Как модель линейного тренда, так и модель лог-линейного тренда представляют собой регрессионные модели с одной переменной. Если эти модели правильно определены, то допущения регрессионной модели должны соблюдаться.

В частности, ошибка регрессии в течение одного периода не должна коррелировать с ошибкой регрессии для всех других периодов.

В Примере 2 мы могли явно нарушить это допущение, о чем свидетельствует визуальный осмотр графика остатков (Иллюстрация 9).

Модель логарифмического тренда в Примере 3, по-видимому, намного лучше соответствует данным, но нам все еще нужно убедиться, что выполняется допущение о некоррелирующих ошибках.

Чтобы формально решить этот вопрос, мы должны провести тест (критерий) Дурбина-Уотсона на остатках.

Логическое упорядочение наблюдений временных рядов.

В отличие от наблюдений перекрестных данных, наблюдения временных рядов имеют логический порядок. Они должны обрабатываться в хронологической последовательности периодов временного ряда.

Например, мы не должны прогнозировать уровень инфляции, используя временной ряд Индекса потребительских цен (CPI), в котором порядок наблюдений был перемешан, потому что временные шаблоны, такие как рост в независимых переменных, могут негативно влиять на статистические свойства коэффициентов регрессии.

В чтении о регрессионном анализе мы показали, как проверить, имеют ли ошибки регрессии сериальную корреляцию, с использованием статистики Дурбин-Уотсона.

Например, если модели тренда, показанные в Примере 1 и Примере 3, действительно отражают поведение временных рядов инфляции и логарифма продаж Starbucks, то статистика Дурбин-Уотсона для обеих этих моделей не должна значительно отличаться от 2.0.

В противном случае ошибки в модели будут сериально коррелировать - либо положительно, либо отрицательно, и эту корреляцию можно использовать для создания лучшей модели прогнозирования для этих временных рядов.

В Примере 1 оценка линейного тренда ежемесячной инфляции Индекса потребительских цен дала статистику Дурбин-Уотсона 1.09.

Этот результат значительно отличается от 2.0?

Чтобы это выяснить, нам нужно проверить нулевую гипотезу об отсутствии положительной сериальной корреляции. Для выборки с 228 наблюдениями и одной независимой переменной критическое значение \(d_t\) для критерия Дурбина-Уотсона будет выше 1.77, на уровне значимости 0.05.

Поскольку значение статистики Дурбина-Уотсона (1.09) ниже этого критического значения, мы можем отклонить гипотезу об отсутствии положительной сериальной корреляции в ошибках.

Помните, что очень малые значения статистики Дурбин-Уотсона указывают на положительную сериальную корреляцию; очень большие значения указывают на отрицательную сериальную корреляцию. В нашем примере статистика Дурбин-Ватсона 1.09 указывает на положительную сериальную корреляцию.

Мы можем сделать вывод, что уравнение регрессии, которое использует линейный тренд для моделирования инфляции, имеет положительную сериальную корреляцию в ошибках. Нам понадобится другая регрессионная модель, потому что эта нарушает допущение об отсутствии сериальной корреляции в ошибках.

В Примере 3 оценка линейного тренда для натурального логарифма продаж Starbucks дала статистику Дурбин-Уотсона, равную 0.12.

Предположим, что мы хотим проверить нулевую гипотезу об отсутствии положительной сериальной корреляции.

Критическое значение \(d_t\) выше 1.60, на уровне значимости 0.05. Значение статистики Дурбин-Ватсона (0.12) ниже этого критического значения, поэтому мы можем отклонить нулевую гипотезу об отсутствии положительной сериальной корреляции в ошибках.

Мы можем сделать вывод, что уравнение регрессии, которое использует тренд для моделирования логарифма квартальных продаж Starbucks, имеет положительную сериальную корреляцию в ошибках. Таким образом, и для этого временного ряда нам нужно построить модель другого вида.

В целом, мы делаем вывод, что модели трендов иногда имеют ограничение на то, что ошибки сериально коррелируют.

Существование сериальной корреляции предполагает, что мы можем создавать более подходящие модели прогнозирования для таких временных рядов, чем модели трендов.