Первый шаг в решении вопроса о перечислении или подсчета количества чего-либо часто включает определение различных логических возможностей. Далее мы захотим узнать количество возможных вариантов реализации каждой из этих возможностей. И здесь в глубине нашего сознания часто возникает вопрос о вероятности.

Насколько вероятна эта конкретная возможность?

Записи об успешных и неудачных исходах инвестиций являются показательным примером. Когда мы оцениваем записи финансового аналитика, один известный метод оценки использует принципы подсчета (англ. 'principles of counting'), представленные в этом разделе.

Важная инвестиционная модель - биномиальная модель ценообразования опционов (см. CFA - Биномиальное распределение вероятностей), включает формулу сочетаний, которую мы рассмотрим далее.

Мы также можем использовать методы, представленные в этом разделе, чтобы вычислить априорные вероятности (рассмотренные в разделе: CFA - Формула Байеса). Когда мы можем предположить, что возможные исходы (результаты) для случайной величины одинаково вероятны, вероятность события равна числу возможных благоприятных для события исходов, деленных на общее количество исходов.

При подсчете количества, перечисление результатов (подсчет результатов по одному) является, конечно, самым общим подходом. В этом разделе мы обсудим более быстрые методы. Без этих принципов и методов подсчет общего количества результатов может быть очень сложным и подверженным ошибкам.

Первый и основной принцип подсчета финансовых результатов - это правило умножения при подсчете (англ. 'multiplication rule of counting').

Правило умножения при подсчете.

Если одна задача может быть решена двумя способами, а вторая задача, с учетом первой задачи, может быть решена \(n_2\) способами, а третья задача, с учетом первых двух задач, может быть решена \(n_3\) способами и так далее для \(k\) задач, то число способов выполнения \(k\)\) задач составляет:

\( (n_1)(n_2)(n_3) \ldots (n_3) \)

Предположим, нам нужно выполнить три шага в процессе принятия инвестиционного решения. Первый шаг можно сделать 2-мя способами, второй - 4-мя, а третий - 3-мя. Следуя правилу умножения, существует (2)(4)(3) = 24 способа, которыми мы можем выполнить эти три шага.

Пример с назначением сотрудников.

Другой иллюстрацией является распределение группы сотрудников на равное количество должностей. Например, предположим, что вы хотите назначить трех финансовых аналитиков для трех разных отраслей рынка.

Сколько способов в вас есть, чтобы сделать эти назначения?

  • Первый аналитик может быть назначен тремя различными способами (на любую из трех отраслей). Тогда останутся две отрасли.
  • Второго аналитика можно назначить двумя способами (на две оставшиеся отрасли). Тогда остается одна отрасль.
  • Третий и последний аналитик может быть назначен только одним способом.

Общее количество различных назначений равно (3)(2)(1) = 6. Компактная запись для только что выполненного умножения: 3! (читается: 3 факториал или 3 factorial).

Если бы у нас было n финансовых аналитиков, то число способов, которыми мы могли бы назначить их для выполнения n задач, составило бы:

\( n! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3) \ldots 1 \)

или n факториал (англ. n factorial).

По соглашению, \( 0! = 1 \).

При подсчете мы неоднократно выполняем одну операцию (в нашем примере - назначение сотрудника), пока не задействуем всех членов группы (в нашем примере, трех аналитиков).

При n членах в группе правило умножения сводится к n факториал.

Простейшее объяснение \(n\) факториал состоит в том, что это количество способов упорядочить \(n\) объектов подряд. Во всех задачах, к которым мы применяем этот метод подсчета, мы должны использовать всех членов группы (выборка без замены).

Следующий тип проблемы подсчета результатов можно назвать проблемами разметки (англ. 'labeling problems'). Мы хотим присвоить каждому объекту в группе метку, чтобы поместить его в определенную категорию. Следующий пример иллюстрирует этот тип проблемы.

Пример с разметкой инвестиционных фондов по степени риска.

Справочник по взаимным фондам оценил 18 взаимных фондов облигаций по совокупной доходности за 2014 год.

Справочник также присвоил каждому фонду одну из пяти категорий риска:

  • высокий риск (4 фонда),
  • риск выше среднего (4 фонда),
  • средний риск (4 фонда),
  • риск ниже среднего (4 фонда) и
  • низкий риск (4 фонда). ).

При 4 + 4 + 3 + 4 + 3 = 18 учитываются все фонды.

Сколько различных способов существует для того, чтобы взять 18 взаимных фондов и отметить 4 из них как высокий риск, 4 - риск выше среднего, 3 - средний риск, 4 - риск ниже среднего и 3 - низкий риск, так, чтобы каждый фонд был отмечен?

Ответ: около 13 миллиардов.

Мы можем:

  • пометить любой из 18 фондов как высокий риск (первый слот),
  • затем аналогично любой из 17 оставшихся фондов,
  • затем аналогично любой из 16 оставшихся фондов,
  • затем аналогично любой из 15 оставшихся фондов (теперь у нас есть 4 фонда в группе высокого риска);
  • затем мы можем пометить любой из 14 оставшихся фондов как риск выше среднего,
  • затем  аналогично любой из 13 оставшихся фондов и т. д.

Всего существует 18! возможных комбинаций.

Тем не менее, порядок назначения в категории не имеет значения. Например, если фонд занимает первый или третий слот в группе из четырех фондов, помеченной как высокий риск, фонд все равно имеет ту же метку - высокий риск.

Таким образом, существует 4! способов назначить данную группу из четырех фондов четырем слотам высокого риска. Применив аналогичные аргументы к другим категориям, можно заключить, что в общей сложности существует (4!)(4!)(3!)(4!)(3!) эквивалентных комбинаций.

Чтобы исключить лишнее из общее количества комбинаций 18!, мы делим 18! на (4!)(4!) (3!)(4!)(3!). Таким образом, мы получаем:

18!/(4!)(4!)(3!)(4!)(3!) = 18!/(24)(24)(6)(24)(6) = 12,864,852,000.

Эта процедура обобщается с помощью полиномиальной формулы (или формулы многочлена, англ. 'multinomial formula').

Полиномиальная формула (общая формула для задач разметки).

Количество способов, которыми n объектов могут быть помечены \(k\) разными метками, при \(n_1\) объектов с метками первого типа, \(n_2\) - с метками второго типа и т. д., при \(n_1 + n_2 + \ldots + n_k = n\), находится с помощью формулы:

\( \large \dst {n! \over n_1!n_2!\ldots n_k!} \)

Полиномиальная формула с двумя разными метками \( (k = 2) \) особенно важна. Этот частный случай называется формулой сочетаний. Сочетания или комбинации - это список, в котором порядок перечисленных объектов не имеет значения.

Далее мы формулируем формулу сочетаний традиционным способом, но никаких новых концепций и не требуется. В соответствии с обозначениями в формуле ниже, число объектов с первой меткой равно \( r = n_1 \), а со второй меткой \( n - r = n_2 \). Поскольку имеется только две категории, \( n_1 + n_2 = n \).

Формула сочетаний (биноминальная формула).

Формула сочетаний известна также как биноминальная формула (англ. 'combination formula', 'binomial formula').

Количество способов, которыми мы можем выбрать r объектов из общего числа n объектов, когда порядок, в котором перечислены r объектов, не имеет значения, составляет:

\( \large \dst {_{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)! \ r!}} \)

Здесь \( _{n}C_{r} \) и \( \binom{n}{r} \) - сокращенные обозначения для \( \frac{n!}{(n-r)! \ r!} \) (читается как:  «выборка из n по r», «набор из n по r», «число сочетаний из n по r» или «биномиальный коэффициент из n по r»).

Если мы помечаем объекты r как «принадлежащие группе», а остальные объекты как «не принадлежащие группе», какой бы ни была группа, представляющая интерес, формула сочетаний позволяет нам найти количество способов, которым мы можем выбрать группу размера \(r\).

Пример с биномиальной моделью ценообразования опционов.

Мы можем проиллюстрировать эту формулу с помощью биномиальной модели опциона (англ. 'binomial option pricing model').

Эта модель описывает движение цен базового актива как последовательность движений цена вверх (U, price up) или цена вниз (D, price down). Например, две последовательности из пяти движений, содержащие три движения вверх, такие как UUUDD и UDUUD, приводят к одной и той же окончательной цене акций.

Для опциона с выплатой, зависящей от окончательной цены акции, имеет значение итоговое число, а не порядок восходящих движений в последовательности.

Сколько последовательностей из 5-ти движений относится к группе с 3-мя движениями вверх?

Ответ 10. Он рассчитывается по формуле комбинаций («выборка из 5 по 3»):

\( \begin{aligned} _5C_3 &= {5! \over (5 - 3)! \ 3!} \\ &= {(5)(4)(3)(2)(1) \over (2)(1)(3)(2)(1)} = 120/12 = 10 \end{aligned} \)

Полезный факт можно проиллюстрировать следующим образом:

  • \( _5C_3 = 5! / 2! \ 3! \) эквивалентно \( _5C_2 = 5! / 3! \ 2! \), как 3+2=5
  • \( _5C_4 = 5! / 1! \ 4! \) эквивалентно \( _5C_1 = 5! / 4! \ 1! \), как 4+1=5.

Эта симметричная зависимость позволяет сэкономить массу времени, когда нам нужно вычислить много возможных комбинаций.

Пример с назначением компаний-победителей.

Предположим, что члены жюри хотят выбрать 3 компании из группы, включающей 5 компаний, чтобы вручить награды за первое, второе и третье места за лучший годовой отчет.

Сколько вариантов есть у членов жюри, чтобы вручить 3 награды?

В данном случае порядок (очередность мест) имеет значение - ясно, что постановка вопроса делает порядок важным.

С другой стороны, если вопрос поставить как: «Сколько есть вариантов у членов жюри для вручения 3 наград, независимо от того какое место займут участники?», то мы бы использовали формулу сочетаний.

Чтобы ответить на первый вопрос, нам нужно посчитать упорядоченные списки, такие как:

  • первое место - New Company;
  • второе место - Fir Company;
  • третье место - Well Company.

Упорядоченный список также известен как перестановка или пермутация (англ. 'permutation'), а формула, которая подсчитывает количество перестановок, называется формулой перестановки (англ. 'permutation formula').

Более формальное определение гласит, что перестановка - это упорядоченное подмножество из n различных объектов.

Формула перестановки.

Число способов, которыми мы можем выбрать \(r\) объектов из общего числа n объектов, когда порядок, в котором перечислены \(r\) объектов, имеет значение, составляет:

\( \large \dst { _{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!} } \)

Таким образом, у членов жюри есть:

 \( _{5}P_{3} \) = 5! / (5 - 3)! = (5)(4)(3)(2)(1) / (2)(1)
= 120/2 = 60 способов,

которыми они могут вручить награды. Чтобы лучше понять, как работает эта формула работает, обратите внимание, что (5)(4)(3)(2)(1) / (2)(1) сокращается до (5)(4)(3).

Этот расчет аналогичен подсчету количества способов заполнить три слота, при выборе из группы в пять человек (см. пример выше), в соответствии с правилом умножения при подсчете. Результат, естественно, больше, чем был бы, если бы порядок не имел значения (сравните 60 со значением 10 для «выборки из 5 по 3», которое мы рассчитали выше).

Например сочетание,

  • первое место - Well Company;
  • второе место - Fir Company;
  • третье место - New Company

содержит те же три компании, что и

  • первое место - New Company;
  • второе место - Fir Company;
  • третье место - Well Company.

Если бы нас интересовали только победители (независимо от места, которое они заняли), эти два списка считались бы одной комбинацией. Но когда нас интересует порядок победителей, списки считаются двумя перестановками.

Как решать финансовые задачи, связанные с подсчетом результатов?

Ответы на следующие вопросы могут помочь вам применить на практике методы подсчета, представленные в этом разделе.

  1. Имеет ли финансовая задача с подсчетом количества конечное число возможных результатов?
    Если ответ «да», вы можете использовать инструмент, представленный в этом разделе и перейти ко 2-му вопросу. Если ответ отрицательный, т.е. количество результатов бесконечно, и инструменты этого раздела не применяются.
  2. Хочу ли я назначить каждому члену группы из n объектов один из n слотов (или задач)?
    Если ответ да, используйте n факториал. Если ответ нет, переходите к 3-му вопросу.
  3. Хочу ли я подсчитать количество способов отметить каждого члена группы определенным количеством меток?
    Если ответ положительный, используйте полиномиальную формулу. Если ответ нет, переходите к 4-му вопросу.
  4. Хочу ли я подсчитать количество способов выбрать r объектов из n, если порядок, в котором я перечисляю r объектов, не имеет значения (могу ли я присвоить r объектам метку)?
    Если ответ на эти вопросы положительный, применяется формула сочетаний. Если ответ нет, переходите к 5-му вопросу.
  5. Хочу ли я подсчитать количество способов выбрать r объектов из n, если важен порядок, в котором я перечисляю r объектов?
    Если ответ «да», применяется формула перестановки. Если ответ «нет», переходите к вопросу 6.
  6. Можно ли использовать правило умножения для подсчета результатов?
    Если это невозможно, вам, вероятно, придется пересчитать результаты один за одним или использовать более продвинутые методы, чем те, которые представлены здесь.