CFA - Проверка гипотез о коэффициентах линейной регрессии: уровень значимости и p-значения

Выбор уровня значимости при проверке статистических гипотез всегда является вопросом суждения.

Аналитики часто выбирают уровень значимости 0.05, который указывает на 5% вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она, на самом деле, является истинной (ошибка I рода или ложноположительное заключение).

Конечно, снижение уровня значимости с 0.05 до 0.01 уменьшает вероятность ошибки I рода, но также увеличивает вероятность ошибки II рода - ошибочного отказа от отклонения нулевой гипотезы, когда, на самом деле, она ложна (то есть ложноотрицательное заключение).

P-значение является наименьшим уровнем значимости, при котором может быть отвергнута нулевая гипотеза. Чем меньше p-значение, тем меньше вероятность совершить ошибку I рода (то есть отклонить истинную нулевую гипотезу), поэтому тем больше вероятность того, что модель регрессии корректна.

Например, если p-значение равно 0.005, мы отклоняем нулевую гипотезу о том, что истинный параметр равен нулю на уровне значимости 0.5% (99.5% уверенность).

В большинстве программных пакетов p-значения, предусмотренные для расчета коэффициентов регрессии, предназначены для проверки нулевой гипотезы о том, что истинный параметр равен нулю в противоположность альтернативной гипотезе о том, что параметр не равен нулю.

В нашем примере регрессии ROA t-статистика, рассчитанная для проверки того, равен ли коэффициент наклона нулю, составляет 4.00131. P-значение, соответствующее этому статистическому критерию, составляет 0,008. Это означает, что есть только 0.8% вероятность отклонения нулевых гипотез, когда они истинны.

Сравнение этого p-значения с уровнем значимости 5% (и критическими значениями ±2.776) приводит нас к простому выводу об отклонении нулевой гипотезы $H_0:b_1=0$.

Как мы определяем p-значения?

Поскольку это область в распределении за пределами рассчитанного статистического критерия, нам нужно прибегнуть к программным инструментам.

Для p-значения, соответствующего $t=4.00131$ из примера регрессии ROA, мы могли бы использовать следующее:

Пример 6. Проверка гипотез о результатах простой линейной регрессии.

Аналитик заинтересован в интерпретации результатов и выполнении проверки гипотез для оценки рыночной модели, которая регрессирует ежедневную доходность акций компании ABC по ежедневной доходности фиктивного индекса акций европейского, азиатского и африканского рынков (EAA).

Полученные результаты регрессии представлены в Иллюстрации 30.

Иллюстрация 30. Выдержка из результатов оценки рыночной модели для акций ABC.

Решения:

1. Во-первых, мы рассчитываем изменение независимой переменной, используя стандартное отклонение независимой переменной:

${\displaystyle \sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2={\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}{n-1}\times (n-1)}}$

Поэтому,

${\displaystyle \sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2={0.70}^2\times 1.199=587.51}$

Далее, стандартная ошибка оценочного коэффициента наклона составляет:

$s_{{\hat{b}}_1}={\displaystyle \frac{s_e}{\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}}}={\displaystyle \frac{1.26}{\sqrt{587.51}}=0.051983}}$,

а статистический критерий равен:

$t={\displaystyle \frac{{\hat{b}}_1-B_1}{s_{{\hat{b}}_1}}=\frac{0.982-0}{0.051983}=18.89079}$

Рассчитанный статистический критерий находится за пределами ±1.96, поэтому мы отклоняем нулевую гипотезу о коэффициенте наклона, равном нулю.

2. Рассчитанный статистический критерий для проверки того, равен ли коэффициент наклона 1.0, составляет:

$t={\displaystyle \frac{0.982-1}{0.051983}=-0.3463}$.

Рассчитанный статистический критерий находится в пределах ±1.96, поэтому мы не можем отклонить нулевую гипотезу о коэффициенте наклона, равном 1.0, что свидетельствует о том, что наклон истинной совокупности может быть равен 1.0.