Все инвестиционные решения принимаются в условиях риска. Инструменты, которые позволяют нам принимать решения последовательно и логично в этой ситуации, относятся к категории вероятностных. В этом чтении представлены основные вероятностные инструменты, необходимые для решения многих реальных проблем, связанных с риском.

Мы покажем, как эти инструменты применяются к решению таких вопросов, как прогнозирование эффективности работы инвестиционного управляющего, прогнозирование финансовых показателей и ценообразование облигаций таким образом, чтобы они справедливо компенсировали своим держателям риск дефолта.

При этом мы сфокусируемся на практических аспектах: подробно исследуем концепции, которые наиболее важны для инвестиционных исследований и практики.

Одной из таких концепций является независимость событий, поскольку она связана с предсказуемостью доходов и финансовых показателей. Другая - ожидание, так как аналитики постоянно смотрят в будущее в своих анализах и решениях.

Аналитики и инвесторы также должны справляться с изменчивостью. Здесь мы рассмотрим дисперсию или изменчивость ожиданий как концепцию риска, важную для инвестиций.

В этом разделе рассматриваются:

Формула Байеса - это процедура обновления (корректировки) убеждений на основе новой информации. В нескольких областях, включая широко используемую биномиальную модель ценообразования опционов, расчет вероятностей включает в себя определение и подсчет результатов.

Что такое вероятность события?

Вероятностные концепции и инструменты, необходимые для большей части работы финансового аналитика, относительно немногочисленны и просты, но требуют обдуманного применения.

В этом разделе представлены основы работы с вероятностью, ожиданиемым значением и дисперсией, - на примерах анализа рынка капитала и инструментов с фиксированным доходом.

Внимание инвестора сфокусировано на доходности. Доходность рискованного актива является примером случайной величины (англ. 'random variable'), то есть величины, результаты (возможные значения) которой являются неопределенными.

Например, портфель может иметь целевую доходность 10% годовых. На данный момент портфельный менеджер может сосредоточиться на вероятности получения прибыли, которая в следующем году составит менее 10%.

10 процентов - это конкретное значение или результат случайной величины «доходность портфеля». Хотя мы можем быть обеспокоены одним результатом, часто наш интерес может быть связан с рядом результатов: понятие «событие» охватывает оба варианта.

Определение события.

Событие (англ. 'event') - это определенный набор результатов или исходов (англ. 'outcomes').

Мы можем определить событие как единый результат - например, портфель приносит доход 10% (курсивом выделено определение события).

Мы также можем отразить озабоченность менеджера портфеля, определив событие следующим образом: портфель приносит доход ниже 10%.

Это второе событие, относящееся ко всем возможным доходам, которые \( \geq \) -100% (наихудший возможный доход), но \(<\) 10%, включающее бесконечное количество результатов.

Определенное событие обычно выделяется в тексте заглавной буквой и курсивом. Мы могли бы определить событие \(A\) = портфель с доходностью 10% и событие \(B\) = портфель с доходностью ниже 10%.

Насколько вероятно, что портфель получит доход ниже 10%?

Ответ на этот вопрос - вероятность (англ. 'probability'): число от 0 до 1, которое измеряет вероятность того, что указанное событие произойдет. Если вероятность того, что портфель принесет доход ниже 10% составляет 0.40, это означает, что вероятность этого события составляет 40%.

  • Если событие невозможно, оно имеет вероятность 0.
  • Если событие обязательно произойдет, оно имеет вероятность 1.
  • Если событие невозможно или произойдет в любом случае, оно вовсе не случайно.
  • Диапазон от 0 до 1 включает все возможные значения вероятности.

Вероятность имеет два свойства, которые вместе составляют ее определение.

Определение вероятности.

Два определяющих свойства вероятности таковы:

  1. Вероятность любого события \(E\) представляет собой число от 0 до 1:
    \( 0 \leq P(E) \leq 1\).
  2. Сумма вероятностей любого набора взаимоисключающих и исчерпывающих событий равна 1.

\(P\) с последующими круглыми скобками означает «вероятность (событие в скобках)», то есть \(P(E)\) - это «вероятность события \(E\)». Мы также можем думать о P как о правиле или функции, которая присваивает числовые значения событиям, соответствующим указанным выше свойствам 1 и 2.

В приведенном выше определении термин взаимоисключающий (англ. 'mutually exclusive') означает, что одновременно может происходить только одно событие; термин исчерпывающий (англ. 'exhaustive') означает, что события охватывают все возможные результаты.

События \(A\) = портфель с доходностью 10% и \(B\) = портфель с доходностью ниже 10% являются взаимоисключающими, поскольку \(A\) и \(B\) не могут происходить одновременно.

Например, доходность 8.1% означает, что событие \(B\) произошло, а событие \(A\) не произошло. Хотя события \(A\) и \(B\) являются взаимоисключающими, они не являются исчерпывающими, поскольку они не охватывают такие результаты, как доходность в 11%.

Предположим, мы определили третье событие: \(C\) = портфель приносит доход выше 10%.

Очевидно, что \(A\), \(B\) и \(C\) являются взаимоисключающими и исчерпывающими событиями. Каждое из событий \(P(A)\), \(P(B)\) и \(P(C)\) является числом от 0 до 1, и

\(P(A) + P(B) + P(C) = 1\)

Самым основным видом взаимоисключающих и исчерпывающих событий является набор всех различных возможных результатов случайной величины. Если мы знаем и этот набор, и распределение вероятностей для этих результатов (распределение вероятностей случайной величины) - у нас есть полное описание случайной величины, и мы можем назначить вероятность любому событию, которое мы можем описать.

В чтении об общих распределениях вероятностей мы опишем некоторые из распределений вероятностей, наиболее часто используемых в инвестиционной практике.

Вероятность любого события - это сумма вероятностей различных результатов, включенных в определение события.

Предположим, что интересующим событием является D = портфель приносит доход выше безрисковой ставки, и мы знаем распределение вероятностей доходности портфеля.

Предположим, безрисковая ставка составляет 4%. Чтобы вычислить P(D), т.е. вероятность события D, мы суммируем вероятности результатов, которые удовлетворяют определению события; то есть мы суммируем вероятности доходности портфеля более 4%.

Ранее, чтобы проиллюстрировать концепцию, мы предполагали вероятность 0.40 для портфеля с доходностью менее 10%, без обоснования конкретного предположения. Мы также говорили об использовании распределения вероятностей результатов для вычисления вероятности событий, не объясняя, как можно получить распределение вероятностей.

Принятие фактических финансовых решений с использованием неточных вероятностей может иметь серьезные последствия.

Как на практике мы оцениваем вероятность события?

Эта тема сама по себе является предметом изучения, но существует 3 основных подхода к оценке вероятностей.

1. В инвестициях мы часто оцениваем вероятность события как относительную частоту его возникновения, основываясь на исторических данных. Этот метод позволяет найти эмпирическую вероятность (англ. 'empirical probability').

Например, Thanatawee (2013) сообщает, что в его выборке из 1927 ежегодных наблюдений за нефинансовыми фирмами SET (Фондовая биржа Таиланда) в период с 2002 по 2010 год 1382 были фирмами, выплачивающими дивиденды, и 545 были компаниями, не выплачивающими дивиденды. Таким образом, эмпирическая вероятность того, что тайская фирма выплатит дивиденды, составляет приблизительно 1 382/1 927 = 0,72.

2. Результаты должны стабильно прослеживаться с течением времени, чтобы эмпирические вероятности были точными. Мы не можем рассчитать эмпирическую вероятность события, отсутствующего в исторической записи, или достоверную эмпирическую вероятность очень редкого события.

Таким образом, существуют случаи, когда мы можем скорректировать эмпирическую вероятность, чтобы учесть восприятие меняющихся результатов.

3. В других случаях у нас вообще нет возможности использовать эмпирическую вероятность. Поэтому мы также можем сделать личную оценку вероятности без ссылки на какие-либо конкретные данные.

Каждый из этих трех типов вероятности является субъективной вероятностью (англ. 'subjective probability'), основанной на личном или субъективном суждении.

Субъективные вероятности имеют большое значение в инвестициях. Инвесторы, принимая решения о покупке и продаже, которые определяют цены активов, часто опираются на субъективные вероятности.

Субъективные вероятности появляются в разных местах в этом чтении, особенно в обсуждении формулы Байеса.

В более узком диапазоне четко определенных проблем мы иногда можем вывести вероятности, рассуждая о проблеме. Результирующая вероятность - это априорная вероятность (англ. 'a priori probability'), основанная на логическом анализе, а не на наблюдении или личном суждении.

Мы будем использовать этот тип вероятности в приведенном далее, в Примере (6).

Методы подсчета, которые мы обсудим позже, особенно важны при вычислении априорной вероятности.

Поскольку априорные и эмпирические вероятности обычно не зависят от конкретного человека, они часто группируются как объективные вероятности.