Что такое правило полной вероятности?

В инвестициях вопрос о том, предоставляет ли одно событие (или характеристика) информацию о другом событии (или характеристике), часто возникает при анализе временных рядов. В Примерах 4 и 6 изучалась независимость событий в условиях временных рядов.

Отношения независимость / зависимость часто также исследуются в обоих случаях с использованием регрессионного анализа, метода, который мы обсудим в дальнейшем.

Во многих практических задачах мы логически анализируем проблему следующим образом: мы формулируем сценарии, которые, по нашему мнению, влияют на вероятность события, которое нас интересует.

Затем мы оцениваем вероятность события, учитывая сценарий. Когда сценарии (обусловливающие события) являются взаимоисключающими и исчерпывающими, не исключаются никакие возможные результаты.

Затем мы можем проанализировать событие, используя правило полной вероятности (англ. 'total probability rule'). Это правило объясняет безусловную вероятность события в терминах вероятностей, зависящих от сценариев.

Правило полной вероятности приведено ниже для двух случаев.

Формула 5 рассматривает простейший случай, в котором у нас есть два сценария. Введено одно новое обозначение: если у нас есть событие или сценарий \(S\), событие не-\(S\), называемое дополнением \(S\), записывается как \(S^C\).

Для читателей, знакомых с математической основой вероятности, обозначение \(S\), обычно зарезервированное для концепции, называемой пространством выборки, присваивается для обозначения сценария.

Обратите внимание, что \( P(S) + P(S^C) = 1 \), так как должен присутствовать \(S\) или не-\(S\) сценарий. Формула 6 устанавливает правило для общего случая n взаимоисключающих и исчерпывающих событий или сценариев.

Правило полной вероятности.

(Формула 5)

\( P(A) = P(AS) + P(AS^C) = P(A|S)P(S) + P(A|S^C)P(S^C) \)

(Формула 6)

\( \begin{aligned}
 P(A) &= P(AS_1) + P(AS_2) + \ldots + P (AS_n) \\
&= P(A|S_1)(S_1) + P(A|S_2)P(S_2) + \ldots + P(A|S_n)P(S_n) \end{aligned} \)

где

  • \( S_1, S_2, \ldots, S_n \) - взаимоисключающие и исчерпывающие сценарии или события.

Формула 6 утверждает следующее:

  • Вероятность любого события \([P (A)]\) может быть выражена как средневзвешенное значение вероятностей события с учетом сценариев [в таких обозначениях, как \( P(A|S_1) \)];
  • веса, применяемые к этим условным вероятностям, представляют собой соответствующие вероятности сценариев [такие обозначения, как \( P(S_1) \), \( P(A|S_1) \)], и сценарии должны быть взаимоисключающими и исчерпывающими.

Среди других областей применения это правило необходимо для понимания формулы Байеса, которую мы обсудим позже.

В следующем примере мы используем правило общей вероятности для разработки согласованного набора представлений о прибыли на акцию BankCorp.

Пример (7) анализа прибыли на акцию BankCorp.

Вы продолжаете свой анализ относительно того, можете ли вы предсказать направление изменений в ежеквартальной прибыли на акцию (EPS) BankCorp.

Вы определяете четыре события:

Событие

Вероятность

A = Изменение последовательной EPS положительно в следующем квартале

0.55

AC = Изменение последовательной EPS равно 0 или отрицательно в следующем квартале

0.45

S = Изменение последовательной EPS положительно в предыдущем квартале

0.55

SC = Изменение последовательной EPS равно 0 или отрицательно в предыдущем квартале

0.45

При проверке данных вы наблюдаете некоторую устойчивость изменений EPS: за увеличением обычно следует увеличение, а за уменьшением - уменьшение.

Первой оценкой вероятности, которую вы используете, является:

P(Изменение последовательной EPS положительно в следующем квартале | Изменение последовательной EPS равно 0 или отрицательно в предыдущем квартале) = \( P(A|S^C) \) = 0.40

Последний известный EPS - за 2 квартал 2014 г., являющийся положительным последовательным изменением (событие \(S\)). Вы заинтересованы в прогнозировании EPS на 3 квартал 2014 года.

  1. Запишите это утверждение в обозначении вероятности: «вероятность того, что изменение последовательной EPS будет положительным в следующем квартале, при условии, что изменение последовательной EPS положительно в предыдущем квартале».
  2. Рассчитайте вероятность для части 1. (Рассчитайте вероятность, которая соответствует вашим другим вероятностям или убеждениям.)
 

Решение для части 1:

В обозначении вероятности это утверждение записывается как \( P(A|S) \).

Решение для части 2:

Вероятность изменения последовательной прибыли на акцию в 3 кв. 2014 г. равна 0.673, при условии положительного изменение последовательной прибыли на акцию за 2 кв. 2014 г., как показано ниже.

Согласно Формуле 5,

\( P(A) = P(A|S)P(S) + P(A|S^C)P(S^C) \)

Значения вероятностей, необходимые для расчета P(A|S), уже известны:

\( P(A) = 0.55, P(S) = 0.55, P(S^C) = 0.45, \text{ и } P(A|S^C) = 0.40 \)

Подставим значения в Формулу 5:

\( 0.55 = P(A|S)(0.55) + 0.40(0.45) \)

Находим неизвестную величину:

\( P(A|S) = [0.55 - 0.40(0.45)]/0.55 = 0.672727 \) или 0.673.

Вы заключаете, что:

P (Изменение последовательной EPS положительно в следующем квартале | Изменение последовательной EPS равно 0 или отрицательно в предыдущем квартале) = 0,673

Любая другая вероятность не соответствует вашим другим оценкам вероятностей.

Отражая постоянство изменений EPS, эта условная вероятность положительного изменения EPS, 0.673, больше, чем безусловная вероятность увеличения EPS, 0.55.

В чтении о статистических концепциях и рыночной доходности мы обсуждали понятие средневзвешенного значения.

Приведенный в этом чтении пример состоял в том, что доходность портфеля представляет собой средневзвешенную доходность отдельных активов в портфеле, где вес, применяемый к доходности каждого актива, представляет собой долю портфеля, вложенного в этот актив.

Правило полной вероятности, которое является правилом для определения безусловной вероятности в терминах условных вероятностей, также является средневзвешенным значением.

В формуле полной вероятности, вероятности сценариев используются в качестве весов. Часть определения средневзвешенного значения заключается в том, что сумма весов равна 1.

Вероятности взаимоисключающих и исчерпывающих событий также составляют в сумме 1 (это часть определения вероятности). Следующее взвешенное среднее, которое мы обсуждаем, - это ожидаемое значение случайной величины, также использует вероятности в качестве весов.