Во всем мире рынок ценных бумаг с фиксированным доходом является ключевым источником финансирования предприятий и правительств. Фактически, общая рыночная стоимость находящихся в обращении корпоративных и государственных облигаций значительно больше, чем стоимость акционерных ценных бумаг.

Рынок фиксированного дохода, который также называют долговым рынком (англ. 'debt market') или рынком облигаций (англ. 'bond market'), представляет собой важную возможность инвестирования как для учреждений, так и для отдельных лиц.

Пенсионные фонды, взаимные фонды, страховые компании и государственные инвестиционные фонды, помимо прочего, являются основными инвесторами на рынках фиксированного дохода.

Пенсионеры, которые заинтересованы в относительно стабильном потоке дохода, часто удерживают ценные бумаги с фиксированным доходом. Очевидно, что понимание того, как осуществляется оценка ценных бумаг с фиксированным доходом, имеет важное значение для инвесторов, эмитентов и финансовых аналитиков.

Это чтение фокусируется на оценке обычных облигаций (без опционов) с фиксированной ставкой, хотя здесь также рассматриваются другие долговые ценные бумаги, такие как краткосрочные векселя с плавающей ставкой и инструменты денежного рынка.

Ценообразование облигаций и временная стоимость денег.

Ценообразование облигаций (англ. 'bond pricing') - это оценка облигаций с применением анализа дисконтированных денежных потоков. Сложность ценообразования зависит от характеристик конкретной облигации и ставки (или ставок), используемых для дисконтирования.

Мы рассмотрим использование единого фактора дисконтирования для всех будущих денежных потоков, а также наиболее распространенный подход, который заключается в том, чтобы использовать последовательность процентных ставок, которые соответствуют датам будущих денежных потоков.

Для традиционной облигации (без опционов) с фиксированной ставкой обещанные будущие денежные потоки представляют собой серию купонных процентных выплат и погашение полной основной суммы долга. Например, при регулярных купонных выплатах в запланированные даты годовой платеж по облигации может выплачивать проценты 15 июня каждого года в течение пяти лет.

Последний купон обычно выплачивается вместе с полной основной суммой в дату погашения облигации. Ценой облигации при ее выпуске является приведенная стоимость обещанных денежных потоков.

При расчете с учетом временной стоимости денег используется рыночная ставка дисконтирования.

Рыночная ставка дисконтирования (англ. 'market discount rate') - это ставка доходности, требуемая инвесторам с учетом риска инвестиций в облигации.

Например, предположим, что купонная ставка по облигации составляет 4%, а выплата купона производится 1 раз в год. Если оставшийся срок погашения составляет 5 лет, а рыночная ставка дисконтирования 6%, то цена облигации составляет 91.575 на 100 номинальной стоимости.

Номинальная стоимость соответствует основной сумме долга по облигации.

\( \begin{aligned} \dst
{4 \over 1.06^1} + {4 \over 1.06^2} + {4 \over 1.06^3} + {4 \over 1.06^4} + {104 \over 1.06^5} &= \\[1ex]
3.774 + 3.560 + 3.358 + 3.168 + 77.715 &= 91.575
\end{aligned} \)

Окончательный денежный поток в размере 104 д.е. включает погашение основной суммы (100) и купон на эту дату (4). Цена облигации является суммой приведенной стоимости всех пяти денежных потоков.

Цена на 100 д.е. номинальной стоимости может быть интерпретирована как процентная доля от номинальной стоимости. Если номинал составляет $100,000, ежегодные купонные платежи составляют $4,000, а цена облигации $91,575.

Цена облигации составляет 91,575% от номинальной стоимости. Эту облигацию можно описать как продающуюся с дисконтом, потому что ее цена ниже номинальной стоимости.

Предположим, что еще одна пятилетняя облигация имеет годовую купонную ставку 8%. Если рыночная ставка дисконтирования составляет 6%, то цена облигации составляет 108.425.

\( \begin{aligned} \dst
{8 \over 1.06^1} + {8 \over 1.06^2} + {8 \over 1.06^3} + {8 \over 1.06^4} + {108 \over 1.06^5} &= \\[1ex]
7.547 + 7.120 + 6.717 + 6.337 + 80.704 &= 108.425
\end{aligned} \)

Эта облигация продается с премией, поскольку ее цена выше номинальной стоимости.

Если другая 5-летняя облигация выплачивает 6% годовой купон, а рыночная ставка дисконтирования также составляет 6%, то облигация будет продаваться по номинальной стоимости.

\( \begin{aligned} \dst
{6 \over 1.06^1} + {6 \over 1.06^2} + {6 \over 1.06^3} + {6 \over 1.06^4} + {106 \over 1.06^5} &= \\[1ex]
5.660 + 5.340 + 5.038 + 4.753 + 79.209 &= 100.000
\end{aligned} \)

Купонная ставка указывает на выраженную в процентах сумму, которую эмитент обещает выплачивать владельцам облигаций каждый год. Рыночная ставка дисконтирования отражает сумму, которую инвесторы должны получать в процентах каждый год, чтобы согласиться заплатить полную номинальную стоимость облигации.

Следовательно, если предположить, что эти три облигации имеют одинаковый риск, что согласуется с тем, что они имеют одинаковую рыночную ставку дисконтирования, облигация с 4% купоном предлагает «дефицитную» (т.е. недостаточную) ставку купона. Сумма дисконта ниже номинальной стоимости является приведенной стоимостью этого дефицита, который составляет 2% от номинала каждый год.

Приведенная стоимость дефицита, дисконтированная с использованием рыночной ставки дисконтирования, равна -8.425.

\( \begin{aligned} \dst
{-2 \over 1.06^1} + {-2 \over 1.06^2} + {-2 \over 1.06^3} + {-2 \over 1.06^4} + {-2 \over 1.06^5} = -8.425
\end{aligned} \)

Цена облигации с 4% купоном составляет:

91.575 (= 100 - 8.425)

Точно так же, 8% облигации предлагает «избыточную» ставку купона, поскольку инвесторам требуется всего 6%.

Сумма премии - это приведенная стоимость избыточных денежных потоков, которая составляет +8,425.

Цена 8% облигации составляет:

108.425 (= 100 + 8.425)

Эти примеры демонстрируют, что цена облигации с фиксированной ставкой относительно номинальной стоимости зависит от взаимосвязи купонной ставки с рыночной ставкой дисконтирования. Вот краткое описание этой взаимосвязи:

  • Когда купонная ставка меньше рыночной ставки дисконтирования, облигация оценивается с дисконтом ниже номинальной стоимости.
  • Когда купонная ставка превышает рыночную ставку дисконтирования, облигация оценивается с премией сверх номинальной стоимости.
  • Когда купонная ставка равна рыночной ставке дисконтирования, облигация оценивается по номинальной стоимости.

До сих пор мы предполагали, что облигация оценивается на дату выплаты купона. Если облигация оценивается в момент между датами выплаты купона, ее цена будет включать начисленные проценты, то есть проценты заработанные, но еще не выплаченные.

Начисленные проценты более подробно обсуждаются в следующих разделах.

Формула 1 является общей формулой для расчета цены облигации с учетом рыночной ставки дисконтирования:

\( \large \PV = \dst {{\rm PMT} \over (1+r)^1 } + {{\rm PMT} \over (1+r)^2 } + \ldots +
{{\rm PMT} + \FV \over (1+r)^N } \) (Формула 1)

где:

  • \(\PV\) = приведенная стоимость или цена облигации,
  • \( \rm PMT \) = купонный платеж за период,
  • \( \FV \) = будущая стоимость, выплачиваемая при погашении или номинальная стоимость облигации,
  • \(r\) = рыночная ставка дисконтирования или требуемая ставка доходности за период,
  • \(N\) = количество равномерно распределенных периодов до даты погашения.

До сих пор мы использовали в примерах облигации с годовыми купонными платежами, что является обычной практикой для большинства европейских облигаций. Азиатские и североамериканские облигации, как правило, осуществляют полугодовые платежи, а их заявленная ставка - годовая купонная ставка.

Предположим, что ставка купона по облигации составляет 8%, а платежи производятся два раза в год (полугодовые) 15 июня и 15 декабря. На каждые 100 д.е. номинальной стоимости (FV = 100) купон за период составляет 4 д.е. (PMT = 4).

Если срок до погашения составляет 3 года, есть 6 равномерных полугодовых периодов (n = 6). Если рыночная ставка дисконтирования составляет 3% за полугодовой период (r = 0.03), цена облигации составляет 105.417 на 100 д.е. номинальной стоимости.

\( \begin{aligned} \dst
{4 \over 1.03^1} + {4 \over 1.03^2} + {4 \over 1.03^3} + {4 \over 1.03^4} + {4 \over 1.03^5} + {104 \over 1.03^6} = 105.417
\end{aligned} \)

Если фактическая номинальная стоимость инвестиций в облигацию выражена в Сингапурских долларах (например, 100,000 SGD), то цена облигации составляет 105,417 SGD. Эта облигация торгуется с премией сверх номинала, поскольку купонная ставка =4% за период больше, чем рыночная ставка дисконтирования =3% за период.

Обычно эти процентные ставки переводятся в годовое исчисление (т.е. аннуализируются) путем умножения ставки за период на количество периодов в году. Следовательно, эквивалентное утверждение заключается в том, что облигация оценивается с премией, поскольку заявленная годовая купонная ставка =8% больше, чем заявленная годовая рыночная ставка дисконтирования =6%.

Процентные ставки, если не указано иное, обычно интерпретируются как годовые ставки.

Пример 1. Облигации, торгующиеся с дисконтом, с премией и по номиналу.

Определите, торгуется ли каждая из следующих облигаций с дисконтом, по номинальной стоимости или с премией. Рассчитайте цены на облигации на 100 д.е. номинальной стоимости, используя Формулу 1.

Если купонная ставка является недостаточной или избыточной по сравнению с рыночной ставкой дисконтирования, вычислите сумму дефицита или избытка на 100 д.е. номинальной стоимости.

Облигация

Купон за период

Количество периодов до погашения

Рыночная ставка
дисконтирования за период

A

2

6

3%

B

6

4

4%

C

5

5

5%

D

0

10

2%

Решение:

Облигация A

\( \begin{aligned} \dst
{2 \over 1.03^1} + {2 \over 1.03^2} + {2 \over 1.03^3} + {2 \over 1.03^4}
+ {2 \over 1.03^5} + {102 \over 1.03^6} = 94.583
\end{aligned} \)

Облигация А торгуется с дисконтом. Ее цена ниже номинала, поскольку купонная ставка за период (2%) меньше требуемой доходности за период (3%).

Дефицит за период - это купонная ставка за вычетом рыночной ставки дисконтирования, умноженная на номинал:

\( (0.02 - 0.03) \times 100 = -1 \)

Приведенная стоимость дефицита составляет -5.417. При дисконтировании используется ставка требуемой доходности (рыночная ставка дисконтирования) за период.

\( \begin{aligned} \dst
{-1 \over 1.03^1} + {-1 \over 1.03^2} + {-1 \over 1.03^3} + {-1 \over 1.03^4}
+ {-1 \over 1.03^5} + {-1 \over 1.03^6} = -5.417
\end{aligned} \)

Сумму дефицита можно использовать для расчета цены облигации, которая составляет:

94.583 (= 100 - 5.417)

Облигация B

\( \begin{aligned} \dst
{6 \over 1.04^1} + {6 \over 1.04^2} + {6 \over 1.04^3} + {106 \over 1.04^4} = 107.260
\end{aligned} \)

Облигация B торгуется с премией, поскольку ставка купона за период (6%) больше, чем рыночная ставка дисконтирования за период (4%).

Избыток за период - это ставка купона минус рыночная ставка, умноженная на номинальную стоимость:

\( (0.06 - 0.04) \times 100 = +2 \)

Приведенная стоимость избытка равна +7.260. При дисконтировании используется ставка требуемой доходности за период.

\( \begin{aligned} \dst
{2 \over 1.04^1} + {2 \over 1.04^2} + {2 \over 1.04^3} + {2 \over 1.04^4} = 7.260
\end{aligned} \)

Цена облигации составляет:

\( 107.260 \ (= 100 + 7.260) \)

Облигация C

\( \begin{aligned} \dst
{5 \over 1.05^1} + {5 \over 1.05^2} + {5 \over 1.05^3} + {5 \over 1.05^4} + {5 \over 1.05^5} = 100.000
\end{aligned} \)

Облигация C торгуется по номинальной стоимости, потому что ставка купона равна рыночной ставке дисконтирования. Купонные платежи не являются ни избыточными, ни недостаточными с учетом риска облигации.

Облигация D

\( \dst {100 \over 1.02^{10}} = 82.035 \)

Облигация D - это бескупонная облигация, которая всегда будет торговаться с дисконтом к номинальной стоимости (до тех пор, пока требуемая доходность больше нуля).

Дефицит в купонных платежах составляет -2 за период:

\( (0 - 0.02) \times 100 = -2 \)

\( \begin{aligned} \dst
{-2 \over 1.02^1} &+ {-2 \over 1.02^2} + {-2 \over 1.02^3} + {-2 \over 1.02^4} + {-2 \over 1.02^5} + \\[1ex]
{-2 \over 1.02^6} &+ {-2 \over 1.02^7} + {-2 \over 1.02^8} + {-2 \over 1.02^9} + {-2 \over 1.02^{10}} = 17.965
\end{aligned} \)

Цена облигации составляет:

\( 82.035 (= 100 - 17.965) \)