CFA - Прогнозирование с использованием простой линейной регрессии

Финансовым аналитикам часто приходится использовать результаты регрессии, чтобы делать прогнозы о зависимой переменной.

Например, мы можем задаться вопросом: «Как быстро будут расти продажи корпорации XYZ в этом году, если реальный ВВП вырастет на 4%?»

Но мы не просто заинтересованы в получении таких прогнозов; мы также хотим знать, насколько мы можем быть уверены в результатах прогнозов.

Прогнозируемое значение зависимой переменной ${\hat{Y}}_f$  определяется с использованием оценочных значений точки пересечения (константы) и наклона, а также ожидаемого или прогнозируемого значения независимой переменной $X_f$:

${\displaystyle {\hat{Y}}_f={\hat{b}}_0+{\hat{b}}_1{X}_f}$ (18)

В нашей модели регрессии ROA (рентабельность активов) если мы прогнозируем, что CAPEX компании составляет 6%, то прогнозируемая ROA в соответствии с Формулой 18 составит 12.375%:

${\displaystyle {\hat{Y}}_f=4.815+(1.25\times 6)=12.375}$

Тем не менее, мы должны учитывать, что оценочная линия регрессии не описывает взаимосвязь между зависимыми и независимыми переменными; это среднее значение взаимосвязи между двумя переменными. Это очевидно, потому что не все остатки равны нулю.

Следовательно, для отражения этой неопределенности необходима интервальная оценка прогноза. Расчетная дисперсия ошибки прогнозирования $s_f^2$ переменной $Y$ при независимой переменной $X$ равна:

$\begin{array}{rl}{s}_f^2& ={\displaystyle s_e^2[1+{\displaystyle \frac{1}{n}+{\displaystyle \frac{(X_f-\bar{X}{)}^2}{(n-1)s_X^2}}}]}\\ & ={\displaystyle s_e^2[1+{\displaystyle \frac{1}{n}+{\displaystyle \frac{(X_f-\bar{X}{)}^2}{\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}}}]}\end{array}$,

а стандартная ошибка прогноза:

${\displaystyle s_f=s_e{\displaystyle \sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{n}+{\displaystyle \frac{(X_f-\bar{X}{)}^2}{\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}}}}}}$  (19)

Стандартная ошибка прогноза зависит от:

Из формулы для стандартной ошибки прогноза мы можем увидеть следующее:

1. Чем лучше подбор модели регрессии, тем меньше стандартная ошибка оценки ($s_e$) и, следовательно, тем меньше стандартная ошибка прогноза.
2. Чем больше размер выборки ($n$) в расчете регрессии, тем меньше стандартная ошибка прогноза.
3. Чем ближе прогнозируемая независимая переменная ($X_f$) к среднему значению независимой переменной ($\bar{X}$), используемой в расчете регрессии, тем меньше стандартная ошибка прогноза.

Когда мы получим эту оценку стандартной ошибки прогноза, нам необходимо определить интервал прогнозирования зависимой переменной ( ${\hat{Y}}_f$ ). Это очень похоже на оценку доверительного интервала параметра.

Интервал прогнозирования равен:

${\displaystyle {\hat{Y}}_f\pm t_{\text{ крит. для}\alpha /2^{S}f}}$  (20)

Мы описываем шаги для определения интервала прогнозирования в Иллюстрации 31.

Иллюстрация 31. Создание интервала прогнозирования зависимой переменной.

Учитывая, что прогнозируемое значение CAPEX составляет 6.0, прогнозируемое значение $Y$ для нашей регрессионной модели ROA составляет 12.375:

${\hat{Y}}_f=4.815+1.25X_f=4.875+(1.25\times 6.0)=12.375$.

Предполагая, что уровень значимости ($\alpha$) равен 5%, с $n-2$ степенями свободы (df = 4), критические значения для интервала прогнозирования составляют $\pm 2.776$.

Стандартная ошибка прогноза:

$\begin{array}{rl}{s}_f& =3.459588\sqrt{1+\frac{1}{6}+{\displaystyle \frac{(6-6.1{)}^2}{122.640}}}\\ & =3.459588\sqrt{1.166748}=3.736912\end{array}$.

Затем 95% интервал прогнозирования становится:

В нашем примере регрессии ROA мы можем увидеть, как изменяется стандартная ошибка прогноза ($s_f$), поскольку наше прогнозируемое значение независимой переменной становится дальше от среднего значения независимой переменной $(X_f-\bar{X})$ в Иллюстрации 32.

Среднее значение CAPEX равно 6.1%, и диапазон, который представляет одну стандартную ошибку прогноза, выше и ниже прогноза, сводится к минимуму в этой точке, и увеличивается, когда независимая переменная удаляется от $\bar{X}$.

Иллюстрация 32. Прогнозы ROA и стандартная ошибка прогноза.

Прогнозы ROA и стандартная ошибка прогноза.

Пример 7. Прогнозирование чистой рентабельности с использованием расходов на исследования и разработки.

Предположим, мы хотим прогнозировать рентабельность по чистой прибыли компании (NPM, net profit margin) на основе ее расходов на исследования и разработки, масштабируемые ее выручкой (RDR), используя модель из Примера 2 и данные, представленные в Иллюстрации 8.

Регрессионная модель рассчитана с использованием данных о восьми компаниях следующим образом:

${\hat{Y}}_f=16.5-1.3X_f$.

со стандартной ошибкой оценки ($s_e$) 1.8618987 и дисперсией RDR 4.285714, рассчитанной по формуле

${\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}{(n-1)}}$.

1. Каково прогнозируемое значение NPM, если прогнозируемое значение RDR составляет 5?
2. Какова стандартная ошибка прогноза ($s_f$), если прогнозируемое значение RDR составляет 5?
3. Каков 95% интервал прогнозирования для прогнозируемого значения NPM, при использовании критических t-значений (df = 6) $\pm$2.447?
4. Каково прогнозируемое значение NPM, если прогнозируемое значение RDR составляет 15?
5. Какова стандартная ошибка прогноза, если прогнозируемое значение RDR составляет 15?
6. Каков 95% интервал прогнозирования для прогнозируемого значения NPM, при использовании критических t-значений (df = 6) $\pm$2.447?

Решение.

1. Прогнозируемое значение NPM равно 10:

$16.5-(1.3\times 5)=10$.

2. Чтобы получить стандартную ошибку прогноза ($s_f$), мы сначала должны рассчитать дисперсию RDR. После этого у нас есть все значения для расчета $s_f$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=4.285714\times 7=30}$.

$s_f=1.8618987{\displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{8}+\frac{(5-7.5{)}^2}{30}}=2.1499}$.

3. 95% интервал прогнозирования для прогнозируемого значения NPM составит:

4. Прогнозируемое значение NPM равно -3:

$16.5-(1.3\times 15)=-3$.

5. Чтобы получить стандартную ошибку прогноза, мы сначала должны рассчитать изменение RDR. После этого мы можем рассчитать $s_f$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=4.285714\times 7=30}$.

$s_f=1.8618987{\displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{8}+\frac{(15-7.5{)}^2}{30}}=3.2249}$.

6. 95% интервал прогнозирования для прогнозируемого значения NPM составит: