До сих пор мы обсуждали применение моделей временных рядов только для одного временного ряда. Хотя в разделах о корреляции, регрессии и множественной регрессии мы использовали линейную регрессию для анализа взаимосвязи между разными временными рядами, мы при этом полностью игнорировали единичные корни.

Временной ряд, который содержит единичный корень, не является ковариантно стационарным. Если какой-либо временной ряд в линейной регрессии содержит единичный корень (англ. 'unit root'), оценка критериев регрессии методом наименьших квадратов может быть необоснованной.

Чтобы определить, можем ли мы использовать линейную регрессию для моделирования более одного временного ряда, мы начнем с одной независимой переменной. То есть, у нас есть два временных ряда: один соответствует зависимой переменной, а другой соответствует независимой переменной.

Затем мы расширим наше обсуждение на несколько независимых переменных.

Сначала мы используем критерий единичного корня, такой как тест Дики-Фуллера, для каждого из двух временных рядов, чтобы определить, есть ли у кого-либо из них единичный корень.

Теоретические детали тестов единичного корня приведены в исследованиях Green (2018) или Tsay (2010). Расчет тестов единичного корня доступен в некоторых эконометрических программных пакетах, таких как EViews.

Есть несколько возможных сценариев, связанных с результатами этих тестов.

Одним из возможных сценариев является то, что мы обнаруживаем, что ни один из временных рядов не имеет единичного корня. Затем мы можем безопасно использовать линейную регрессию, чтобы проверить связи между двумя временными рядами.

В противном случае нам, возможно, придется провести дополнительные тесты, что мы обсудим далее.

Пример 18. Единичные корни и эффект Фишера.

Исследователи из фирмы по управлению активами изучили эффект Фишера, оценив регрессионную связь между ожидаемой инфляцией и доходностью казначейских векселей США (T-bill).

Они использовали 181 ежеквартальное наблюдение за ожидаемыми показателями инфляции и ставками доходности векселей из выборки, которая включает период с 4 квартала 1968 года по 4 квартал 2013 года. Они использовали линейную регрессию для анализа взаимосвязи между этими двумя временными рядами.

Результаты этой регрессии были бы действительными, если бы оба временных ряда были ковариантно стационарными; то есть если бы ни один из двух временных рядов не имел единичного корня.

Итак, если они вычислят t-критерий Дики-Фуллера гипотезы о единичном корне для каждого временного ряда, и обнаружат, что могут отклонить нулевую гипотезу о том, что доходность казначейских векселей имеет единичный корень, и нулевую гипотезу о том, что временной ряд ожидаемой инфляции имеет единичный корень, то затем они могут использовать линейную регрессию для анализа связи между этими двумя рядами.

В этом случае результаты их анализа эффекта Фишера будут обоснованными.

Второй возможный сценарий заключается в том, что мы отвергаем гипотезу о единичном корне для независимой переменной, но не можем отклонить гипотезу о единичном корне для зависимой переменной. В этом случае член ошибки в регрессии не будет ковариантно стационарным.

Следовательно, одно или несколько из следующих допущений о линейной регрессии будут нарушены:

  • (1) ожидаемое значение члена ошибки равно 0,
  • (2) дисперсия члена ошибки является постоянной для всех наблюдений, и
  • (3) член ошибки не коррелирует между наблюдениями.

Следовательно, полученные коэффициенты регрессии и стандартные ошибки будут необоснованными. Коэффициенты регрессии могут показаться значимыми, но эти результаты будут ложными.

Проблема ложной регрессии для нестационарных временных рядов была впервые рассмотрена Грейнджером (Granger) и Ньюболдом (Newbold) в 1974 году.

Таким образом, мы не должны использовать линейную регрессию для анализа связи между двумя временными рядами при этом сценарии.

Третий возможный сценарий - это ситуация, обратная второму сценарию: мы отвергаем гипотезу о единичном корне для зависимой переменной, но не отвергаем гипотезу о единичном корне для независимой переменной.

В этом случае так же, как и во втором сценарии, член ошибки в регрессии не будет ковариантно стационарным, и мы не сможем использовать линейную регрессию для анализа связи между двумя временными рядами.

Пример 19. Единичные корни и предсказуемость доходности фондового рынка по коэффициенту цена / прибыль.

Джоанн де Врис анализирует эффективность фондового рынка Южной Африки. Он исследует, можно ли спрогнозировать процентное изменение индекса Йоханнесбургской фондовой биржи (JSE) с помощью коэффициента цена / прибыль (P/E) для индекса.

Используя ежемесячные данные с января 1994 года по декабрь 2013 года, она строит регрессию с использованием \( (P_t - P_{t-1}) / P_{t-1} \) в качестве зависимой переменной и \( P_{t-1} / Е_{t-2} \) в качестве независимой переменной, где \( P_t \) является значением индекса JSE в момент времени \( t \), и \( E_t \) - это доходность (прибыль) по индексу.

Джоанн обнаруживает, что коэффициент регрессии является отрицательным и статистически значимым, а значение \( R^2 \) для регрессии довольно высоко.

Какой дополнительный анализ она должен выполнить, прежде чем принять регрессию как действительную?

Джоанн должна выполнить тесты единичного корня для каждого из двух временных рядов.

Если один из двух временных рядов имеет единый корень (что подразумевает, что он не является стационарным), результаты линейной регрессии не будут значимыми и не могут быть использованы для вывода о том, что доходность фондового рынка можно предсказать с помощью P/E.

Следующая возможность состоит в том, что оба временных ряда имеют единичные корни. В этом случае нам необходимо установить, являются ли два временных ряда коинтегрированными (англ. 'cointegrated'), прежде чем мы сможем положиться на регрессионный анализ.

Два временных ряда коинтегрированы, если между ними существуют такие долгосрочные финансовые или экономические связи, чтобы они не имеют расхождений друг от друга в долгосрочной перспективе. Например, два временных ряда являются коинтегрированными, если они имеют общий тренд.

В четвертом сценарии оба временных ряда имеют единичные корни, но не коинтегрированы. В этом сценарии, как и во втором и третьем сценариях, член ошибки в линейной регрессии не будет ковариантно стационарным, некоторые регрессионные допущения будут нарушены, коэффициенты регрессии и стандартные ошибки не будут обоснованными, и мы не сможем использовать их для проверки гипотез.

Следовательно, линейная регрессия одной переменной по другой переменной будет бессмысленной.

Наконец, пятый возможный сценарий заключается в том, что оба временных ряда имеют единичные корни, но они коинтегрированы. В этом случае член ошибки в линейной регрессии одного временного ряда по другому ряду будет ковариантно стационарным.

Соответственно, коэффициенты регрессии и стандартные ошибки будут обоснованными, и мы сможем использовать их для проверки гипотез. Тем не менее, мы должны быть очень осторожны в интерпретации результатов регрессии с коинтегрированными переменными.

Коинтегрированная регрессия оценивает долгосрочную связь между двумя временными рядами, но может быть не лучшей моделью для краткосрочной связи между двумя рядами.

Краткосрочные модели коинтегрированных рядов (модели коррекции ошибок) обсуждаются в работе Энгла (Engle) и Грайнджер (Granger) (1987) и Tsay (2010), но это специализированные темы.

Теперь давайте посмотрим на то, как мы можем выполнить тест на коинтеграцию между двумя временными рядами, каждый из которых имеет единичный корень, как при четвертом, так и при пятом сценариях.

Рассмотрим временной ряд \(x_t\), который имеет единичный корень. Для многих таких финансовых и экономических временных рядов первая разность в ряду, \(x_t - x_{t-1}\), является стационарной.

Мы говорим, что такой ряд, чья первая разность стационарна, имеет одиночный единичный корень. Тем не менее, для некоторых временных рядов, даже первая разность может быть нестационарной, и для достижения стационарности могут потребоваться дальнейшие дополнительные разности.

Говорят, что в таком временном ряду есть несколько единичных корней. В этом разделе мы рассмотрим только случай, когда каждый нестационарный ряд имеет одиночный единичный корень (что довольно распространено).

Энгл и Грейнджер предложили следующий тест. Если \(y_t\) и \(x_t\) являются временными рядами с единичным корнем, мы должны сделать следующее:

  1. Вычислить регрессию \(y_t = b_0 + b_1 x_t + \epsilon_t\).
  2. Проверить, имеет ли член ошибки из регрессии на Шаге 1 единичный корень, используя тест (критерий) Дики-Фуллера. Поскольку остатки основаны на расчетных коэффициентах регрессии, мы не можем использовать стандартные критические значения для теста Дики-Фуллера.
    Вместо этого мы должны использовать критические значения, рассчитанные Энглом и Грейнджером, которые учитывают влияние неопределенности параметром регрессии на распределение теста Дики-Фуллера.
  3. Если тест (Энгла-Грейнджера) Дики-Фуллера не отклоняет нулевую гипотезу о том, что член ошибки имеет единичный корень, то мы заключаем, что член ошибки в регрессии не является ковариантно стационарным.
    Следовательно, два временных ряда не коинтегрированы. В этом случае любая регрессионная связь между двумя рядами является ложной.
  4. Если тест (Энгла-Грейнджера) Дики-Фуллера отклоняет нулевую гипотезу о том, что член ошибки имеет единичный корень, то мы можем предположить, что член ошибки в регрессии является ковариантно стационарным и что два временных ряда коинтегрированы.
    Параметры и стандартные ошибки линейной регрессии будут обоснованными, и это позволит нам проверить гипотезы о долгосрочной связи между двумя рядами.

Пример 20. Проверка на коинтеграцию между продажами Intel и номинальным ВВП.

Предположим, что мы хотим проверить, являются ли натуральный логарифм продаж Intel и натуральный логарифм ВВП коинтегрированными (то есть, существует ли долгосрочная связь между ВВП и продажами Intel).

Мы хотим проверить эту гипотезу, используя ежеквартальные данные с 1 квартала 1995 года по 4 квартал 2019 года. Вот шаги этого теста:

  1. Проверяем, есть ли у каждого из двух рядов единичный корень. Если мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу о единичном корне в обоих рядах, это подразумевает, что оба временных ряда нестационарны, и после этого мы должны проверить, являются ли два ряда коинтегрированными.
  2. Установив, что каждый ряд имеет единичный корень, мы оцениваем регрессию \( \ln \ \text{Продажи Intel}_t = b_0 + b_1 \ (\ln \ \text{ВВП}_t)+ \epsilon_t\), а затем проводим тест (Энгла-Грейнджера) Дики-Фуллера для проверки гипотезы о том, что существует единичный корень в члене ошибки этой регрессии, используя остатки из регрессии.
    Если мы отклоняем нулевую гипотезу о единичном корне в члене ошибки регрессии, мы также отклоняем нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции. То есть два ряда будут коинтегрированными.
    Если два ряда являются коинтегрированными, мы можем использовать линейную регрессию, чтобы оценить долгосрочную связь между натуральным логарифмом продаж Intel и натуральным логарифмом ВВП.

До сих пор мы обсуждали модели с одной независимой переменной. Теперь мы расширяем обсуждение до моделей с двумя или более независимыми переменными, поэтому теперь есть три или более временных ряда.

Самая простая возможность состоит в том, что ни один из временных рядов в модели не имеет единичного корня. Затем мы можем безопасно использовать множественную регрессию, чтобы проверить связь между временными рядами.

Пример 21. Единичные корни и доходность фонда Fidelity Select Technology Fund.

В более ранних темах, посвященных множественной регрессии, мы использовали модель множественной линейной регрессии, чтобы изучить, объясняет ли доходность Индекса роста или Индекса стоимости S&P 500 доходность технологического портфеля Fidelity Select Technology, с использованием ежемесячных наблюдений в период с октября 2015 года по август 2019 года.

Конечно, если какой-либо из трех временных рядов имеет единичный корень, то результаты нашего регрессионного анализа могут быть недействительными. Следовательно, мы могли бы использовать тест Дики-Фуллера, чтобы определить, имеет ли какой-либо из этих рядов единичный корень.

Если мы отклоним гипотезу о единичных корнях для всех трех рядов, мы можем использовать линейную регрессию для анализа связи между рядами. В этом случае результаты нашего анализа факторов, влияющих на доходность портфеля Fidelity Select Technology, будут обоснованными.

Если, по крайней мере, один временной ряд (зависимая переменная или одна из независимых переменных) имеет единичный корень, в то время как по крайней мере один временной ряд (зависимая переменная или одна из независимых переменных) не имеет, то член ошибки в регрессии не может быть ковариантно стационарным.

Следовательно, мы не должны использовать множественную линейную регрессию для анализа связи между временными рядами в этом сценарии.

Другая возможность состоит в том, что каждый временной ряд, включая зависимую переменную и каждую из независимых переменных, имеет единый корень. Если это так, нам нужно установить, являются ли временные ряды коинтегрированными.

В этом случае процедура проверки наличия коинтеграции аналогична процедуре для модели с одной независимой переменной.

Во-первых, нужно вычислить регрессию:

\(y_t = b_0 + b_1 x_{1t} + b_2 x_{2t} + \ldots + b_k x_{kt} + \epsilon_t\)

Затем нужно выполнить тест (Энгла-Грейнджера) Дики-Фуллера, чтобы проверить гипотезу о том, что в ошибках этой регрессии есть единый корень, используя остатки из расчетной регрессии.

Если мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу о единичном корне в члене ошибки регрессии, мы не можем отклонить нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции.

При этом сценарии член ошибки в множественной регрессии не будет ковариантно стационарным, поэтому мы не можем использовать множественную регрессию для анализа связи между временными рядами.

Если мы можем отклонить нулевую гипотезу о единичном корне в члене ошибки регрессии, мы можем отклонить нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции. Тем не менее, моделирование трех или более временных рядов, которые являются коинтегрированными, может быть затруднительным.

Например, аналитик может захотеть предсказать продажи пенсионных услуг компанией на основе ВВП страны и общей численности населения старше 65 лет.

Хотя продажи компании, ВВП и количество населения старше 65 могут иметь единичные корни и быть коинтегрированными, моделирование коинтеграции трех рядов может быть затруднительным, и выходит за рамки данного обсуждения.