Среднее арифметическое, взвешенное среднее и среднее геометрическое являются наиболее часто используемыми концепциями среднего в инвестициях. Четвертая концепция - среднее гармоническое \( \overline X_H \), подходит для ограниченного числа применений.

Термин «гармоническое» возникает в результате его использования применительно к типу рядов, включающих обратные значения, известных как гармонические ряды.

Формула среднего гармонического.

Среднее гармоническое (англ. 'harmonic mean') множества наблюдений \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) есть

\(\large \dst
\overline X_H = n \Big/ \sum_{i=1}^{n}(1/X_i) \) (Формула 7)

где \(X_i > 0\) для \(i = 1,2, ..., n\)

Среднее гармоническое значение - это значение, полученное путем суммирования обратных значений наблюдений - членов вида \( 1 / X_i \); - затем выполняется усреднение этой суммы путем деления ее на число наблюдений \( n \) и, наконец, нахождение обратной величины среднего.

Среднее гармоническое можно рассматривать как особый тип взвешенного среднего, в котором вес наблюдения обратно пропорционален его величине.

Гармоническое среднее - это относительно специализированное понятие среднего, которое подходит при усреднении коэффициентов («величина на единицу»), когда коэффициенты многократно применяются к фиксированному значению для получения переменного числа единиц.

Концепцию лучше всего объяснить с помощью иллюстрации.

Пример расчета и пременения среднего гармонического.

Хорошо известный пример применения среднего гармонического возникает в инвестиционной стратегии, известной как усреднение издержек (англ. 'cost averaging'), которая включает периодическое инвестирование фиксированной суммы денег.

В этом случае усредненные коэффициенты - это цены на акцию на дату покупки, и мы применяем эти цены к постоянной фиксированной сумме, чтобы получить переменное количество акций.

Предположим, что инвестор покупает €1,000 ценных бумаг каждый месяц в течение \(n = 2\) месяцев. Цены на акции составляют €10 и €15 на две даты покупки.

Какова средняя цена акций?

В этом примере в 1-м месяце мы приобретаем €1,000 / €10 = 100 акций, а во 2-м месяце мы приобретаем €1,000 / €15 = 66.67 или 166.67 акций. Разделив общую сумму вложенных евро, €2,000, на общее количество приобретенных акций 166.67, мы получаем среднюю цену, уплаченную за акции, в размере €2,000 / 166.67 = €12.

Средняя цена фактически является средним гармоническим значением цен актива на даты покупки. По Формуле 7 средняя гармоническая цена составляет:

\( 2 / [(1/10) + (1/15)] = \€12 \)

Значение €12 меньше среднеарифметической цены покупки акций:

\( (\€10 + \€15) / 2 = \€12.5 \)

Тем не менее, мы могли бы найти правильное значение €12, используя формулу средневзвешенного значения, где весовые коэффициенты, применяемые к ценам, равны долям акций, приобретенным по данной цене, от общего количества приобретенных акций.

В нашем примере расчет будет таким:

\( (100/166.67)\€10.00 + (66.67/166.67)\€15.00 = \€12 \)

Если бы мы инвестировали разные суммы денег на каждую дату, мы не могли бы использовать формулу гармонического среднего. Мы могли бы, однако, все еще использовать формулу взвешенного среднего значения способом, подобным только что описанному.

Математический факт, касающийся гармонического, геометрического и арифметического среднего, заключается в том, что, если все наблюдения в наборе данных неодинаковы, среднее гармоническое значение меньше среднего геометрического, которое, в свою очередь, меньше среднего арифметического.

В приведенной иллюстрации средняя гармоническая цена действительно была меньше средней арифметической цены.