Когда мы принимаем решения, связанные с инвестициями, мы часто начинаем с точек зрения, основанных на нашем опыте и знаниях. Эти точки зрения можно изменить или подтвердить, используя новые знания и наблюдения.

Формула Байеса или Теорема Байеса (англ. "Bayes' Formula") - это рациональный метод корректировки наших точек зрения, когда мы сталкиваемся с новой информацией.

Она названа в честь преподобного Томаса Байеса (1702-61, англ. англ. Thomas Bayes), британского математика и пресвитерианского священника.

Формула Байеса и связанные с ней концепции применяются во многих сферах бизнеса, в том числе для принятия инвестиционных решений, включая оценку эффективности взаимных фондов.

В формуле Байеса используется Формула 6, - правило полной вероятности. Напомним, что это правило выражает вероятность события как средневзвешенное значение вероятностей события с учетом сценариев.

Формула Байеса работает в обратном порядке. Точнее говоря, Формула Байеса меняет местами причину (сценарий) и следствие (событие). Т.е., она использует возникновение события для определения вероятности генерирующего его сценария. По этой причине формулу Байеса иногда называют обратной вероятностью (англ. 'inverse probability').

Применяя формулу Байеса на практике (в том числе в приведенном ниже иллюстрационном примере), индивид пересматривает (корректирует) свои убеждения относительно причин, которые могли привести к новому наблюдению.

Определение формулы Байеса.

Если вы получаете новую информацию относительно вероятности интересующего события, ваши убеждения о вероятности события обновляются в соответствии со следующим правилом:

\( \dst
\stBf{Обновленная ​​вероятность события}{с учетом новой информации}
 = { \stBf{Вероятность новой информации}{данного события}
 \over
\stBf{Безусловная вероятность}{новой информации} }
\times 
\stBf{Априорная}{вероятность события}
\)

Эту формулу можно кратко записать как:

\( \dst
P(\text{Событие $|$ Информация}) =
{ P(\text{Информация $|$ Событие}) \over P(\text{Информация})}
\times {P(\text{Событие})} \)

Чтобы проиллюстрировать формулу Байеса, мы разберем типичный пример из инвестиционной практики, который можно адаптировать к любой актуальной проблеме.

Предположим, вы являетесь инвестором в акции DriveMed, Inc. Неожиданный рост прибыли относительно консенсус-прогноза EPS (прибыли на акцию) часто приводит к положительной доходности акций, а неожиданной падение прибыли имеет противоположный эффект.

DriveMed готовится опубликовать EPS за прошлый квартал, и вас интересует, какое из этих трех событий произойдет:

  1. EPS последнего квартала превысит консенсус-прогноз EPS, или
  2. EPS последнего квартала будет точно соответствовать консенсус-прогнозу EPS, или
  3. EPS последнего квартала не дотянет до консенсус-прогноза EPS.

Этот перечень альтернатив является взаимоисключающим и исчерпывающим.

На основе вашего собственного исследования вы записываете следующие вероятности (т.е. априорные вероятности, англ. 'prior probability') относительно этих трех событий:

  1. P(EPS превысила прогноз) = 0.45
  2. P(EPS соответствует прогнозу) = 0.30
  3. P(EPS не достигла прогноза) = 0.25

Эти вероятности являются «предварительными» или «априорными» в том смысле, что они отражают только то, что вы знаете сейчас, до появления какой-либо новой информации.

На следующий день DriveMed объявляет о расширении производственных мощностей в Сингапуре и Ирландии, чтобы удовлетворить растущий спрос. Вы оцениваете эту новую информацию.

Решение о расширении мощностей связано не только с текущим спросом, но, вероятно, также с ростом спроса и продаж в предыдущем квартале. Вы знаете, что рост продаж положительно связан с EPS. Таким образом, теперь представляется более вероятным, что EPS последнего квартала превысит консенсус-прогноз.

У вас есть вопрос:

«В свете новой информации, какова обновленная вероятность того, что EPS предыдущего квартала превысит консенсус-прогноз?»

Формула Байеса предоставляет рациональный метод для выполнения этого обновления. Мы представим новую информацию о расширении компании DriveMed в виде обозначений.

Первым шагом в применении формулы Байеса является вычисление вероятности новой информации (о том, что DriveMed расширяется) с учетом перечня событий или сценариев, которые могли к ней привели.

Список событий должен охватывать все возможности. Формулировка этих условных вероятностей является ключевым шагом в процессе обновления первоначальных априорных вероятностей.

Предположим, что по вашему мнению:

  • P(DriveMed расширяется | EPS превысила прогноз) = 0.75
  • P(DriveMed расширяется | EPS соответствует прогнозу) = 0.20
  • P(DriveMed расширяется | EPS не достигла прогноза) = 0.05

Условные вероятности наблюдения (здесь: DriveMed расширяется) иногда называют правдоподобиями (англ. 'likelihoods'). Опять же, правдоподобия необходимы для обновления вероятности.

Затем вы объединяете эти условные вероятности или правдоподобия с вашими предыдущими вероятностями, чтобы получить безусловную вероятность расширения компании DriveMed, P(DriveMed расширяется), следующим образом:

P(DriveMed расширяется) =

\( \ = \) P(DriveMed расширяется | EPS превысила прогноз)
\( \times \) P(EPS превысила прогноз)

\( \ + \) P(DriveMed расширяется | EPS соответствует прогнозу)
\( \times \) P(EPS соответствует прогнозу)

\( \ + \) P(DriveMed расширяется | EPS не достигла прогноза)
\( \times \) P(EPS не достигла прогноза)

\( \ = \) 0.75(0.45) + 0.20(0.30) + 0.05(0.25) = 0.41, или 41%

Это Формула 6, правило полной вероятности, в действии. Теперь вы можете ответить на свой вопрос, применив формулу Байеса:

\( \begin{aligned}
&\text{ P(EPS превысила прогноз | DriveMed расширяется) } = \\ \\  &={\text{P(DriveMed расширяется | EPS превысила прогноз)} \over \text{P(DriveMed расширяется)} } \\
&\times \text{P(EPS превысила консенсус)}
\end{aligned} \)

= (0.75/0.41)(0.45) = 1.829268(0.45) = 0.823171

До заявления DriveMed вы думали, что вероятность того, что DriveMed превзойдет консенсус-прогноз, составляет 45%. На основании вашей интерпретации заявления вы обновляете эту вероятность до 82.3%.

Эта обновленная вероятность называется вашей апостериорной вероятностью (англ. 'posterior probability'), потому что она отражает новую информацию или следует за ней.

Расчет Байеса берет предыдущую вероятность, которая составляла 45%, и умножает ее на соотношение. Знаменатель соотношения - это вероятность того, что DriveMed расширяется, по вашему мнению, не принимая в расчет (не обусловливая) что-либо еще. Следовательно, эта вероятность безусловна.

Числитель - это вероятность того, что DriveMed расширится, если EPS последнего квартала фактически превысит консенсус-прогноз. Эта последняя вероятность больше, чем безусловная вероятность в знаменателе, поэтому соотношение (примерно 1.83) больше 1.

В результате ваша обновленная или последующая вероятность больше, чем ваша предыдущая вероятность. Таким образом, соотношение отражает влияние новой информации на ваши предыдущие убеждения.

Пример (13) вывода на основе формулы Байеса: соответствует ли EPS DriveMed консенсус-прогнозу EPS?

Вы все еще являетесь инвестором в акции DriveMed. Вы используете те же предыдущие вероятности:

  • P(EPS превысила прогноз) = 0.45
  • P(EPS соответствует прогнозу) = 0.30
  • P(EPS не достигла прогноза) = 0.25

У вас также есть следующие условные вероятности:

  • P(DriveMed расширяется | EPS превысила прогноз) = 0.75
  • P(DriveMed расширяется | EPS соответствует прогнозу) = 0.20
  • P(DriveMed расширяется | EPS не достигла прогноза) = 0.05

Напомним, что вы обновили свою вероятность того, что прибыль на акцию в прошлом квартале превысит консенсус-прогноз с 45% до 82.3% после того, как DriveMed объявил о своем расширении. Теперь вы хотите обновить другие свои априорные вероятности.

  1. Обновите вашу априорную вероятность того, что EPS DriveMed будет соответствовать прогнозу.
  2. Обновите вашу предыдущую вероятность того, что EPS DriveMed не достигнет прогноза.
  3. Покажите, что три обновленные вероятности в сумме составляют 1. (Рассчитайте каждую вероятность с точностью до четырех десятичных знаков.)
  4. Предположим, что из-за отсутствия предварительных представлений о том, будет ли DriveMed соответствовать прогнозу, вы решили, на основе предыдущих вероятностей, что все три возможности были одинаково вероятны:

P (EPS превысила прогноз) = P(EPS соответствует прогнозу) = P (EPS не достигла прогноза) = 1/3.

Какова ваша оценка вероятности P(EPS превысила прогноз | DriveMed расширяется)?

Решение для части 1:

Вероятность равна:

\( \begin{aligned}
&\text{ P(EPS соответствует прогнозу | DriveMed расширяется) } = \\ \\  &={\text{P(DriveMed расширяется | EPS соответствует прогнозу)} \over \textrm{P(DriveMed расширяется)} } \\
&\times \text {P(EPS соответствует прогнозу)}
\end{aligned} \)

Расчет знаменателя соотношения (т.е. безусловной вероятности) аналогичен расчету, приведенному в примере выше:

P (DriveMed расширяется) = 0.75(0.45) + 0.20(0.30) + 0.05(0.25) = 0.41, или 41%.

Даны другие необходимые вероятности:

P(DriveMed расширяется | EPS соответствует прогнозу) = 0.20 и
P(EPS соответствует прогнозу) = 0.30.

Поэтому:

P(EPS соответствует прогнозу | DriveMed расширяется)
= (0.20/0.41)(0.30) = 0.487805(0.30) = 0.146341

Принимая во внимание объявление о расширении, ваша обновленная вероятность того, что EPS последнего квартала соответствует прогнозу, составляет 14.6%, что ниже по сравнению с вашей предыдущей вероятностью 30%.

Решение для части 2:

P(DriveMed расширяется) уже была рассчитана как 41%.

Напомним, что:

P (DriveMed расширяется | EPS не достигла прогноза) = 0.05, а
P (EPS не достигла прогноза) = 0.25.

P (EPS не достигла прогноза | DriveMed расширяется)
= (0.05 / 0.41)(0.25) = 0.121951(0.25) = 0.030488

В результате объявления вы пересмотрели свою вероятность того, что EPS DriveMed не достигнет консенсус-прогноза с 25% (ваша предыдущая вероятность) до 3%.

Решение для части 3:

Сумма трех обновленных вероятностей:

P(EPS превысила прогноз | DriveMed расширяется)
+ P(EPS соответствует прогнозу | DriveMed расширяется)
+ P(EPS не достигла прогноза | DriveMed расширяется)
= 0.8232 + 0.1463 + 0.0305 = 1.0000

Три события (EPS превысила прогноз, EPS соответствует прогнозу, EPS не достигла прогноза) являются взаимоисключающими и исчерпывающими: одно из этих событий или утверждений должно быть истинным, поэтому условные вероятности должны быть равны в сумме 1.

Независимо от того, говорим ли мы об условных или безусловных вероятностях, всякий раз, когда у нас есть полный набор различных возможных событий или результатов, вероятности должны быть равны в сумме 1.

Этот расчет служит контрольной проверкой вашей работы.

Решение для части 4:

Используя вероятности, приведенные в вопросе, находим:

P(DriveMed расширяется) =

= P(DriveMed расширяется | EPS превысила прогноз) 
\(\times\) P(EPS превысила прогноз)

+ P(DriveMed расширяется | EPS соответствует прогнозу) 
\(\times\) P(EPS соответствует прогнозу)

+ P(DriveMed расширяется | EPS не достигла прогноза)
\(\times\) P(EPS не достигла прогноза)

= 0.75(1/3) + 0.20(1/3) + 0.05(1/3) = 1/3

Неудивительно, что безусловная вероятность расширения DriveMed составляет 1/3, потому что лицо, принимающее решение, не имеет предварительных убеждений или мнений относительно того, насколько изменится EPS относительно консенсус-прогноза.

Теперь мы можем использовать формулу Байеса, чтобы найти обновленную (апостериорную) вероятность:

P(EPS превысила прогноз | DriveMed расширяется)
= [(0.75/(1/3)](1/3) = 0.75 или 75%.

Эта вероятность идентична вашей оценке P(DriveMed расширяется | EPS превысила прогноз).

Когда предыдущие вероятности равны, вероятность новой информации равна вероятности события, обусловленного данной информацией.

Когда лицо, принимающее решение, имеет равные априорные вероятности (называемые диффузными или размытыми априорными вероятностями, англ. 'diffuse priors'), вероятность события определяется информацией.