Определение текущей и будущей стоимости денежных потоков предполагает приведение денежных сумм к разным моментам времени на временной линии.

Эти операции приведения денежных потоков к разным моментам времени возможны, поскольку текущая стоимость (PV) и будущая стоимость (FV) являются эквивалентными денежными суммами, относящимися к общим временным периодам.

Таблица, представленная ниже, иллюстрирует эту эквивалентность (англ. 'present and future value equivalence'). Она содержит данные о пяти последовательных денежных потоках - их текущую стоимость при \(t = 0\) и их будущую стоимость при \(t = 5\).

Эквивалентность текущей и будущей стоимости

Период

Денежный поток ($)

Текущая стоимость
PV при t = 0

Будущая стоимость
FV при t = 5

1

1,000

$1,000(1.05)-1=

$952.38

$1,000(1.05)4

=$1,215.51

2

1,000

$1,000(1.05)-2=

$907.03

$1,000(1.05)3

=$1,157.63

3

1,000

$1,000(1.05)-3=

$863.84

$1,000(1.05)2

=$1,102.50

4

1,000

$1,000(1.05)-4=

$822.70

$1,000(1.05)1

=$1,050.00

5

1,000

$1,000(1.05)-5=

$783.53

$1,000(1.05)0

=$1,000.00

Сумма:

$4,329.48

Сумма:

$5,525.64

Чтобы интерпретировать эту таблицу, начните с 3-го столбца, который показывает расчет текущей стоимости (PV) каждого денежного потока.

Обратите внимание, что каждый денежный платеж в размере $1,000 дисконтируется на  соответствующее количество периодов, чтобы получить текущую стоимость PV к моменту времени \(t = 0\).

Совокупная текущая стоимость в размере $4,329.48 является точным эквивалентом всей серии денежных потоков. Это иллюстрирует важный момент: единичный (единовременный) денежный поток может фактически генерировать аннуитет.

Если мы разместим единовременную сумму на банковском депозите, который приносит доход по заявленной процентной ставке, мы создадим аннуитет, эквивалентный данной единовременной сумме.

Примерами этого принципа являются амортизационные кредиты, такие как ипотечные кредиты и автокредиты.

Чтобы продемонстрировать, как единовременная сумма вклада может финансировать аннуитет, предположим, что сегодня мы разместим $4,329.48 в банке под 5% годовых.

Мы можем рассчитать размер аннуитетных платежей, используя формулу 11:

\( \dstl \PV = A \left [1- \dstl {1 \over (1 + r)^N} \over r \right] \)

Чтобы найти сумму аннуитета А, приведем формулу к виду:

\( \begin{aligned} \dstl
A &= \PV \Big / { \left[ 1 - 1 \Big/ { (1 + r)^N \over r } \right]} \\
&= 4,329.48 \Big / { \left [ 1 - 1 \big / (1.05)^5 \over r \right ]} = $1,000
\end{aligned} \)

В таблице, приведенной ниже, показано, как первоначальные инвестиции в размере $4,329.48 могут фактически произвести 5 выплат в размере $1,000 в течение следующих 5 лет.
Как первоначальная текущая стоимость финансирует аннуитет.

Период

Денежный остаток на начало периода

Сумма до снятия средств со счета

Выплата (снятие средств)

Сумма после снятия средств со счета

1

4,329.48

$4,329.48(1.05)

=$4,545.95

1,000

3,545.95

2

3,545.95

$3,545.95(1.05)

=$3,723.25

1,000

2,723.25

3

2,723.25

$2,723.25(1.05)

=$2,859.41

1,000

1,859.41

4

1,859.41

$1,859.41(1.05)

=$1,952.38

1,000

952.38

5

952.38

$952.38(1.05)

=$1,000

1,000

0

Чтобы интерпретировать эту таблицу, начните с первоначальной текущей стоимости $4,329.48 при \(t = 0\).

От \(t = 0\) до \(t = 1\) первоначальные инвестиции приносят 5-процентный доход, генерируя будущую стоимость FV в размере $4,329.48(1.05) = $4,545.95.

Затем мы снимаем $1,000 с нашего счета, оставляя на нем $4,545.95 - $1,000 = $3,545.95 (сумма, указанная в последнем столбце за период 1).

В следующем периоде мы также получим годовой процентный доход, а затем сделаем вывод средств в размере $1,000.

После 4-го вывода денег на счете останется $952.38, которые также принесут доход по ставке 5%. В этом году эта сумма вырастет до $1,000, что соответствует сумме последнего вывода денег.

Таким образом, первоначальная текущая стоимость, при инвестировании денег под 5% в течение 5 лет, генерирует 5-летний обычный аннуитет в размере $1,000.

Текущая стоимость первоначальных инвестиций в точности эквивалентна аннуитету.

Теперь мы разберемся, как будущая стоимость соотносится с размером аннуитета.

В первой таблице (Эквивалентность текущей и будущей стоимости) мы рассчитали, что будущая стоимость аннуитета составляет $5,525.64.

Мы получили эту цифру, сделав начисление сложного процента на 1-й платеж в $1,000 за 4 периода, на 2-й платеж - за 3 периода и так далее.

Затем мы сложили рассчитанные 5 сумм, приведенные к моменту времени \(t = 5\).

Аннуитет эквивалентен $5,525.64 при \(t = 5\) и $4,329.48 при \(t = 0\).

Таким образом, эти две денежные суммы эквивалентны.

Мы можем проверить эквивалентность, рассчитав текущую стоимость PV для будущей стоимости $5,525.64:

\( $5,525.64 \times (1.05)^{-5} = $4,329.48 \)

Мы получили этот же результат выше, когда показали, как единовременный платеж может генерировать аннуитет.

Подведем итог вышесказанному: единовременную сумму (PV) можно рассматривать как эквивалент аннуитета, а аннуитет можно рассматривать как эквивалент его будущей стоимости (FV).

Таким образом, текущая стоимость, будущая стоимость и аннуитетные денежные потоки могут считаться эквивалентными, если они относятся к одним и тем же моментам времени.