Как пишет известный исследователь Фишер Блэк, «ключевой вопрос в инвестициях - это оценка ожидаемой доходности».

Мало кто не согласится с важностью ожидаемой доходности или средней доходности инвестиций: средняя доходность говорит нам, где в целом сосредоточена доходность и инвестиционные результаты.

Однако, чтобы полностью понять инвестиции, нам также необходимо знать, как доходность распределена вокруг среднего значения.

Дисперсия (или вариация, англ. 'dispersion', 'variability', 'scatter', 'spread') - это изменчивость наблюдений вокруг центральной тенденции распределения. Если среднее значение доходности означает вознаграждение, то дисперсия - характеризует риск.

Далее мы рассмотрим наиболее распространенные показатели дисперсии: размах, среднее абсолютное отклонение, дисперсию генеральной совокупности и выборки, а также стандартное отклонение. Все это меры абсолютной дисперсии.

Абсолютная дисперсия (англ. 'absolute dispersion') - это степень присутствия изменчивости без сравнения с какой-либо контрольной точкой или эталоном.

Эти меры широко используются в инвестиционной практике. Дисперсия или стандартное отклонение доходности часто используется в качестве меры риска. Впервые она была применена нобелевским лауреатом Гарри Марковицем (Harry Markowitz).

Уильям Шарп (William Sharpe), еще один лауреат Нобелевской премии по экономике, разработал коэффициент Шарпа, показатель эффективности инвестиций с поправкой на риск. Этот показатель использует стандартное отклонение доходности. Другие показатели дисперсии, среднее абсолютное отклонение и размах, также полезны при анализе финансовых данных.

Размах.

Мы столкнулись с размахом ранее, когда обсуждали построение распределения частот. Размах - это простейший из всех показателей дисперсии. Он может быть вычислен для интервала или коэффициента данных.

Определение размаха.

Размах или интервал изменения (англ. 'range') - это разница между максимальным и минимальным значениями в наборе данных:

(Формула 9)

Range = Максимальное значение - Минимальное значение

Иллюстрация размаха:

  • наибольшая месячная доходность S&P 500 в период с января 1926 г. по декабрь 2012 г. составляет 42,56% (в апреле 1933 г.), а
  • наименьшая: -29,73% (в сентябре 1931 г.).

Размах доходности, таким образом, составляет:

\( 72.29\% = [42.56\% - (-29.73\%)] \)

Одним из преимуществ размаха является простота вычислений.

Недостатком является то, что размах использует всего два значения из распределения данных. Он не может рассказать нам, как распределяются данные (то есть описать форму распределения).

Поскольку Range представляет собой разницу между максимальной и минимальной доходностью, он может отражать очень большие или маленькие результаты, которые могут быть нерепрезентативны.

Другая мера дисперсии, основанная на интервале данных, с которой мы можем столкнуться, - это межквартильный размах, который фокусируется на середине распределения, а не на его краях.

Межквартильный размах (IQR, от англ. 'interquartile range') - это разница между 3-м и 1-м квартилями набора данных:

\( \rm{IQR} = Q_3 - Q_1 \)

IQR представляет собой длину интервала, содержащего средние 50% данных, с большим межквартильным размахом, указывающим на большую дисперсию, при прочих равных условиях.

Среднее абсолютное отклонение.

Меры дисперсии могут быть рассчитаны с использованием всех наблюдений в распределении, а не только самых высоких и самых низких.

Вопрос в том, как мы должны измерять дисперсию?

Наша предыдущая дискуссия о свойствах среднего арифметического ввела понятие расстояния или отклонения от среднего \( (X_i - \overline{X}) \) как фундаментальную часть информации, используемой в статистике.

Мы могли бы вычислить меры дисперсии как среднее арифметическое отклонений от среднего значения, но мы столкнулись бы с проблемой: отклонения от среднего в сумме всегда равны 0.

Если мы вычислим среднее значение отклонений, результат также будет равен 0. Поэтому нам необходимо найти способ решения проблемы отрицательных отклонений, устраняющих положительные отклонения.

Одно из решений состоит в том, чтобы исследовать абсолютные отклонения от среднего значения, такие как среднее абсолютное отклонение.

Формула среднего абсолютного отклонения.

Среднее абсолютное отклонение или просто абсолютное отклонение (MAD, от англ. 'mean absolute deviation') для выборки:

\( \large
\rm{MAD} = { \dsum_{i=1}^{n} \left| X_i - \overline X \right| \over n }
\) (Формула 10)

где

  • \( \overline X \) - среднее значение выборки, а
  • \(n\) - количество наблюдений в выборке.

При расчете MAD мы игнорируем знаки (плюсы и минусы) отклонений от среднего значения. Например, если \(X_i\) = -11.0 и \( \overline X \) = 4.5, абсолютное значение разности составляет:

\( | -11.0 - 4.5 | = | -15,5 | = 15,5 \)

Среднее абсолютное отклонение использует все наблюдения в выборке и, таким образом, превосходит Range в качестве меры дисперсии.

Одним из технических недостатков MAD является то, что им трудно математически манипулировать по сравнению со следующей мерой, которую мы рассмотрим далее, - дисперсией.

В некоторых аналитических работах, таких как оптимизация, важен расчет дифференцирования. Дисперсия как функция может быть дифференцирована, но абсолютное значение не может.

Пример, приведенный ниже иллюстрирует использование размаха и среднего абсолютного отклонения при оценке риска.

Пример расчета размаха и среднего абсолютного отклонения для оценки риска.

Рассчитав среднюю доходность для двух взаимных фондов в Примере (1) расчета и сравнения среднегеометрической и среднеарифметической доходности, финансовый аналитик далее занимается оценкой риска.

Продублируем Таблицу 15 из указанного примера:

Таблица 15. Совокупная доходность двух взаимных фондов, 2008-2012 гг.
(повтор).

Год

Фонд Selected
American Shares
(SLASX)

Фонд T. Rowe Price
Equity Income
(PRFDX)

2008

-39.44%

-35.75%

2009

31.64

25.62

2010

12.53

15.15

2011

-4.35

-0.72

2012

12.82

17.25

Источник: performance.morningstar.com.

На основании данных из Таблицы 15 сделайте следующее:

  1. Рассчитайте размах годовых доходов для (A) SLASX и (B) PRFDX и укажите, какой взаимный фонд представляется более рискованным на основе Range.
  2. Рассчитайте среднее абсолютное отклонение доходности для (A) SLASX и (B) PRFDX и укажите, какой взаимный фонд представляется более рискованным на основе MAD.

Решение для части 1:

A. Для SLASX наибольшая доходность составила 31.64%, а наименьшая: -39,44%. Таким образом, размах составляет:

Range = 31,64 - (-39,44) = 71,08%

B. Для PFRDX размах составляет:

Range = 25,62 - (-35,75) = 61,37%.

С более широким размахом доходности, чем PRFDX, SLASX оказался более рискованным фондом в период за 2008-2012 гг.

Решение для части 2:

A. Средняя арифметическая доходность для SLASX, рассчитанная в Примере (1), составляет 2.64%.

MAD доходности SLASX составляет:

\( { \begin{align}
\rm{MAD} &= \scriptsize{|-39.44 - 2.64| + |31.64 - 2.64| + |12.53 - 2.64| + |-4.35 - 2.64| + |2.82 - 2.64| \over 5} \\
&= \small{42.08 + 29.00 + 9.89 + 6.99 + 10.18 \over 5} \\
&= \small{98.14 \over 5} = 19.63\%
\end{align}   }\)

B. Среднее арифметическое доходности для PRFDX, рассчитанное в Примере (1), составляет 4.31%.

MAD доходности PRFDX составляет:

\( { \begin{align}
\rm{MAD} &= \scriptsize{|-35.75 - 4.31| + |25.62 - 4.31| + |15.15 - 4.31| + |-0.72 - 4.31| + |17.25 - 4.31| \over 5} \\
&= \small{40.06 + 21.31 + 10.84 + 5.03 + 12.94 \over 5} \\
&= \small{90.18 \over 5} = 18.04\%
\end{align}   }\)

SLASX с MAD 19.63%, кажется, немного более рискованным фондом, чем PRFDX, с MAD 18.04%.