Ключевой особенностью временных рядов логарифмической модели и ключевой особенностью временных рядов в целом является то, что значения текущего периода связаны со значениями предыдущего периода.

Например, продажи Starbucks за текущий период связаны с ее продажами за предыдущий период. Авторегрессионная модель (AR, autoregressive model), т.е. временной ряд регрессирующий по своим собственным прошлым значениям, эффективно представляет эту связь.

Когда мы используем эту модель, мы можем отбросить обычную нотацию \(y\) в качестве зависимой переменной и \(y\) в качестве независимой переменной, потому что у нас больше нет такого различия. Здесь мы просто используем \(x_t\).

Например, Уравнение 4 показывает авторегрессию первого порядка, AR (1), для переменной \(x_t\):

\( x_t = b_0 + b_1 x_{t-1} + \epsilon_t \) (4)

Таким образом, в модели AR (1) мы используем только самое последнее прошлое значение \(x_t\) для прогнозирования текущего значения \(x_t\). В целом, авторегрессия порядка \(p\), AR (\(p\)), для переменной \(x_t\) выглядит следующим образом:

\( x_t = b_0 + b_1 x_{t-1} + b_2 x_{t-2}
+ \ldots + b_p x_{t-p} + \epsilon_t \) (5)

В этом уравнении \(p\) прошлых значений \(x_t\) используются для прогнозирования текущего значения \(x_t\).

В следующем разделе мы обсудим ключевое допущение моделей временных рядов, которые включают запаздывающие значения зависимой переменной в качестве независимых переменных.

Ковариантно стационарные временные ряды.

Обратите внимание, что независимая переменная \(x_{t-1}\) в Уравнении 4 является случайной переменной. Этот факт может показаться математической тонкостью, но это не так.

Если мы используем метод наименьших квадратов для расчета Уравнения 4, когда мы имеем случайно распределенную независимую переменную, которая является запаздывающим значением зависимой переменной, наш статистический вывод может быть неверным.

Чтобы сделать правильный статистический вывод, мы должны сделать ключевое допущение анализа временных рядов: мы должны допустить, что временные ряды, которые мы моделируем, являются ковариантно стационарными (англ. 'covariance stationary').

«Слабо стационарный» - это синонимом ковариантно стационарного. Обратите внимание, что термины «стационарный» и «стационарность» часто используются для обозначения «ковариантно стационарного» или «ковариантной стационарности» соответственно.

Вы также можете столкнуться с более ограниченной концепцией «строгой» стационарности, которая имеет мало практического применения. См. Diebold (2008).

Что означают ковариантно стационарные временные ряды?

Основная идея состоит в том, что временные ряды являются ковариантно стационарными, если их свойства, такие как среднее значение и дисперсия, не изменяются со временем.

Ковариантно стационарный временной ряд должен соответствовать трем основным требованиям.

Во-первых, ожидаемое значение временного ряда должно быть постоянным и конечным во всех периодах:

\( E(y_t) = \mu \) и \( | \mu | < \infty \), \(t=1,2, \ldots , T\)

Для этого первого требования мы используем абсолютное значение, чтобы исключить случай, когда среднее значение не отрицательно, - т.е., минус бесконечность.

Во-вторых, дисперсия временных рядов должна быть постоянной и конечной во всех периодах.

В-третьих, ковариация временных рядов с собственными значениями для фиксированного количества периодов в прошлом или будущем должна быть постоянной и конечной во всех периодах.

Второе и третье требования можно обобщить следующим образом:

\( {\rm cov}(y_t, y_{t-s}) = \lambda_s \); \( | \lambda_s | < \infty \); \( t=1,2, \ldots , T\); \( s= \pm 1, \pm 2, \ldots , \pm T\),

где \(\lambda\) означает константу.

Обратите внимание, что когда \(s\) в этом уравнении равно 0, это уравнение налагает условие о том, что дисперсия временного ряда является конечной, потому что ковариация случайной величины с самой собой является ее дисперсией:

\( {\rm cov}(y_t, y_t) = {\rm var}(y_t) \)

Что произойдет, если временной ряд не является ковариантно стационарным, но мы моделируем его, используя Уравнение 4?

Результаты оценки не будут иметь экономического смысла.

Для не ковариантно стационарных временных рядов оценка регрессии с помощью Формулы 4 даст ложные результаты. В частности, оценка \(b_1\) будет необоснованной, и любые проверки гипотез будут недействительными.

Как мы можем определить, являются ли временные ряды ковариантно стационарными?

Мы часто можем ответить на этот вопрос, посмотрев на график временных рядов. Если график показывает примерно одинаковое среднее значение и дисперсию на протяжении длительного времени без существенной сезонности, то мы можем предположить, что временные ряды являются ковариантно стационарными.

Некоторые временные ряды, которые мы рассмотрели в примерах, кажутся ковариантно стационарными. Например, данные инфляции, показанные в Иллюстрации 3, по-видимому, имеют примерно одинаковое среднее значение и дисперсию в течение периода выборки.

Однако многие временные ряды в бизнесе и инвестициях не являются ковариантно стационарными.

Например, многие временные ряды, по-видимому, растут (или снижаются) с течением времени и, следовательно, имеют среднее значение, которое не является постоянным, что подразумевает, что они нестационарны.

В качестве примера, временные ряды квартальных продаж в Иллюстрации 8 четко показывают рост среднего значения с течением времени. Таким образом, квартальные продажи Starbucks не являются ковариантно стационарными.

В целом, любые временные ряды, точно описанные с помощью модели линейного или лог-линейного тренда, не являются ковариантно стационарными, хотя преобразование оригинального ряда может сделать его ковариантно стационарным.

Макроэкономические временные ряды, например, связанные с доходом и потреблением, также часто имеют сильные тренды.

Временные ряды с сезонностью (регулярные изменения в течение года) также имеют непостоянное среднее значение, как и другие типы временных рядов, которые мы обсудим позже (в частности, случайные блуждания не являются ковариантно стационарными).

Иллюстрация 2 показала, что ежемесячные розничные продажи (не скорректированные с учетом сезонности) также не являются ковариантно стационарными. Продажи в декабре всегда намного выше, чем продажи в другие месяцы (есть регулярные большие пики), а продажи в январе всегда намного ниже (есть регулярные большие спады после декабрьских пиков).

В среднем, продажи также увеличиваются с течением времени, поэтому среднее значение продаж не является постоянным.

Позже мы покажем, что часто у нас есть возможность преобразовать нестационарные временные ряды в стационарные временные ряды.

Но независимо от того, является ли стационарный временной ряд оригинальным или преобразованным, необходимо помнить: стационарность в прошлом не гарантирует стационарность в будущем.

Всегда существует вероятность того, что хорошо определенная модель окажется неудачной, когда реальность изменится и даст другую базовую модель, на основе которой генерируются временные ряды.