка имеет периодичность 2.

\( \dst 80 = {100 \over (1+r)^{10}}, \ r = 0.022565, \ \times 2 = 0.045130 \)

При ежеквартальном начислении годовая доходность к погашению составляет 4.4880%. Эта годовая ставка имеет периодичность 4.

\( \dst
80 = {100 \over (1+r)^{20}}, \ r = 0.011220, \ \times 4 = 0.044880
\)

При ежемесячном начислении годовая доходность к погашению составляет 4.4712%. Эта годовая ставка имеет периодичность 12.

\( \dst
80 = {100 \over (1+r)^{60}}, \ r = 0.003726, \ \times 12 = 0.044712
\)

При годовом начислении доходность к погашению составляет 4.5640%. Эта годовая ставка имеет периодичность 1.

\( \dst
80 = {100 \over (1+r)^{5}}, \ r = 0.045640, \ \times 1 = 0.045640
\)

Такую ставку называют эффективной годовой ставкой. Эффективная годовая ставка (англ. 'effective annual rate') имеет периодичность 1, потому что в этом случае в году есть только 1 период начисления.

В этом примере с бескупонной облигацией, ставка 2.2565% начисляется 2 раза в год, ставка 1.1220% начисляется 4 раза в год, а ставка 0.3726% начисляется 12 раз в год, и все они эквивалентны эффективной годовой ставке 4.5640%.

Общая кумулятивная доходность одинакова для каждого выражения расчета годовой ставки. Они различаются с точки зрения количества периодов начисления в году, то есть с точки зрения периодичности годовой ставки. Для данной пары денежных потоков заявленная годовая ставка и периодичность имеют обратную зависимость.

Наиболее распространенная периодичность для облигаций, номинированных в долларах США, равна 2, потому что большинство облигаций на долларовом рынке осуществляют полугодовые купонные платежи. Годовая ставка с периодичностью 2 известна как базисная доходность полугодовой облигации или доходность на полугодовой основе (англ. 'semiannual bond basis yield', 'semiannual bond equivalent yield').

Следовательно, базисной доходностью полугодовой облигации является доходность за полугодовой период, умноженная на два. Важно помнить, что термины «базисная доходность полугодовой облигации» и «доходность за полугодовой период» имеют разные значения. Например, если доходность облигации составляет 2% за полугодовой период, то ее годовая доходность равна 4%, если она указана на полугодовой основе.

Важным инструментом, используемым в анализе фиксированного дохода, является преобразование или конвертация годовой доходности из одной периодичности в другую.

Общая формула для конвертации годовой процентной ставки для \(m\) периодов в году, обозначаемой как \({\rm APR}_m\), в годовую процентную ставку для \(n\) периодов в году, обозначаемой как \({\rm APR}_n\), является Формула 7.

\( \dst
\left( 1 + {{\rm APR}_m \over m} \right)^m =
\left( 1 + {{\rm APR}_n \over n} \right)^n
\) (Формула 7)

Например, предположим, что 3-летняя 5% корпоративная облигация с полугодовым купоном оценивается в 104 за 100 номинальной стоимости. Ее доходность к погашению составляет 3.582%, и эта котировка определена на основе полугодовой облигации с периодичностью 2: \( 0.01791 \times 2 = 0.03582 \).

\( \begin{aligned} \dst
104 &= {2.5 \over (1+r)^1} + {2.5 \over (1+r)^2} + {2.5 \over (1+r)^3} \\[1ex]
&+ {2.5 \over (1+r)^4} + {2.5 \over (1+r)^5} + {102.5 \over (1+r)^6}, \\[1ex]
r &= 0.01791
\end{aligned} \)

Чтобы сравнить эту облигацию с другими, аналитик конвертирует эту аннуализированную доходность к погашению в ставку с квартальным и ежемесячным начислением. Это предполагает использование Формулы 7 для преобразования периодичности \(m = 2\) в периодичность \(n = 4\) и \(n = 12\).

\( \begin{aligned} \dst
&\left( 1 + {0.03582 \over 2} \right)^2 =
\left( 1 + {{\rm APR}_4 \over 4} \right)^4, \\[1ex]
&{\rm APR}_4 = 0.03566
\end{aligned} \)

\( \begin{aligned} \dst
&\left( 1 + {0.03582 \over 2} \right)^2 =
\left( 1 + {{\rm APR}_{12} \over 12} \right)^{12}, \\[1ex]
&{\rm APR}_{12} = 0.03556
\end{aligned} \)

Годовая доходность к погашению 3.582% для полугодового начисления обеспечивает ту же норму прибыли, что и ставки годовой доходности 3.566% и 3.556% для квартального и ежемесячного начисления, соответственно.

Общее правило для этих конвертаций периодичности заключается в начислении с большей частотой при более низкой годовой ставке, которое соответствует начислению с меньшей частотой при более высокой годовой ставке. Это правило можно использовать для проверки расчетов конвертации периодичности.

Формулу 7 также применяют к отрицательной доходности облигации. Доходность государственных облигаций была отрицательной в нескольких странах, включая Швейцарию, Германию, Швецию и Японию.

Для простого примера рассмотрим 5-летнюю бескупонную облигацию по цене 105 (доля от номинальной стоимости). Ее доходность к погашению -0.971% выражена как эффективная годовая ставка для периодичности 1.

\( \begin{aligned} \dst
105 = {100 \over (1+r)^5},
r = -0.00971
\end{aligned} \)

Преобразование этой доходности в полугодовое и ежемесячное начисление для периодичностей 2 и 12 приводит к годовой доходности -0.973% и -0.975% соответственно.

\( \begin{aligned} \dst
&\left( 1 + {+0.00971 \over 1} \right)^1 =
\left( 1 + {{\rm APR}_2 \over 2} \right)^2, \\[1ex]
&{\rm APR}_2 = -0.00973
\end{aligned} \)

\( \begin{aligned} \dst
&\left( 1 + {+0.00971 \over 1} \right)^1 =
\left( 1 + {{\rm APR}_{12} \over 12} \right)^{12}, \\[1ex]
&{\rm APR}_{12} = -0.00975
\end{aligned} \)

Начисление с большей частотой в течение года приводит к более низкой (более отрицательной) доходности к погашению.

Пример (7) конвертации доходности на основе периодичности.

5-летняя 4.50% государственная облигация с полугодовым купоном оценивается в 98 на 100 номинальной стоимости. Рассчитайте годовую доходность к погашению, установленную на полугодовой основе, округленную до ближайшего базисного пункта. Преобразуйте эту годовую доходность в:

  1. годовую ставку, которую можно использовать для прямого сравнения с сопоставимыми облигациями, которые выплачивают ежеквартальный купон и
  2. годовую ставку, которую можно использовать для прямого сравнения с сопоставимыми облигациями, которые выплачивают годовой купон.

Решение:

Заявленная годовая доходность к погашению на полугодовой основе составляет 4.96% (0.0248 \(\times\) 2 = 0.0496).

\( \begin{aligned}
98 &= {2.25 \over (1+r)^1} + {2.25 \over (1+r)^2} + {2.25 \over (1+r)^3} + {2.25 \over (1+r)^4} \\[1ex]
&+ {2.25 \over (1+r)^5} + {2.25 \over (1+r)^6} + {2.25 \over (1+r)^7} + {2.25 \over (1+r)^8} \\[1ex]
&+ {2.25 \over (1+r)^9} + {2.25 \over (1+r)^{10}}, \\[1ex]
r &= 0.0248
\end{aligned} \)

A. Конвертация ставки 4.96% из периодичности 2 в периодичность 4:

\( \begin{aligned} \dst
&\left( 1 + {0.0496 \over 2} \right)^2 =
\left( 1 + {{\rm APR}_4 \over 4} \right)^4, \\[1ex]
&{\rm APR}_4 = 0.0493
\end{aligned} \)

Годовую процентную ставку 4.96% с полугодовым начислением можно сравнивать со ставкой 4.93% с квартальным начислением. Это имеет смысл, потому что увеличение частоты начисления снижает годовую ставку.

B. Конвертация ставки 4.96% из периодичности 2 в периодичность 1:

\( \begin{aligned} \dst
&\left( 1 + {0.0496 \over 2} \right)^2 =
\left( 1 + {{\rm APR}_1 \over 1} \right)^1, \\[1ex]
&{\rm APR}_1 = 0.0502
\end{aligned} \)

Годовую ставку 4.96% для полугодового начисления можно сравнивать с эффективной годовой ставкой 5.02%. Преобразование из более частого начисления в менее частое влечет за собой увеличение годовой процентной ставки.