Анализ временных рядов является обширной темой и включает в себя множество очень сложных проблем и ситуаций. Наша цель в этом чтении состояла в том, чтобы осветить проблемы временных рядов, которые являются наиболее важными для финансовых аналитиков, и которые можно решить с относительной легкостью.

В этом разделе мы кратко обсудим некоторые проблемы, которые мы не рассмотрели ранее, но изучение которых могло бы быть полезным для аналитиков.

В этом чтении мы показали, как использовать модели временных рядов для создания прогнозов. Мы также представили среднеквадратическую ошибку (RMSE) в качестве критерия для сравнения моделей прогнозирования.

Тем не менее, мы не обсуждали оценку неопределенности, связанной с прогнозами, сделанными с использованием моделей временных рядов. Неопределенность этих прогнозов может быть очень большой, и должна учитываться при принятии инвестиционных решений.

К счастью, к оценке неопределенности прогнозов временных рядов применимы те же методы, которые применяются для оценки неопределенности прогнозов, полученных с помощью моделей линейной регрессии.

Чтобы точно оценить неопределенность прогноза, нам необходимо рассмотреть как неопределенность в отношении члена ошибки, так и неопределенность в отношении параметров модели временных рядов.

Оценка этой неопределенности довольно сложна при использовании регрессий с несколькими независимыми переменными.

В этом чтении мы использовали временной ряд инфляции индекса потребительских цен США (CPI), чтобы проиллюстрировать некоторые из практических проблем, с которыми сталкиваются аналитики при использовании моделей временных рядов. Мы использовали информацию о политике Федеральной резервной системы США для изучения последствий разделения ряда инфляции на два ряда.

При работе с финансовым временным рядом мы можем подозревать, что временной ряд имеет более одного режима, но у нас может не хватать информации, чтобы попытаться сортировать данные по разным режимам.

Если вы столкнетесь с такой проблемой, вы можете исследовать другие методы, особенно переключение моделей регрессии, чтобы выявить несколько режимов, используя только сам временной ряд.

Если вы заинтересованы в этих и других расширенных темах анализа временных рядов, см. исследования Diebold (2008) и Tsay (2010).

Предлагаемый порядок прогнозировании временных рядов.

Ниже приведено пошаговое руководство по созданию модели для прогнозирования временных рядов.

1. Изучите инвестиционную проблему и сделайте первоначальный выбор модели. Одной из альтернатив является регрессионная модель, которая предсказывает будущее поведение переменной, основываясь на гипотетических причинно-следственных связях с другими переменными.

Другая альтернатива - это модель временных рядов, которая пытается предсказать будущее поведение переменной, основываясь на прошлом поведении одной и той же переменной.

2. Если вы решили использовать модель временного ряда, составьте временной ряд и постройте ее, чтобы увидеть, является ли она ковариантно стационарной. График может показать важные отклонения от ковариантной стационарности, в том числе следующее:

  • линейный тренд,
  • экспоненциальный тренд,
  • сезонность, или
  • значимый сдвиг во временном ряду в течение периода выборки (например, изменение среднего значения или дисперсии).

3. Если вы не найдете существенной сезонности или сдвига во временном ряду, то, возможно, либо линейного тренда, либо экспоненциального тренда будет достаточно для моделирования временного ряда.

В этом случае предпринимайте следующие шаги:

  • Определите, кажется ли линейный или экспоненциальный тренд наиболее обоснованным (обычно путем построения и изучения графика).
  • Вычислите тренд.
  • Вычислите остатки.
  • Используйте статистику Дурбина-Уотсона, чтобы определить, имеют ли остатки значимую сериальную корреляцию. Если вы не найдете существенной сериальной корреляции в остатках, то модели тренда будет достаточно, чтобы отразить динамику временного ряда, и вы можете использовать эту модель для прогнозирования.

4. Если вы найдете значимую сериальную корреляцию в остатках модели тренда, используйте более сложную модель, такую ​​как авторегрессионная модель. Однако, сначала перепроверьте, является ли временной ряд ковариантно стационарным.

Ниже приведен список нарушений стационарности, а также потенциальные методы корректировки временного ряда, чтобы сделать его ковариантно стационарным:

  • Если временной ряд имеет линейный тренд, найдите первую разность временного ряда.
  • Если временной ряд имеет экспоненциальный тренд, найдите натуральный логарифм временного ряда, а затем первую разность.
  • Если временной ряд значительно смещается в течение периода выборки, оцените различные модели до и после сдвига.
  • Если временной ряд имеют значительную сезонность, добавьте в модель сезонные лаги (см. шаг 7).

5. После того, как вы успешно преобразуете исходный временной ряд в ковариантно стационарный временной ряд, вы обычно можете моделировать трансформированный ряд с короткой авторегрессией.

Большинство финансовых временных рядов можно смоделировать с использованием авторегрессии. Для некоторых временных рядов может лучше подойти модель скользящего среднего.

Чтобы увидеть, так ли это, изучите первые пять или шесть автокорреляций временного ряда.

Если автокорреляции внезапно падают до 0 после первых \(q\) автокорреляций, уместно использовать модель скользящего среднего (порядка \(q\)). Если автокорреляции начинаются с больших значений и постепенно снижаются, то подходит авторегрессионная модель.

Чтобы решить, какую авторегрессионную модель использовать, выполните следующие шаги:

  • Вычислите модель AR(1).
  • Проверьте, имеют ли остатки из этой модели значимую сериальную корреляцию.
  • Если вы не найдете значимую сериальную корреляцию в остатках, вы можете использовать для прогноза модель AR(1).

6. Если вы обнаружите значимую сериальную корреляцию в остатках, используйте модель AR(2) и проведите тест на значимость сериальной корреляции в остатках модели AR(2).

  • Если вы не найдете значимой сериальной корреляции, используйте модель AR(2).
  • Если вы найдете значимую сериальную корреляцию остатков, продолжайте увеличивать порядок модели AR, пока сериальная корреляция остатков более не будет значимой.

7. Ваш следующий шаг - проверить сезонность. Вы можете использовать один из двух подходов:

  • Построить график данных и проверить его на наличие регулярной сезонной структуры.
  • Изучить данные, чтобы увидеть, являются ли сезонные автокорреляции остатков из модели AR (например, четвертая автокорреляция для квартальных данных) значимыми и являются ли автокорреляции до и после сезонных автокорреляций значимыми.
    Чтобы исправить сезонность, добавьте сезонные лаги в вашу модель AR. Например, если вы используете квартальные данные, вы можете добавить четвертый лаг в качестве дополнительной переменной в модель AR(1) или AR(2).

8. Далее проверьте, имеют ли остатки авторегрессионную условную гетероскедастичность (ARCH). Чтобы проверить на наличие ARCH(1), например, сделайте следующее:

  • Регрессируйте квадратный остаток из вашей модели по запаздывающему значению квадратного остатка.
  • Проверьте, есть ли существенное отличие от 0 коэффициента по запаздывающему квадратному остатку.
  • Если коэффициент по запаздывающему квадратному остатку не отличается существенно от 0, остатки не соответствуют ARCH, и вы можете полагаться на стандартные ошибки из результатов оценки вашего временного ряда.
  • Если коэффициент по запаздывающему квадратному остатку существенно отличается от 0, используйте метод наименьших квадратов или другие методы для исправления ARCH.

9. Наконец, вы также можете выполнить тесты на эффективность прогнозирования модели вне выборки, чтобы сравнить эффективность вне выборки и эффективность в пределах выборки.

Используя эти последовательные шаги, вы можете быть вполне уверены, что ваша модель правильно определена.