Когда инвесторы покупают акции, они платят котируемую цену. Для облигаций, однако, возможна разница между котируемой и выплаченной ценой. Здесь мы объясняем, почему возникает эта разница и как рассчитывать котируемую цену и цену, которую заплатит инвестор.

Во временной промежуток между датами выплаты купона, цена облигации имеет две части:

  • фиксированная или твердая цена \({\rm PV^{Flat}}\) (flat price) и
  • начисленные проценты AI (accrued interest).

Сумма этих составляющих - полная цена \({\rm PV^{Flat}}\) (full price), которую также называют фактурной ценой (англ. 'invoice price') или «грязной» ценой (англ. 'dirty price').

Фиксированную цену, которая является полной ценой за вычетом начисленных процентов, также называют котируемой или «чистой» ценой (англ. 'clean price').

\( \large \dst \PV^{\rm Full} = \PV^{\rm Flat} + {\rm AI} \) (Формула 3)

Фиксированная цена обычно устанавливается дилерами облигаций. Если сделка происходит, начисленные проценты добавляются к фиксированной цене и эта сумма образует полную цену, выплаченную покупателем и полученную продавцом в дату урегулирования сделки.

Дата урегулирования (англ. 'settlement date') - это дата, в которую покупатель облигаций выплачивает денежные средства, а продавец передает ценную бумагу.

Причина использования фиксированной цены для котировки состоит в том, чтобы не вводить в заблуждение инвесторов о тенденциях рыночной цены для облигации.

Если бы дилеры ценных бумаг указывали полную цену, инвесторы видели бы рост цены за день, даже если доходность к погашению изменилась. Это связано с тем, что сумма начисленных процентов увеличивается каждый день. Затем, после выплаты купона, котируемая цена резко падает.

Использование фиксированной цены для котировки помогает избежать этого искажения. Эта фиксированная цена, которая «стремится к номиналу», показана в Иллюстрации 3.

Начисленные проценты - это пропорциональная доля следующего купона. Предположим, что период выплаты купона составляет «T», и с момента последнего платежа прошло «t» дней. Начисленные проценты рассчитываются с использованием Формулы 4:

\( \large \dst {\rm AI} = {t \over T} \times {\rm PMT} \) (Формула 4)

где

  • \(t\) = количество дней с момента последней выплаты купона до даты урегулирования
  • \(T\) = количество дней в периоде выплаты купона
  • \(t/T\) = доля периода выплаты купона, с момента последней выплаты
  • \({\rm PMT}\) = купонный платеж за период

Обратите внимание, что процентная часть полной цены не зависит от доходности к погашению. Следовательно, на изменение рыночной ставки дисконтирования влияет фиксированная цена.

На рынках облигаций используются различные соглашения для подсчета дней. Два наиболее распространенных соглашения о подсчете дней - это

  • фактические/фактические дни и
  • 30/360 дней.

В методе фактические/фактические дни используется фактическое количество дней, в том числе выходные и праздничные дни. Например, облигация с полугодовым купоном выплачивает проценты 15 мая и 15 ноября каждого года.

При расчете начисленных процентов на 27 июня, фактическое количество дней с 15 мая по 27 июня (t = 43 дня) делится на фактическое количество дней с 15 мая по 15 ноября (t = 184 дня), и умножается на сумму купона. Если заявленная купонная ставка равна 4.375%, начисленные проценты составляют 0.511209 на 100 д.е. номинальной стоимости.

\( \dst {\rm AI} = {43 \over 184} \times {4.375 \over 2} = 0.511209 \)

Соглашения о подсчете дней отличаются на разных рынках. Тем не менее, соглашение фактические/фактические дни является наиболее распространенными для государственных облигаций.

Соглашение 30/360 дней часто используется в корпоративных облигациях. Предполагается, что каждый месяц включает 30 дней, а полный год - 360 дней. Следовательно, при этом подходе предполагается, что промежуток с 15 по 27 июня включает 42 дня:

  • 15 дней - с 15 мая по 30 мая и
  • 27 дней - с 1 июня по 27 июня.

Предполагается, что 6-месячный период с 15 мая по 15 ноября включает 180 дней. Начисленные проценты по корпоративной 4.375% облигации с полугодовым купоном составляют 0.510417 на 100 д.е. номинальной стоимости.

\( \dst {\rm AI} = {42 \over 180} \times {4.375 \over 2} = 0.510417 \)

Полную цену облигации с фиксированной ставкой на момент между купонными платежами, с учетом рыночной ставки дисконтирования за период (\(r\)), можно рассчитать с помощью Формулы 5:

\( \PV^{Full} = \dst {{\rm PMT} \over (1+r)^{1-t/T}} + {{\rm PMT} \over (1+r)^{2-t/T}} + \ldots + {{\rm PMT} + \FV \over (1+r)^{N-t/T}} \) (Формула 5)

Она очень похожа на Формулу 1. Разница в том, что следующий купонный платеж (PMT) дисконтируется на оставшуюся часть периода выплаты купона, который составляет \(1 - t/T\). Второй купонный платеж дисконтируется на эту оставшуюся часть плюс еще один полный период, \(2 - t/T\).

Формулу 5 можно упростить путем умножения числителя и знаменателя на выражение:

\( (1+r)^{t/T} \)

Результатом будет Формула 6:

\( \begin{aligned}
\PV^{Full} &= \dst \left[ {{\rm PMT} \over (1+r)^1} + {{\rm PMT} \over (1+r)^2} + \ldots + {{\rm PMT} + \FV \over (1+r)^N} \right] \times (1+r)^{t/T} \\[1ex]
&= \PV \times (1+r)^{t/T} \end{aligned} \) (Формула 6)

Преимущество Формулы 6 заключается в том, что выражение PV, заключенное в скобки, можно легко вычислить с использованием функций временной стоимости денег финансового калькулятора и Excel, поскольку в нем есть \(N\) равномерно распределенных периодов. PV здесь идентична Формуле 1 и не совпадает с \( \PV^{Flat}\).

Например, рассмотрим 5% государственную облигацию с полугодовым купоном, со сроком погашения 15 февраля 2028 года. В этой облигации при начислении процентов используется соглашение фактические/фактические дни для подсчета дней.

Купонные платежи производятся 15 февраля и 15 августа каждого года. Облигацию необходимо оценить на дату урегулирования 14 мая 2019 года. Эта дата наступает на 88 день 181-дневного периода между датами купонных платежей.

Временной промежуток с даты последнего купона (15 февраля) по 14 мая составляет 88 дней и 181 день с 15 февраля по дату следующего купона (15 августа). Заявленная годовая доходность к погашению составляет 4.80%. Это соответствует рыночной ставке дисконтирования 2.40% за полугодовой период.

Временной промежуток с даты начала периода выплаты купона 15 февраля 2019 года по дату погашения включает 18 равномерно распределенных полугодовых периодов.

Первым шагом расчета является вычисление PV с помощью Формулы 1, при PMT = 2.5, \(n\) = 18, FV = 100 и \(r\) = 0.0240.

\( \dst
\PV = {2.5 \over 1.0240^1} + {2.5 \over 1.0240^2} + \ldots
+ {102.5 \over 1.0240^{18}} = 101.447790 \)

Цена облигации составит 101.447790 на 100 д.е. номинальной стоимости, если ее доходность к погашению составляет 2.40% за период на дату последнего купонного платежа.

Это не фактическая цена облигации на эту дату. Это «условная» цена, использующая требуемую доходность, которая соответствует дате урегулирования 14 мая 2019 года.

Формулу 6 можно использовать для расчета полной цены облигации.

\( \PV^{Full} = 101.447790 \times 1.0240^{88/181} = 102.624323 \)

Полная цена составляет 102.624323 на 100 д.е. номинальной стоимости. Начисленные проценты составляют 1.215470 на 100 д.е. номинальной стоимости.

\( \dst {\rm AI} = {88 \over 181} \times 2.5 = 1.215470 \)

Фиксированная цена составляет 101.408853 на 100 д.е. номинальной стоимости.

\( \PV^{Flat} = \PV^{Full} - {\rm AI} = 102.624323 - 1.215470 = 101.408853 \)

В программе Excel фиксированную цену облигации можно рассчитать, используя финансовую функцию ЦЕНА (PRICE):

ЦЕНА(ДАТА(2019,5,14),ДАТА(2028,2,15),0.05,0.048,100,2,1)

Входными данными являются дата урегулирования, дата погашения, годовая ставка купонная ставка (выраженная как десятичное число), годовая доходность к погашению (выраженная как десятичное число), номинальная стоимость, количество периодов в году и код подсчета дней (0 - для соглашения 30/360 дней, 1 - для соглашения фактические/фактические дни).

Пример (5) расчета полной цены, начисленных процентов и фиксированной цены облигации.

Немецкая корпоративная 6% облигация оценивается на дату урегулирования 18 июня 2019 года. Облигация выплачивает полугодовой купон 19 марта и 19 сентября каждого года. Срок погашения наступает 19 сентября 2030 года.

Корпоративная облигация использует соглашение 30/360 дней для начисления процентов. Рассчитайте полную цену, начисленные проценты и фиксированную цену на €100 номинальной стоимости для трех заявленных годовых ставок доходности к погашению:

  • (A) 5.80%,
  • (B) 6.00% и
  • (C) 6.20%.

Решение:

С учетом соглашения 30/360 дней, временной промежуток между последним купоном 19 марта 2015 года и датой урегулирования 18 июня 2015 года составляет 89 дней (11 дней с 19 марта по 30 марта плюс 60 дней за полные апрель и май, плюс 18 дней в июне).

Следовательно, прошедшая часть периода выплаты купона составляет 89/180. На начало периода срок до погашения составляет 11.5 лет (или 23 полугодовых периода).

(A) Заявленная годовая доходность к погашению составляет 5.80%, или 2.90% за полугодовой период:

На начало периода цена составляет 101.661589 на 100 д.е. номинальной стоимости.

\( \dst \PV = {3 \over 1.0290^1} + {3 \over 1.0290^2} + \ldots + {103 \over 1.0290^{23}} = 101.661589 \)

Полная цена на 18 июня составляет €103.108770.

\( \PV^{Full} = 101.661589 \times 1.0290^{89/180} = 103.108770 \)

Начисленные проценты составляют €1.483333, а фиксированная цена - €101.625437.

\( \dst {\rm AI} = {89 \over 180} \times 3 = 1.4833333 \)

\( \PV^{Flat} = 103.108770 - 1.483333 = 101.625437 \)

(B) Заявленная годовая доходность к погашению составляет 6.00%, или 3.00% за полугодовой период:

На начало периода цена равна номинальной стоимости, как и ожидалось, потому что купонная ставка и рыночная ставка дисконтирования равны.

\( \dst \PV = {3 \over 1.0300^1} + {3 \over 1.0300^2} + \ldots + {103 \over 1.0300^{23}} = 100.000000 \)

Полная цена на 18 июня составляет €101.472251.

\( \PV^{Full} = 100.000000 \times 1.0300^{89/180} = 101.472251 \)

Начисленные проценты составляют €1.483333, а фиксированная цена - €99.988918.

\( \dst {\rm AI} = {89 \over 180} \times 3 = 1.4833333 \)

\( \PV^{Flat} = 101.472251 - 1.483333 = 99.988918 \)

Фиксированная цена облигации немного ниже номинальной стоимости, даже если ставка купона и доходность к погашению равны, поскольку начисленные проценты не учитывают временную стоимость денег.

Начисленные проценты - это проценты, полученные владельцем облигации за время между последней выплатой купона и датой урегулирования: 1.483333 на 100 д.е. номинальной стоимости. Однако этот процентный доход не будет получен до следующей даты выплаты купона.

Теоретически, начисленные проценты должны быть равны приведенной стоимости 1.483333. На практике, однако, бухгалтерский учет и финансовая отчетность должны учитывать факторы практичности и существенности. По этим причинам на практике расчет начисленных процентов пренебрегает временной стоимостью денег.

Следовательно, по сравнению с теорией, представляемые в отчетности проценты немного выше, а фиксированная цена немного ниже. Однако полная цена верна, потому что она равна сумме приведенной стоимости будущих денежных потоков, дисконтированных с использованием рыночной ставки дисконтирования.

(С) Заявленная годовая доходность к погашению составляет 6.20%, или 3.10% за полугодовой период:

На начало периода цена составляет 98.372607 на 100 д.е. номинальной стоимости.

\( \dst \PV = {3 \over 1.0310^1} + {3 \over 1.0310^2} + \ldots + {103 \over 1.0310^{23}} = 98.372607 \)

Полная цена на 18 июня составляет €99.868805.

\( \PV^{Full} = 98.372607 \times 1.0310^{89/180} = 99.868805 \)

Начисленные проценты составляют €1.483333, а фиксированная цена - €98.385472.

\( \dst {\rm AI} = {89 \over 180} \times 3 = 1.4833333 \)

\( \PV^{Flat} = 99.868805 - 1.483333 = 98.385472 \)

Начисленные проценты одинаковы в каждом случае, потому что они не зависят от доходности к погашению. Различия в фиксированных ценах указывают на различия в норме прибыли, которая требуется инвесторам.