В бизнесе и других областях мы часто сталкиваемся с вероятностями, указанными в виде шансов или ставок (англ. 'odds') - например, «ставка на \(E\)» или «ставка против \(E\)».

Например, по состоянию на ноябрь 2013 года прогнозы аналитиков по прибыли на акцию (EPS) для JetBlue Airways на 2014 финансовый год колебались от $0.55 до $0.69.

Предположим, что один аналитик утверждает, что шансы НА то, чтобы EPS компании превысила самую высокую оценку, $0.69, составляют 1 к 7. Предположим, что второй аналитик утверждает, что шансы ПРОТИВ этого равны 15 к 1.

Что эти шансы подразумевают о вероятности того, что EPS компании превзойдет самую высокую оценку?

Мы интерпретируем вероятности, выраженные через шансы, следующим образом:

Вероятность, указанная как шансы (ставка).

Для данной вероятности события \( P(E) \),

Утверждение 1. Шансы НА событие \( E = P(E)/[1 - P(E)] \). Шансы на событие \(E\) - это вероятность \(E\), деленная на 1, минус вероятность \(E\). Для шансов на событие \(E\) «a к b», подразумеваемая вероятность \(E\) равна \(a/(a ​​+ b)\).

В этом примере утверждение о том, что шансы на то, что EPS компании на 2014 финансовый год превысит $0.69, составляют 1 к 7, означает, что финансовый аналитик полагает, что вероятность события составляет:

1/(1 + 7) = 1/8 = 0.125

Утверждение 2. Шансы ПРОТИВ события \(E = [1 - P(E)]/P(E)\) - это обратные шансы НА событие \(E\). Для шансов против события \(E\) «a к b», подразумеваемая вероятность \(E\) равна \(b/(a ​​+ b)\),

Утверждение о том, что шансы против того, что EPS компании на 2014 финансовый год, превысит $0.69, составляют 15 к 1, означает, что вероятность события составляет:

1/(1 + 15) = 1/16 = 0.0625.

Чтобы дополнительно объяснить шансы на событие: если \(P(E)\) = 1/8, шансы на E составляют:

(1/8)/(7/8) = (1/8)(8/7) = 1/7, или «1 к 7».

Для каждого вхождения \(E\) мы ожидаем 7 случаев отсутствия вхождения; поэтому из 8 случаев мы ожидаем, что \(E\) произойдет 1 раз, и вероятность \(E\) равна 1/8.

В ставках принято говорить с точки зрения шансов против чего-либо, как в утверждении 2. Для шансов «15 к 1» против \(E\) (подразумеваемая вероятность \(E\) равна 1/16), ставка в $1 на \(E\) при выигрыше приносит $15 прибыли плюс поставленный $1.

Мы можем рассчитать ожидаемую прибыль от ставки следующим образом:

  • Выигрыш: вероятность = 1/16; Прибыль = $15
  • Проигрыш: вероятность = 15/16; Прибыль = -$1
  • Ожидаемая прибыль = (1/16)($15) + (15/16)(-$1) = $0

Если взвесить каждый из двух исходов ставки по соответствующей вероятности исхода, если шансы (вероятности) точны, ожидаемая прибыль от ставки составляет $0.

Пример (1) прогнозирования прибыли при противоречивых вероятностях (когерентные ставки).

Вы изучаете обыкновенные акции двух компаний в одной отрасли, для которых важное антимонопольное решение будет объявлено на следующей неделе.

Первая компания, SmithCo Corporation, получит выгоду от решения правительства об отсутствии антимонопольного препятствия, связанного с слиянием, в которое она вовлечена. Вы считаете, что цена акций SmithCo отражает вероятность такого решения на уровне 0.85.

Вторая компания, Selbert Corporation, в равной степени выиграет от решения правительства, но вы считаете, что акции Selbert отражают только 0.50 вероятности благоприятного решения.

Если ваш анализ верен, какая инвестиционная стратегия выиграет от этого расхождения в ценах?

Рассмотрим логические возможности.

Во-первых, вероятность 0.50, отраженная в цене акций Selbert, является точной. В этом случае Selbert справедливо оценен, но SmithCo переоценен, так как его текущая цена акций переоценивает вероятность принятия решения.

Вторая возможность состоит в том, что вероятность 0.85 является точной. В этом случае акции SmithCo оценены по справедливой цене, но акции Selbert, которые отражают более низкую вероятность принятия благоприятного решения, недооценены.

Вы описываете ситуацию, как показано в Таблице 1.

Таблица 1. Анализ для решения
инвестиционной проблемы.

Вероятность принятия решения правительством

0.50

0.85

SmithCo

Акции переоценены

Акции справедливо оценены

Selbert

Акции справедливо оценены

Акции недооценены

Столбец вероятности 0.50 показывает, что акции Selbert лучше, чем акции SmithCo. Акции Selbert также лучше, если вероятность 0.85 точна. Таким образом, акции SmithCo переоценены относительно акций Selbert.

Ваши инвестиционные действия зависят от вашей уверенности в своем анализе и от любых инвестиционных ограничений, с которыми вы сталкиваетесь (таких как ограничения на короткую продажу акций).

Короткие продажи акций (англ. 'selling short stock', 'selling shorting stock') означают продажу акций, взятых взаймы у брокера, в надежде выкупить их позже по более низкой цене.

Консервативной стратегией будет покупка акций Selbert и сокращение или ликвидация любой текущей позиции в SmithCo.

Наиболее агрессивной стратегией является покупка акций SmithCo (с учетом переоцененности) и одновременная покупка акций Selbert (с учетом недооцененности). Эта стратегия известна как парная арбитражная торговля (англ. 'pairs arbitrage trade'): торговля двумя тесно связанными акциями, включающая короткую продажу одной и покупку другой.

Цены акций SmithCo и Selbert отражают вероятности, которые не соответствуют друг другу.

В соответствии с одним из наиболее важных принципов вероятности для инвестиций, Теоремой голландской системы ставок (англ. 'Dutch Book Theorem'), несогласующиеся противоречивые вероятности (англ. 'inconsistent probabilities') создают возможности получения прибыли.

Название теоремы происходит от терминологии ставок.

Предположим, что кто-то делает ставку в $100, 10 к 1 на \(X\), а позже он может сделать ставку в размере $600 против \(X\) 1 к 1. Каким бы ни был исход \(X\), этот человек получает безрисковую прибыль (равную $400, если событие \(X\) произойдет, или $500, если \(X\) не произойдет), поскольку предполагаемые вероятности противоречивы.

В нашем примере инвесторы, принимая решения о покупке и продаже с целью использования противоречивых вероятностей, должны исключить возможность получения прибыли другими инвесторами за счет этих противоречивых вероятностей.