Большой интерес для инвестиционных аналитиков представляют концепции независимости и зависимости событий.

Эти концепции касаются основных инвестиционных вопросов, связанных с тем, какие финансовые показатели полезны для инвестиционного анализа, можно ли прогнозировать доходность активов и можно ли выбирать лучших управляющих инвестициями на основе их прошлых результатов.

Два события являются независимыми, если возникновение одного события не влияет на вероятность возникновения другого события.

Определение независимых событий.

Два события \( A \) и \( B \) являются независимыми (англ. 'independent events'), только в том случае, если \( P(A|B) = P(A) \) или, что то же самое, если \( P(B|A) = P(B) \).

Если два события не являются независимыми, они зависимы (англ. 'dependent events'): вероятность возникновения одного связана с возникновением другого.

Если мы пытаемся прогнозировать одно событие, информация о зависимом событии может быть полезной, но информация о независимом событии будет бесполезна.

Когда два события независимы, правило умножения для вероятностей, представленное Формулой 2, упрощается, потому что тогда \( P(A|B) \) в этом уравнении равно \( P(A) \).

Правило умножения для независимых событий.

Когда два события независимы, совместная вероятность событий \( A \) и \( B \) равна произведению отдельных вероятностей событий \( A \) и \( B \).

\( \large P(AB) = P(A)P(B) \) (Формула 4)

Поэтому, если нас интересуют два независимых события с вероятностями 0.75 и 0.50 соответственно, вероятность того, что оба события произойдут, равна 0.375 = 0.75(0.50).

Правило умножения для независимых событий обобщается до более чем двух событий; например, если события \(A\), \(B\) и \(C\) являются независимыми событиями, то:

\( P(ABC) = P(A)P(B)P(C) \)

Пример (4). Прибыль на акцию BankCorp.

В качестве аналитика банковской отрасли вы создаете модели для прогнозирования прибыли на акцию (EPS) банков отрасли. Сегодня вы изучаете BankCorp.

Исторические данные показывают, что в 55% последних кварталов EPS BankCorp увеличивалась последовательно, а в 45% кварталов EPS снижалась или оставалась неизменной последовательно.

Последовательные сравнения (англ. 'sequential comparison') квартальных EPS - это сравнение EPS данного квартала с непосредственным предыдущим кварталом. Последовательное сравнение отличается от сравнения с тем же кварталом год назад (еще один частый тип сравнения).

На этом этапе вашего анализа вы предполагаете, что изменения в последовательных EPS независимы.

Прибыль на акцию за 2 квартал 2014 года была выше прибыли на акцию за 1 квартал 2014 года.

  1. Какова вероятность того, что EPS 3-го квартала будет больше EPS 2-го квартала (положительное изменение в последовательных EPS)?
  2. Какова вероятность того, что EPS уменьшится или останется неизменным в следующие 2 квартала?

Решение для части 1:

Исходя из предположения о независимости событий, вероятность того, что EPS за 3 квартал будет больше, чем EPS за 2 квартал, является безусловной вероятностью положительных изменений, равной 0.55.

Тот факт, что EPS за 2 квартал была больше, чем EPS за 1 квартал, не является полезной информацией, поскольку следующее изменение в EPS не зависит от предыдущих изменений.

Решение для части 2:

Вероятность составляет 0.2025 = 0.45(0.45).

В следующем примере показано, насколько сложно соблюсти набор независимых критериев, даже если каждый критерий сам по себе необязательно является строгим.

Пример (5) отбора акций для инвестиций.

Вы разработали схему отбора акций (англ. 'stock screen') - набор критериев для выбора акций.

Ваше инвестиционное поле (набор ценных бумаг, из которых вы делаете свой выбор, англ. 'investment universe') - это Russell 1000 Index, индекс 1000 акций американских компаний с большой капитализацией.

Ваши критерии отражают различные аспекты проблемы выбора. Вы считаете, что критерии независимы друг от друга, при близком приближении.

Критерий

Фракция индекса Russell 1000,
соответствующая критерию

Первый критерий оценки

0.50

Второй критерий оценки

0.50

Критерий охвата аналитика

0.25

Критерий рентабельности компании

0.55

Критерий финансовой устойчивости компании

0.67

Сколько акций, по вашим ожиданиям, пройдут отбор?

Только 23 акции из 1000 соответствуют набору критериев.

Если вы определяете 5 перечисленных в таблице событий (скажем, события  \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) соответственно), - тогда вероятность того, что акция будет соответствовать всем пяти критериям независимо, равна:

\( \begin{aligned}
P(ABCDE) &= P(A)P(B)P(C)P(D)P(E) \\
&= (0.50)(0.50)(0.25)(0.55)(0.67) = 0.023031
\end{aligned} \)

Хотя только один из пяти критериев является хотя бы умеренно строгим (самый строгий пропускает 25% акций), вероятность того, что акция может пройти все 5, составляет всего 0.023031, или около 2%.

Размер перечня возможных инвестиций составляет:

0.023031(1,000) = 23.031, или 23 акции.

Область, представляющая большой интерес для управляющих инвестициями и их клиентов, заключается в том, полезны ли записи о прошлых результатах в выявлении постоянных выигрышных и проигрышных управляющих.

В следующем примере показано, как эта проблема связана с концепцией независимости событий.

Пример (6). Условные вероятности и предсказуемость результатов взаимного фонда.

Цель исследования Vidal-Garcia (2013), представленного в Примере (2), состояла в том, чтобы решить вопрос о постоянных выигрышных и проигрышных инвестиционных фондах.

Если статус фонда как выигрышного или проигрышного в течение одного года не зависит от того, будет ли он выигрышным в следующем году, практическая ценность такого рейтинга эффективности сомнительна.

Используя четыре события, определенные в Примере 2, в качестве базовых блоков, мы можем определить следующие события для решения проблемы предсказуемости работы взаимных фондов:

  • Фонд - выигрышный в 1-м году И фонд - выигрышный во 2-м году.
  • Фонд - выигрышный в 1-м году И фонд - проигрышный во 2-м году.
  • Фонд - проигрышный в 1-м году И фонд - выигрышный во 2-м году.
  • Фонд - проигрышный в 1-м году И фонд - проигрышный во 2-м году.

В части 4 примера 2 вы рассчитали, что:

P(Фонд - проигрышный во 2 году И Фонд - проигрышный в 1 году) = 0.423.

Если рейтинг в одном году не зависит от рейтинга в следующем году, какое значение вероятности события P(Фонд - проигрышный во 2 году И Фонд - проигрышный в 1 году) вы ожидаете?

Интерпретируйте эмпирическую вероятность 0,423.

По правилу умножения для независимых событий,

P(Фонд - проигрышный во 2 году И Фонд - проигрышный в 1 году) = P (Фонд - проигрышный во 2 году) P (Фонд - проигрышный в 1 году).

Поскольку 50% фондов классифицируются как проигрышные в каждом году, безусловная вероятность того, что фонд будет отмечен как проигрышный в любом году, составляет 0.50.

Таким образом,

P (Фонд - проигрышный во 2 году) P (Фонд - проигрышный в 1 году) = 0.50(0.50) = 0.25.

Если статус фонда как проигрышного в течение одного года не зависит от того, является ли он проигрышным в предыдущем году, мы заключаем, что

P(Фонд - проигрышный во 2 году И Фонд - проигрышный в 1 году) = 0,25.

Это априорная вероятность, потому что она вытекает из рассуждений о проблеме.

Вы также можете обосновать, что 4 события, описанные выше, определяют категории и что если фонды случайным образом распределить по четырем категориям, существует вероятность, равная 1/4 на то, что фонд окажется проигрышным в 1 году и во 2 году.

Если бы классификации в 1-м и 2-м годах были зависимыми, распределение фондов по категориям не было бы случайным. Эмпирическая вероятность 0.423 выше 0,25.

Является ли эта очевидная предсказуемость результатом случайности?

Тест, проведенный Vidal-Garcia, показал, что вероятность наблюдения представленных данных, если бы рейтинги 1-го и 2-го года были независимыми, составляла менее 1%.