До сих пор мы рассматривали только те временные ряды, в которых есть тенденция возврата к среднему уровню, т.е. изменение в переменной от одного периода к следующему следует модели возврата к среднему значению.

Тем не менее, существует много финансовых временных рядов, в которых изменения следуют случайной модели, которая получила название «случайное блуждание».

Случайное блуждание или случайные блуждания (англ. 'random walk') - это одна из наиболее широко изученных моделей временных рядов для финансовых данных. Случайное блуждание это временной ряд, в котором значение ряда за один период - это значение ряда за предыдущий период плюс непредсказуемая случайная ошибка.

Случайное блуждание можно описать следующим уравнением:

\( x_t = x_{t-1} + \epsilon_t \),
\( E(\epsilon_t) = 0 \),
\( E \left(\epsilon^2_t \right) = \sigma^2 \),
\( {\rm cov}(\epsilon_t, \epsilon_s) = E(\epsilon_t, \epsilon_s) = 0 \ \text{если} \ t \neq s \) (8)

Уравнение 8 означает, что каждое значение временного ряда \(x_t\) в одном периоде равно значению в предыдущем периоде, плюс член ошибки \(\epsilon_t\), который имеет постоянную дисперсию и не коррелирует с членом ошибки в предыдущих периодах.

Обратите внимание на два важных момента.

Во-первых, это уравнение является особым случаем модели AR(1), где \(b_0 = 0\) и \(b_1 = 1\).

Уравнение 8 с добавленной ненулевой точкой пересечения (как в Уравнении 9), иногда называется случайным блужданием с дрейфом (англ. 'random walk with drift').

Во-вторых, ожидаемое значение \(\epsilon_t\) равно нулю.

Следовательно, лучший прогноз \(x_t\), который можно сделать для периода \(t-1\), - это \(x_{t-1}\). На самом деле, в этой модели \(x_{t-1}\) является лучшим прогнозом \(x\) в каждом периоде после \(t-1\).

Случайные блуждания довольно распространены в финансовых временных рядах. Например, многие исследования проверяли, следуют ли курсы обмена валюты моделям случайного блуждания.

В соответствии со вторым пунктом, приведенным выше, некоторые исследования показали, что сложные модели прогнозирования обменного курса не могут превосходить прогнозы, сделанные с использованием модели случайного блуждания, и что наилучшим прогнозом будущего обменного курса является текущий обменный курс.

К сожалению, мы не можем использовать методы регрессии, которые мы обсуждали до сих пор для оценки модели AR(1) во временных рядах, которые на самом деле являются случайным блужданием.

Чтобы понять, почему, мы должны определить, почему случайное блуждание не имеет конечного уровня возврата к среднему или конечной дисперсии. Напомним, что если \(x_t\)  находится на уровне возврата к среднему значения, то:

\(x_t = b_0 + b_1 x_t\) или \(x_t = b_0 / (1-b_1)\).

Однако в случайном блуждании \(b_0 = 0\) и \(b_1 = 1\), поэтому \(b_0 / (1-b_1) = 0/0\).

Следовательно, случайное блуждание имеет неопределенный уровень возврата к среднему.

Какова дисперсия случайного блуждания?

Предположим, что в Период 1 значение \(x_1\) равно 0. Тогда мы знаем, что \(x_2 = 0 \epsilon_2\).

Следовательно, дисперсия \(x_2 = {\rm var}(\epsilon_2) = \sigma^2 \).

Теперь \(x_3 = x_2 + \epsilon_3 = \epsilon_2 + \epsilon_3\).

Поскольку предполагается, что член ошибки в каждом периоде не коррелирует с членами ошибки во всех других периодах, дисперсия \(x_3\) равна:

\(x_3 = {\rm var}(\epsilon_2) + {\rm var}(\epsilon_3) = 2 \sigma^2 \).

Подобным аргументом мы можем показать, что для любого периода \(t\) дисперсия \(x_t = (t-1)\).

Но это означает, что по мере того, как \(t\) растет до больших значений, дисперсия \(x_t\) растет без верхнего предела: она стремится к бесконечности. Отсутствие верхнего предела, в свою очередь, означает, что случайное блуждание не является ковариантно стационарным временным рядом, потому что ковариантно стационарные временные ряды должны иметь конечную дисперсию.

Каково практическое значение этих вопросов?

Мы не можем использовать стандартный регрессионный анализ для временных рядов, которые являются случайным блужданием.

Однако мы можем попытаться преобразовать данные в ковариантно стационарные временные ряды, если подозреваем, что временные ряды являются случайным блужданием. В статистических терминах это означает, что мы можем найти их разность.

Мы находим разность временных рядов, создавая новый временной ряд, скажем, \(y_t\), в котором каждый период равен разности между \(x_t\) и \(x_{t-1}\).

Это преобразование называется первой разностью (англ. 'first-differencing'), потому что оно вычитает значение первого предыдущего периода из текущего значения временного ряда. Иногда первая разность \(x_t\) записывается как:

\(\Delta x_t = x_t - x_{t-1}\)

Обратите внимание, что первая разность случайного блуждания в Уравнении 8 дает:

\( y_t = x_t - x_{t-1} = \epsilon_t \),
\( E(\epsilon_t) = 0 \),
\( E \left(\epsilon^2_t \right) = \sigma^2 \),
\( {\rm cov}(\epsilon_t, \epsilon_s) = E(\epsilon_t, \epsilon_s) = 0 \ \text{если} \ t \neq s \).

Ожидаемое значение \( \epsilon_t \) равно 0. Следовательно, лучший прогноз \(y_t\), который можно сделать в период \(t-1\), равен 0.

Это означает, что лучший прогноз заключается в том, что не будет изменений в текущем значении временного ряда, \(x_{t-1}\).

Переменная первой разности, \(y_t\), является ковариантно стационарной. С чем это связано?

Во-первых, обратите внимание, что эта модель (\(y_t = \epsilon_t\)) является моделью AR(1), в которой \(b_0 = 0\) и \(b_1 = 0\). Мы можем вычислить уровень возврата к среднему для модели первой разности как:

\(b_0 \big/ (1-b_1) = 0/1 = 0 \).

Следовательно, случайное блуждание первой разности имеет уровень возврата к среднему, равный 0. Обратите внимание, что дисперсия \(y_t\) в каждом периоде равна:

\( {\rm var}(\epsilon_t) = \sigma^2 \).

Поскольку дисперсия и среднее значение \(y_t\) являются постоянными и конечными в каждом периоде, \(y_t\) является ковариантно стационарным временным рядом, и мы можем моделировать его с использованием линейной регрессии.

Конечно, моделирование временного ряда первой разности с помощью модели AR(1) не помогает нам предсказать будущее, потому что \(b_0 = 0\) и \(b_1 = 0\). Мы просто заключаем, что оригинальный временной ряд, на самом деле, является случайным блужданием.

Если бы мы пытались применить модель AR(1) к временному ряду, который является случайным блужданием, наши статистические выводы были бы неверными, поскольку авторегрессионные модели AR нельзя использовать для оценки случайных блужданий или любого временного ряда, который не является ковариантно стационарным.

Следующий пример иллюстрирует эту проблему на примере обменных курсов.

Пример 10. Обменный курс иена / доллар США.

Финансовые аналитики часто предполагают, что обменные курсы являются случайным блужданием. Рассмотрим модель AR(1) для обменного курса японской иены к доллару США (JPY/USD).

Иллюстрация 18 показывает результаты оценки модели с использованием наблюдений на конец месяца с октября 1980 года по август 2019 года.

Иллюстрация 18. Обменный курс JPY/USD: Модель AR(1) на основе наблюдений на конец месяца, октябрь 1980 г. - август 2019 г.

Статистики регрессии

\( R^2 \)

0.9897

Стандартная ошибка

4.5999

Наблюдения

467

Статистика Дурбин-Уотсона

1.9391

Коэффициент

Стандартная
ошибка

t-статистика

Точка пересечения

0.8409

0.6503

1.2931

JPY/USD\(_{t-1}\)

0.9919

0.0047

211.0426

Автокорреляция остатков

Задержка
(Временной лаг)

Автокорреляция

Стандартная
ошибка

t-статистика

1

0.0302

0.0465

0.6495

2

0.0741

0.0465

1.5935

3

0.0427

0.0465

0.9183

4

-0.0034

0.0465

0.0731

Источник: Совет управляющих ФРС США.

Результаты, показанные в Иллюстрации 18, предполагают, что обменный курс JPY/USD является случайным блужданием, поскольку точка пересечения, по-видимому, не отличается от 0, а коэффициент по первому временному лагу обменного курса очень близок к 1.

Можем ли мы использовать t-статистику из Иллюстрации 18, чтобы проверить, является ли обменный курс случайным блужданием?

К сожалению, нет, потому что стандартные ошибки в авторегрессионной модели являются недействительными, если модель оценивается с использованием рядов данных, которые являются случайным блужданием (помните, что случайное блуждание не является ковариантно стационарным).

Если обменный курс на самом деле является случайным блужданием, мы можем прийти к неправильному выводу, основанному на ложных статистических тестах (критериях), а затем принять ошибочное инвестиционное решение. Мы можем использовать тест, представленный в следующем разделе, чтобы проверить, являются ли временные ряды случайным блужданием.

Предположим, что обменный курс является случайным блужданием, как мы подозреваем. Если это так, временной ряд первой разности, \(y_t = x_t - x_{t-1}\) будет ковариантно стационарным.

Мы представляем результаты оценки \(y_t = b_0 + b_1 y_{t-1} + \epsilon_t \) в Иллюстрации 19. Если обменный курс является случайным блужданием, то \(b_0 = 0\), \(b_1 = 0\), и член ошибки не будет сериально коррелировать.

Иллюстрация 19. Первая разность курса JPY/USD: Модель AR(1) на основе наблюдений на конец месяца, октябрь 1980 г. - август 2019 г.

Статистики регрессии

\( R^2 \)

0.0008

Стандартная ошибка

4.6177

Наблюдения

466

Статистика Дурбин-Уотсона

2.0075

Коэффициент

Стандартная
ошибка

t-статистика

Точка пересечения

-0.2185

0.2142

-1.0200

JPY/USD\(_{t-1}\) - JPY/USD\(_{t-2}\)

0.0287

0.0464

0.6185

Автокорреляция остатков

Задержка
(Временной лаг)

Автокорреляция

Стандартная
ошибка

t-статистика

1

-0.0023

0.0463

-0.0501

2

0.0724

0.0463

1.5643

3

0.0387

0.0463

0.8361

4

-0.0062

0.0463

-0.1329

Источник: Совет управляющих ФРС США.

В Иллюстрации 19 ни точка пересечения, ни коэффициент по первому временному лагу не отличаются значительно от 0, и все остаточные автокорреляции также не отличаются значительно от 0.

Эти выводы согласуются с тем, что обменный курс доллара к иене является случайным блужданием.

Мы пришли к выводу, что регрессия с разностью - это модель, которую следует выбрать. Теперь мы видим, что были бы серьезно введены в заблуждение, если бы наш выбор модели был основан на сравнении \(R^2\).

В Иллюстрации 18 \(R^2\) составляет 0.9897, тогда как в Иллюстрации 19 \(R^2\) составляет 0.0008.

Как это возможно, если мы только что пришли к выводу, что должны использовать модель из Иллюстрации 19?

В Иллюстрации 18 \(R^2\) измеряет, насколько хорошо обменный курс за один период прогнозирует обменный курс за следующий период. Если обменный курс является случайным блужданием, его текущее значение будет чрезвычайно хорошим предиктором его значения в следующем периоде, и, таким образом, \(R^2\) будет чрезвычайно высоким.

В то же время, если обменный курс является случайным блужданием, то изменения в обменном курсе должны быть совершенно непредсказуемыми. Иллюстрация 19 позволяет оценить, могут ли изменения в обменном курсе предыдущего месяца предсказать изменения в курсе от данного месяца к следующему месяцу.

Если изменения нельзя предсказать, то \(R^2\) в Иллюстрации 19 должен быть очень низким. Он на самом деле низкий (0.0008). Это сравнение дает хороший пример общего правила, которое заключается в том, что не обязательно выбирать правильную модель исключительно на основе сравнения \(R^2\) двух моделей.

Обменный курс является случайным блужданием, а изменения в случайном блуждании по определению непредсказуемы. Поэтому мы не можем получить выгоду от инвестиционной стратегии, которая предсказывает изменения в обменном курсе.

Пока мы обсуждали только простое случайное блуждание, то есть случайное блуждание без дрейфа.

В случайном блуждании без дрейфа лучшим предиктором значения следующего периода является значение текущего периода.

Случайное блуждание с дрейфом, однако, должно увеличиваться или уменьшаться на постоянное значение в каждом периоде.

Уравнение, описывающее случайное блуждание с дрейфом, является особым случаем модели AR(1):

\(x_t = b_0 + b_1 x{t-1} + \epsilon_t \).
\(b_1 = 1\), \(b_0 \neq 0\) или
\(x_t = b_0 + x{t-1} + \epsilon_t \). (9)

Случайная прогулка с дрейфом имеет \(b_0 \neq 0\), по сравнению с простой случайной прогулкой, которая имеет \(b_0 = 0\).

Мы уже видели, что \(b_1 = 1\) подразумевает неопределенный уровень возврата к среднему и, следовательно, нестационарность. Следовательно, мы не можем использовать модель AR для анализа временного ряда, который является случайным блужданием с дрейфом, пока не преобразуем временной ряд, получив первую разность.

Если мы применим уравнение первой разности (Уравнение 9), то получим следующий результат:

\(y_t = x_t - x{t-1} \), \(y_t = b_0 + \epsilon_t\), \(b_0 \neq 0\).