Концепция взвешенного среднего или средневзвешенного значения (англ. 'weighted mean') неоднократно возникает в портфельном анализе. В среднем арифметическом значении все наблюдения одинаково взвешены с коэффициентом \(1/n\) (или \(1/N\)).

При работе с портфелями ценных бумаг нам нужна более общая концепция взвешенного среднего, позволяющая использовать разные веса для разных наблюдений.

Чтобы проиллюстрировать концепцию средневзвешенного значения, представим, что инвестиционный менеджер, управляющий капиталом в $100 млн. может вложить $70 млн. в акции и $30 млн. в облигации. Портфель имеет вес 0,70 по акциям и 0,30 по облигациям.

Как рассчитать доходность этого инвестиционного портфеля?

Доходность портфеля явно предполагает усреднение доходов от инвестиций в акции и облигации. Однако значение, которое мы вычисляем, должно отражать тот факт, что акции имеют 70-процентный вес в портфеле, а облигации имеют 30-процентный вес.

Чтобы отразить это взвешивание, нужно умножить доходность инвестиций в акции на 0,70 и доходность инвестиций в облигации на 0,30, а затем суммировать два результата. Эта сумма является примером взвешенного среднего.

Было бы неправильно принимать среднее арифметическое значение доходности инвестиций в акции и облигации, равнозначно взвешивая доходность этих двух классов активов.

Рассмотрим другой портфель, инвестированный в канадские акции и облигации.

Компонент акций портфеля включает в себя канадский индексный Фонд акций RBC, который отслеживает эффективность индекса доходности S&P / TSX.

Облигационный компонент портфеля включает Фонд облигаций RBC, который инвестирует в высококачественные ценные бумаги с фиксированной доходностью, выпущенные правительствами и корпорациями Канады. Менеджер портфеля размещает 60% портфеля в фонд акций и 40% в фонд облигаций.

В Таблице 13 представлена ​​общая доходность этих инвестиций с 2008 по 2012 год.

Таблица 13. Доходность канадских фондов акций и облигаций, 2008-2012 гг.

Год

Фонд
акций (%)

Фонд
облигаций (%)

2008

-33.1

-0.1

2009

34.1

11.0

2010

16.8

6.4

2011

-9.2

8.4

2012

6.4

3.8

Источник: funds.rbcgam.com.

Формула взвешенного среднего.

Средневзвешенное значение \(\overline X_w\) (читается «X-bar sub-w») для набора наблюдений \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) с соответствующими весами \( w_1, w_2, \ldots, w_n \) вычисляется как:

\(\large{ \overline{X}_w = \dsum_{i=1}^{n}w_i X_i} \) (Формула 4)

где

  • сумма весов равна 1; то есть \( \dsum_{i}w_i \)

В контексте инвестиционных портфелей положительный вес представляет актив, удерживаемый в течение длительного времени, и отрицательный вес представляет актив, удерживаемый на короткой позиции.

Формулу взвешенного среднего можно сравнить с формулой для среднего арифметического значения. Если для последовательности наблюдений \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) веса \( W_1, W_2, \ldots, W_n \) равны \(1/n\), то формула для взвешенного среднего будет:

\(\large{ (1/n) \dsum_{i=1}^{n}X_i  }\)

Это формула для среднего арифметического. Следовательно, среднее арифметическое является частным случаем взвешенного среднего, в котором все веса равны.

Доходность рассматриваемого портфеля представляет собой средневзвешенную доходность фонда акций и фонда облигаций (вес фонда акций равен 0,60, а вес фонда облигаций: 0,40).

Используя Формулу 4, мы находим, что:

Доходность портфеля за 2008 год =
= WакцийRакций + WоблигацийRоблигаций

= 0.60(-33.1) + 0.40(-0.1)

= -19.9%

Должно быть ясно, что правильное среднее значение для вычисления в этом примере - это взвешенное среднее, а не среднее арифметическое. Если бы мы вычислили среднее арифметическое значение за 2008 год, мы бы рассчитали доходность, равную:

½(-33.1%) + ½(-0.1%) = (-33.1% - 0.1%)/2 = -16.6%

Учитывая, что портфельный менеджер инвестировал 60% в акции и 40% в облигации, среднее арифметическое значение обесценило бы инвестиции в акции и переоценило бы вложения в облигации, в результате чего показатель доходности портфеля был бы выше на 3,3 процентных пункта:

(-16,6 % - (-19,9%) = -16,6% + 19,9%)

Теперь предположим, что портфельный менеджер поддерживает постоянные веса 60% в акциях и 40% в облигациях в течение всех 5-ти лет. Этот метод называется стратегией постоянных пропорций (англ. 'constant-proportions strategy').

Поскольку стоимость - это цена, умноженная на количество, колебание цены вызывает изменение веса портфеля. В результате стратегия постоянных пропорций требует перебалансировки, чтобы восстановить веса акций и облигаций до их целевых уровней.

Предполагая, что портфельный менеджер способен выполнить необходимую перебалансировку, мы можем рассчитать доходность портфеля в 2009, 2010, 2011 и 2012 годах с помощью формулы 4 следующим образом:

  • Доходность за 2009 год = 0.60(34.1) + 0.40(11.0) = 24.9%
  • Доходность за 2010 год = 0.60(16.8) + 0.40(6.4) = 12.6%
  • Доходность за 2011 год = 0.60(-9.2) + 0.40(8.4) = -2.2%
  • Доходность за 2012 год = 0.60(6.4) + 0.40(3.8) = 5.4%

Теперь мы можем найти среднее значение для временных рядов доходности за 2008–2012 годы, используя Формулу 3 для среднего арифметического. Средняя доходность инвестиционного портфеля составляет:

(-19.9 + 24.9 + 12.6 - 2.2 + 5.4)/5 = 20.8/5 = 4.2%

Вместо расчета средней доходности по временным рядам годовой доходности, мы можем рассчитать среднюю арифметическую доходность акций и облигаций за 5 лет, а затем применить к этим значениям соответствующие веса: 0,60 и 0,40.

Средняя доходность фонда акций:

(-33.1 + 34.1 + 16.8 - 9.2 + 6.4)/5 = 15.0/5 = 3.0%

Средняя доходность фонда облигаций:

(-0.1 + 11.0 + 6.4 + 8.4 + 3.8)/ 5 = 29.5/5 = 5.9%.

Таким образом, средняя общая доходность портфеля составляет:

0.60(3.0) + 0.40(5.9) = 4.2%

что согласуется с нашими предыдущими расчетами.

Пример расчета доходности инвестиционного портфеля как средневзвешенного значения.

В Таблице 14 представлена ​​информация о распределении активов пенсионного плана Канадской вещательной корпорации (CBC) в 2012 году, а также о доходах по этим классам активов в 2012 году.

В Таблице 14 стратегические инвестиции включают в себя инвестиции в недвижимость, частные инвестиции и инвестиции в хедж-фонды. Покрытие облигаций состоит из производных инструментов, используемых для хеджирования процентных ставок и изменений инфляции.

Таблица 14. Распределение активов пенсионного плана CBC в 2012 году.

Класс активов

Распределение активов (вес)

Доходность класса активов (%)

Денежные средства и краткосрочные инвестиции

3.8

1.3

Номинальные облигации

33.7

6.6

Облигации с рыночной доходностью

14.8

2.9

Канадские акции

10.4

8.8

Глобальные акции

21.4

13.3

Стратегические инвестиции

15.8

9.5

Покрытие облигаций

0.1

0.8

Источник: Canadian Broadcasting Corporation Pension Plan, 2012 Annual Report.

Используя информацию в Таблице 14, рассчитайте средний доход, полученный пенсионным планом в 2012 году.

Решение:

Преобразовав распределение активов в процентах в десятичную форму, мы находим среднюю доходность как средневзвешенную доходность по классам активов.

Средняя доходность портфеля =
= 0.038(1.3%) + 0.337(6.6%) + 0.148(2.9%)
+ 0.104(8.8%) + 0.214(13.3%) + 0.158(9.5%)
+ 0.001(0.8%)
= 0.049% + 2.224% + 0.429% + 0.915% + 2.846%
+ 1.501% + 0.001%
= 8.0%

Предыдущие примеры иллюстрируют общий принцип, согласно которому доходность инвестиционного портфеля является взвешенной величиной. В частности, доходность портфеля - это средневзвешенная доходность активов в портфеле. Вес, применяемый к доходности каждого актива, представляет собой долю инвестиций портфеля, вложенную в этот актив.

Рыночные индексы рассчитываются как средневзвешенные значения. Для индексов рыночной капитализации, таких как CAC-40 во Франции или TOPIX в Японии или S&P 500 в США, каждая включенная в индекс акция получает вес, соответствующий ее рыночной стоимости, деленной на общую рыночную стоимость всех акций индекса.

Наши иллюстрации взвешенного среднего значения используют прошлые данные, но они также могут использовать прогнозные данные. Когда мы берем средневзвешенное значение прогнозных данных, называется ожидаемым значением (англ. 'expected value').

(см. также: CFA - Ожидаемое значение, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины)

Предположим, что мы делаем один прогноз для уровня S&P 500 на конец года, предполагая экономический рост, и другой прогноз для уровня S&P 500 на конец года, предполагающий спад экономики.

Если мы умножим первый прогноз на вероятность экономического роста и второй прогноз на вероятность спада, а затем суммируем эти прогнозы, мы рассчитываем ожидаемое значение S&P 500 на конец года.

Если мы используем средневзвешенное значение возможной будущей доходности S&P  500, мы рассчитаем ожидаемую доходность S&P 500. Сумма вероятностей должна быть равна 1, что удовлетворяет условию о весах в уравнении для взвешенного среднего, приведенного в Формуле 4.

См. также:

CFA - Стоимость капитала (WACC).