Банки и финансовые организации обычно котируют ставки своих продуктов как заявленные годовые процентные ставки (англ. 'stated annual interest rate'). Эта ставка является суммой периодических ставок, по которым начисляются проценты в течение года.

Например, банк будет указывать своим клиентам проценты по вкладу с поквартальным начислением как 8% за год (т.е. 2% \(\times\) 4), а не как периодическую ставку 2% за квартал.

Ставка процента, которую инвесторы получат фактически, называется эффективной годовой процентной ставкой (EAR, от англ. 'effective annual rate').

EAR представляет собой годовую норму прибыли, фактически полученную после начисления всех процентов в промежуточные периоды.

Формулу EAR может представить следующим образом:

\(
\def\EAR{{\rm EAR}}
\dstL
\EAR = \left(1 + \stBfL{Периодическая}{процентная ставка} \right)^m - 1
\)

где

  • Периодическая процентная ставка (англ. 'periodic interest rate') = Заявленная годовая ставка / \(m\);
  • \(m\) = Количество периодов начисления за год.
Очевидно, что EAR для заявленной ставки в 8% при годовом начислении не совпадает с EAR для ставки 8% при полугодовом или ежеквартальном начислении.

Действительно, при использовании сложных процентов, заявленная годовая ставка и фактическая (эффективная) годовая процентная ставка равны только тогда, когда проценты начисляются ежегодно.

В противном случае, чем больше частота или периодичность начисления процентов (англ. 'compounding frequency'), тем сумма процентов по EAR будет больше суммы процентов по заявленной процентной ставке.

Расчет ставки EAR необходим при сравнении инвестиций с разными периодами начисления процентов.

Образно говоря, EAR позволяет сравнивать яблоки с грушами.

Пример расчета ставки EAR.

Необходимо вычислить EAR, если заявленная годовая ставка составляет 12%, с ежеквартальным начислением процентов.

Решение.

Здесь \(m\) = 4, поэтому периодическая ставка составляет 12/4 = 3%.

Таким образом,

\(\EAR = (1 + 0.03)^4 - 1 = 1.1255 - 1 = 0.1255 = 12.55\% \)

Для расчета этого выражения на финансовом калькуляторе используйте клавишу [yx].

Порядок нажатия клавиш на калькуляторе TI для вышеупомянутого вычисления будет: 1,03 [yx] 4 [=].

Пример вычисления ставки EAR с разной периодичностью начисления процентов.

Используя заявленную ставку 6%, вычислите EAR при полугодовом, ежеквартальном, ежемесячном и ежедневном начислении процентов.

Решение.

EAR при полугодовом начислении процентов =
(1 + 0.03)2 - 1 = 1.06090 - 1 = 0.06090 = 6.090%.

EAR при квартальном начислении процентов =
(1 + 0.015)4 - 1 = 1.06136 - 1 = 0.06136 =6.136%.

EAR при ежемесячном начислении процентов =
(1 + 0.005)12 - 1 = 1.06168 - 1 = 0.06168 = 6.168%.

EAR при ежедневном начислении процентов =
(1 + 0.00016438)365 - 1 = 1.06183 - 1 = 0.06183 = 6.183%.

Обратите внимание на то, что EAR увеличивается с увеличением периодичности начисления.

Примеры использования эффективной ставки процента в финансовых вычислениях с промежуточными периодами.

Когда промежуточные периоды отличаются от годовых, мы должны учитывать этот факт в наших расчетах. Рассмотрим следующие два примера.

Пример роста инвестиций с ежеквартальным начислением процентов.

Джон планирует инвестировать $2,500 на счет, который будет приносить 8% годовых с ежеквартальным начислением.

Сколько денег будет на счете через два года?

Решение.

В данном примере имеется 8 квартальных периодов начисления за 2 года, а эффективная ежеквартальная ставка EAR составляет:

8% / 4 = 2%

Рост суммы инвестиций составит:

$2,500 (1.02)8 = $2,929.15.

Можно сделать альтернативный расчет, рассчитав сначала годовую ставку EAR:

Годовая ставка EAR составляет:

1,024 - 1 = 0,082432

Теперь мы можем вычислить рост $2,500 по годовой эффективной ставке 8.2432% за два года:

2,500 (1.082432)2 = $2,929.15

что является тем же результатом.

Пример определения текущей стоимости инвестиций с ежемесячным начислением процентов.

Алиса хотела бы, чтобы ее банковский вклад на счете вырос до $5,000 за 3 года. Если заявленная доходность вклада составляет 9% годовых с ежемесячным начислением процентов, то какой должна быть сумма первоначального вклада, чтобы Алиса достигла своей финансовой цели через 3 года?

Решение.

Эффективная месячная ставка составляет:

9% / 12 = 0,75%

Первоначальная сумма вклада, обеспечивающая рост до $5,000 через 3 года (36 месяцев) составляет:

$5,000 / (1.0075)36 = $3,820.74

В качестве альтернативы можно сначала рассчитать годовую ставку EAR:

1.007512 - 1 = 0,093807

Теперь можно рассчитать первоначальную (т.е. текущую или приведенную) стоимость, дисконтируя $5,000 по годовой ставке EAR:

$5,000 / (1.093807)3 = $3,820.74

что дает тот же результат.