Когда облигация с фиксированной ставкой оценивается с использованием рыночной ставки дисконтирования, для каждого денежного потока используется та же ставка дисконтирования.

Более фундаментальный подход к расчету цены облигации заключается в использовании последовательности рыночных ставок, которые соответствуют датам денежных потоков. Эти рыночные ставки называются спотовыми ставками.

Спотовые ставки (англ. 'spot rate') - это доходность к погашению бескупонных облигаций на дату каждого денежного потока. Иногда их называют «нулевыми ставками».

Цена (или стоимость) и облигации, определяемая с использованием спотовых ставок, иногда называется «безарбитражной стоимостью» облигации (no-arbitrage value). Если цена облигации отличается от ее безарбитражной стоимости, то в отсутствие транзакционных издержек существует возможность арбитража.

Предположим, что 1-летняя спотовая ставка составляет 2%, 2-летняя спотовая ставка составляет 3%, а 3-летняя спотовая ставка составляет 4%. Тогда цена 3-летней облигации, которая выплачивает 5% годовой купон, составляет 102.960.

\( \begin{aligned} \dst
{5 \over 1.02^1} + {5 \over 1.03^2} + {105 \over 1.04^3} &= \\[1ex]
4.902 + 4.713 + 93.345 &= 102.960
\end{aligned} \)

Эта 3-летняя облигация оценивается с премией к номиналу, поэтому ее доходность к погашению должна составлять менее 5%. При использовании Формулы 1 доходность к погашению составляет 3.935%.

\( \begin{aligned} \dst
102.960 = {5 \over (1+r)^1} + {5 \over (1+r)^2} + {105 \over (1+r)^3}, \\[1ex] r = 0.03935
\end{aligned} \)

Когда денежные потоки по купону и основному долгу дисконтируются с использованием ставки доходности к погашению, получается та же цена.

\( \begin{aligned} \dst
{5 \over 1.03935^1} + {5 \over 1.03935^2} + {105 \over 1.03935^3} &= \\[1ex]
4.811 + 4.629 + 93.520 &= 102.960
\end{aligned} \)

Обратите внимание, что приведенная стоимость отдельных денежных потоков, дисконтированная с использованием спотовых ставок, отличается от рассчитанной с использованием доходности к погашению. Приведенная стоимость первого купона составляет 4.902 при дисконтировании ставкой 2%, и она равна 4.811 при ставке 3.935%.

Приведенная стоимость окончательного денежного потока, который включает в себя погашение основной суммы, составляет 93.345 при ставке 4% и 93.520 при ставке 3.935%. Тем не менее, общая приведенная стоимость с использованием любого подхода составляет 102.960.

Формула 2 является общей формулой для расчета цены облигации с использованием последовательности спотовых ставок:

\( \PV = \dst {{\rm PMT} \over (1+Z_1)^1 } + {{\rm PMT} \over (1+Z_2)^2 } + \ldots +
{{\rm PMT} + \FV \over (1+Z_N)^N } \) (Формула 2)

где

  • \(Z_1\) = спотовая ставка или бескупонная доходность или нулевая скорость, для Периода 1
  • \(Z_2\) = спотовая ставка или бескупонная доходность или нулевая скорость, для Периода 2
  • \(Z_N\) = спотовая ставка или бескупонная доходность или нулевая скорость, для Периода N

Пример 4. Расчет цены и доходности к погашению облигаций на основе спотовых ставок.

Рассчитайте цену (на 100 д.е. номинальной стоимости) и доходность к погашению для 4-летней 3% облигации, используя следующие две последовательности спотовых ставок.

Оставшийся срок погашения

Спотовые ставки A

Спотовые ставки B

1 год

0.39%

4.08%

2 года

1.40%

4.01%

3 года

2.50%

3.70%

4 года

3.60%

3.50%
 

Решение:

Спотовые ставки A

\( \begin{aligned} \dst
{3 \over 1.0039^1} + {3 \over 1.0140^2} + {3 \over 1.0250^3} + {103 \over 1.0360^4} &= \\[1ex]
2.988 + 2.918 + 2.786 + 89.412 &= 98.104
\end{aligned} \)

При использовании спотовых ставок A, 4-летняя 3% облигация оценивается в 98.104.

\( \begin{aligned} \dst
98.104 = {3 \over (1+r)^1} + {3 \over (1+r)^2} + {3 \over (1+r)^3} +
{103 \over (1+r)^4}, \\[1ex]
r = 0.03516
\end{aligned} \)

Доходность к погашению составляет 3.516%.

Спотовые ставки B

\( \begin{aligned} \dst
{3 \over 1.0408^1} + {3 \over 1.0401^2} + {3 \over 1.0370^3} + {103 \over 1.0350^4} &= \\[1ex]
2.882 + 2.773 + 2.690 + 89.759 &= 98.104
\end{aligned} \)

\( \begin{aligned} \dst
98.104 = {3 \over (1+r)^1} + {3 \over (1+r)^2} + {3 \over (1+r)^3} + {103 \over (1+r)^4}, \\[1ex]
r = 0.03516
\end{aligned} \)

При использовании спотовых ставок A, 4-летняя 3% облигация оценивается в 98.104 с доходностью 3.516%.

Этот пример демонстрирует, что две очень разные последовательности спотовых ставок могут привести к одной и той же цене облигаций и доходности к погашению. Спотовые ставки A увеличиваются для более длительных сроков погашения, тогда как спотовые ставки B уменьшаются.