При расчете аннуитетных денежных потоков часто известна только часть информации.

Например, формулы приведенной (текущей) стоимости PV и будущей стоимости FV, предполагают, что вы укажете процентную ставку \(r\), количество периодов времени \(N\), сумму аннуитета \(A\) и либо приведенную стоимость \(\PV\), либо будущую стоимость \(\FV\).

Однако, при решении практических финансовых вопросов вам может потребоваться определить либо процентную ставку, количество периодов начисления процентов.

Как рассчитать процентные ставки и темпы роста для аннуитетных денежных потоков?

Предположим, что банковский депозит в размере  €100, как известно вкладчику, вырастает до €111 за 1 год.

Обладая этой информацией мы можем определить процентную ставку, которая преобразует текущую стоимость в €100 в будущую стоимость €111 с использованием формулы 2:

\( \dstL \FV_N = \PV (1 + r)^N \)

где \(N = 1\)

Поскольку нам известны \(\PV\), \(\FV\), и \(N\), мы можем определить процентную ставку \(r\) следующим образом:

\( \dstl 1 + r = \FV / \PV \)

\( 1 + r = \€111 / \€100 = 1.11 \)
\(r\) = 0.11, или 11%

Процентная ставка, которая обеспечивает рост €100 при \(t = 0\) до €111 при \(t = 1\), составляет 11 процентов.

Таким образом, можно утверждать, что €100 выросли до €111 с темпом роста в 11%.

Как показывает этот пример, процентная ставка также может считаться темпом роста.

В практических финансовых задачах обычно используется термин «процентная ставка» (англ. 'interest rate') или «темп роста» (англ. 'growth rate').

Преобразование Формулы 2 для \(r\) и замена процентной ставки \(r\) темпом роста \(g\) дает следующее математическое выражение для определения темпов роста:

\( \dstl g = (\FV_N / \PV)^{1/N} - 1 \) (Формула 14)

Ниже приведены два примера, в которых используется концепция темпа роста.

Расчет темпов роста на примере компании Hyundai Steel.

Компания Hyundai Steel, первый корейский сталелитейщик, была основана в 1953 году.

Продажи Hyundai Steel выросли с ₩10,503.0 млрд. в 2008 году до ₩14,146.4 млрд. в 2012 году. Однако ее чистая прибыль снизилась с ₩822.5 млрд. в 2008 году до ₩796.4 млрд. в 2012 году.

Необходимо рассчитать следующие темпы роста для Hyundai Steel в течение 4-летнего периода с конца 2008 года по конец 2012 года:

  1. Темпы роста продаж.
  2. Темпы роста чистой прибыли.

Расчет темпов роста продаж:

Для решения этой проблемы мы можем использовать Формулу 14:

\( \dst g = (\FV_N / \PV)^{1/N} - 1 \)

Обозначим продажи в 2008 году как PV и продажи в 2012 году как \(\FV_4\). Теперь мы можем рассчитать темпы роста следующим образом:

\( \begin{aligned}
g &= \sqrt[4]{\cW14,146.4 \ / \ \cW10,503.0} - 1 \\
&= \sqrt[4]{1.346891} - 1 \\
&= 1.077291 - 1 = 0.077291
\end{aligned} \)

или около 7.7%

Рассчитанный темп роста в размере около 7,7% в год показывает, что продажи Hyundai Steel значительно выросли в течение 2008-2012 годов.

Расчет темпов роста чистой прибыли:

В этом случае мы можем говорить об отрицательном темпе роста начислений. Используя Формулу 14, находим:

\( \begin{aligned}
g &= \sqrt[4]{\cW796.4 \ / \ \cW822.5} - 1 \\
&= \sqrt[4]{0.968267} - 1 \\
&= 0.991971 -1 = -0.008029
\end{aligned} \)

или около -0.80%

В отличие от положительного роста продаж, темпы роста чистой прибыли в период 2008-2012 гг. были отрицательными и составляли примерно -0,80%.

Расчет темпов роста на примере компании Toyota Motor Corporation.

Компания Toyota Motor Corporation, один из крупнейших автопроизводителей в мире, в 2012 году консолидировала продажи автомобилей и они составили 7,35 млн. единиц.

Это оказалось значительно меньше, чем консолидированные продажи автомобилей в размере 8,52 млн. единиц за 5 лет до этого в 2007 году.

Каков был темп рост числа автомобилей, проданных Toyota с 2007 по 2012 год?

Расчет:

Используя Формулу 14, находим:

\( \begin{aligned}
g &= \sqrt[4]{7.35 / 8.52} - 1 \\
&= \sqrt[4]{0.862676} - 1 \\
&= 0.970889 -1 = -0.029111
\end{aligned} \)

или около -2.9%

В течение периода 2007-2012 гг. темпы роста продаж транспортных средств составляли примерно -2,9%.

Обратите внимание, что мы также можем ссылаться на -2,9% как на совокупный (сложный) темп роста (англ. 'compound growth rate'), поскольку это единственное число, которое объединяет количество автомобилей, проданных в 2007 году и количества автомобилей, проданных в 2012 году.

В таблице ниже указано количество проданных автомобилей Toyota с 2007 по 2012 год.

Количество проданных компанией Toyota транспортных средств,
2007-2012 гг.

Год

Количество
проданных
транспортных
средств (млн.)

 \((1 + g)_t\)

t

2007

8.52

0

2008

8.91

8.91/8.52 = 1.045775

1

2009

7.57

7.57/8.91 = 0.849607

2

2010

7.24

7.24/7.57 = 0.956407

3

2011

7.31

7.31/7.24 = 1.009669

4

2012

7.35

7.35/7.31 = 1.005472

5

Источник: www.toyota.com.

В таблице 4 также есть показатель прироста числа проданных автомобилей \((1 + g)_t\).

Мы можем вычислить 5-летний кумулятивный рост количества автомобилей, проданных с 2007 по 2012 год, умножив темпы прироста за каждый год друг на друга.

Мы приходим к такому же результату, когда мы делим конечное количество проданных автомобилей 7,35 млн. на исходное количество проданных автомобилей 8,52 млн.:

\( \small \begin{aligned}
{7.35 \over 8.52} &= \left( 8.91 \over 8.52 \right) \left( 7.57 \over 8.91 \right) \left( 7.24 \over 7.57 \right) \left( 7.31 \over 7.24 \right) \left( 7.35 \over 7.31 \right) \\[1ex]
&= (1 + g_1)(1 + g_2)(1 + g_3)(1 + g_4)(1 + g_5) \\[1ex]
0.862676 &= (1.045775)(0.849607)(0.956407)(1.009669)(1.005472)
\end{aligned} \)

Правая часть уравнения является произведением суммы (1 + 1-летний темп роста числа автомобилей, продаваемых за каждый год).

Напомним, что, используя уравнение из Формулы 14, мы извлекли 5-ый корень из 7.35/8.52 = 0.862676.

По сути, с помощью Формулы 14 мы рассчитали одно совокупное значение темпа роста \(g\), которое является совокупным итогом начисления по ставке темпа роста в течение 5 периодов.

Рассчитанный здесь темп роста является примером среднего геометрического значения (англ. 'geometric mean'), и в частности среднего геометрического темпов роста.

В программе CFA среднее геометрическое значение рассматривается разделе, посвященном статистическим концепциям.

В заключение, стоит упомянуть, что, как правило, финансисту не нужно вычислять промежуточные темпы роста, как показано в таблице выше, для расчета совокупного темпа роста \(g\).

Иногда, однако, промежуточные темпы роста интересны или информативны, поскольку они демонстрируют динамику роста.

Например, сначала (с 2007 по 2008 год) Toyota Motors увеличила количество проданных автомобилей. Мы также можем констатировать изменчивость темпов роста, когда мы проводим анализ по приведенной таблице.

Большая часть снижения продаж Toyota Motor пришлась на 2009 год. В прочих раскрытиях информации в примечаниях к финансовой отчетности Toyota Motor компания отметила, что существенное снижение продаж автомобилей в 2009 году было вызвано резким спадом в мировой экономике.

В 2010 году продажи сократились, так как рыночные условия оставались сложными. В течение следующих 2-х лет наблюдался небольшой рост продаж.

Совокупный темп роста \(g\) является прекрасным суммарным показателем роста в течение нескольких периодов времени.

В нашем примере с Toyota Motors отрицательный совокупный темп роста в -2,9% - это единый темп роста, который при добавлении к 1, сложном начислении в течение 5 лет и умножении на количество проданных автомобилей за 2007 год, дает количество проданных автомобилей за 2012 год.

Как рассчитать количество периодов начисления для аннуитетных денежных потоков?

Продемонстрируем, как определить количество периодов, имея значение текущей стоимости PV, будущей стоимости FV и процентную ставку r или темп роста \(g\).

Пример определения количества годовых периодов, необходимых для достижения определенной стоимости.

Вы хотите определить, сколько времени потребуется на то, чтобы инвестиции в размере €10,000,000 удвоили стоимость.

Текущая процентная ставка составляет 7% годовых. Сколько лет понадобится, чтобы €10,000,000 удвоились до €20,000,000?

Расчет:

Используйте Формулу 2: \( \FV_N = \PV (1 + r)^N \), чтобы рассчитать количество периодов \(N\) следующим образом:

\( (1 + r)^N = \FV_N / \PV = 2 \)

\( N \ln(1 + r) = \ln(2) \)

\( \begin{aligned}
N &= \ln(2) / \ln(1 + r) \\
&= \ln(2) / \ln(1.07) = 10.24
\end{aligned} \)

При процентной ставке 7% потребуется примерно 10 лет, чтобы первоначальные инвестиции в размере €10,000,000 выросли до €20,000,000.

Определение \(N\) в выражении \( (1.07)^N = 2.0 \) требует нахождения натурального логарифма для обеих сторон уравнения, исходя из того, что \( \ln(x^N) = N \ln(x) \).

Выполнив преобразование, мы получаем такую формулу:

\( N = \bigl[ \ln(\FV / \PV) \bigr] / \ln(1 + r) \)

Применив ее к нашему примеру, мы получим:

\( \begin{aligned}
N &= \ln(\€20,000,000 / \€10,000,000) / \ln(1.07) \\
&= \ln(2) / \ln(1.07) = 10.24
\end{aligned} \)

Правило 72.

Чтобы быстро аппроксимировать количество периодов, финансисты на практике иногда используют «правило 72» или «правило семидесяти» (англ. 'Rule of 72'):

Разделите 72 на процентную ставку, чтобы получить приблизительное количество лет, которое потребуется для удвоения инвестиций, вложенных под данную процентную ставку.

В нашем случае аппроксимация по правилу 72 дает:

72 / 7 = 10,3 года

Правило 72 свободно основано на наблюдении, что требуется 12 лет, чтобы удвоить сумму при 6% процентной ставке, то есть:

6 \(\times\) 12 = 72

При ставке 3%, можно было бы предположить, что это займет в 2 раза больше времени:

3 \(\times\) 24 = 72