Второй важной мерой центральной тенденции является медиана.

Определение медианы.

Медиана (англ. 'median') - это значение среднего элемента из набора элементов, отсортированных по возрастанию или убыванию. T.е. это элемент, который делит набор элементов пополам.

В выборке с нечетным количеством из \(n\) элементов медиана занимает позицию:

\( (n + 1) / 2 \)

В выборке с четным количеством мы определяем медиану как среднее значение элементов, занимающих позиции:

\(n / 2\) и \((n + 2) / 2\) (два средних элемента)

Как и в случае со средним арифметическим, мы можем различать медиану совокупности и медиану выборки. Исходя из того, что медиана совокупности делит совокупность пополам, а медиана выборки делит выборку пополам, мы будем следовать общей нотации термина «медиана» без квалификации для краткости.

Ранее мы анализировали прибыль в процентах от выручки трех оптовых клубов: 0,9, 1,6 и 3,5. При нечетном количестве наблюдений \((n = 3)\) медиана занимает:

\( (n + 1) / 2 = 4/2 \) = 2-е место

Медиана составляет 1,6%. Значение 1,6% является «самым средним» наблюдением: одно лежит над ним, а другое - под ним.

Независимо от того, используем ли мы формулу для выборки с четным или нечетным количеством, равное количество наблюдений лежит выше и ниже медианы. Распределение имеет только одну медиану.

Потенциальное преимущество медианы состоит в том, что, в отличие от среднего значения, экстремальные значения (выбросы) не влияют на нее.

Медиана, однако, не использует всю информацию о размере и величине наблюдений; она фокусируется только на относительной позиции ранжированных наблюдений.

Расчет медианы также более сложен; для этого нам нужно упорядочить наблюдения от наименьшего к наибольшему, чтобы определить, является ли размер выборки четным или нечетным, и на этой основе применить одну из двух формул расчета. Математики отмечают этот недостаток, говоря, что медиана менее математически понятна, чем средняя.

Чтобы продемонстрировать нахождение медианы, мы используем данные из Примера вычисления перекрестного среднего значения, воспроизведенные в Таблице 9 в порядке возрастания доходности европейских акций за 2012 год.

Таблица 9. Общая доходность европейских фондовых рынков, 2012 г. (в порядке возрастания).

№

Рынок

Общая доходность
в местной валюте (%)

1

Испания

-4.76

2

Греция

-2.35

3

Португалия

-2.22

4

Ирландия

2.24

5

Великобритания

5.93

6

Норвегия

6.05

7

Италия

6.93

8

Финляндия

8.27

9

Швеция

12.66

10

Швейцария

14.83

11

Нидерланды

15.36

12

Франция

15.90

13

Австрия

20.72

14

Германия

25.24

15

Дания

28.09

16

Бельгия

33.99

Источник: www.msci.com.

Поскольку в этой выборке 16 наблюдений, медиана - это среднее значение двух наблюдений в отсортированном массиве, которые занимают 16/2 = 8-ю и 18/2 = 9-ю позиции.

Финляндия занимает 8-е место с доходностью 8,27%, а Швеция занимает 9-е место с доходностью 12,66%. Медиана, как среднее от этих двух значений доходности, составляет:

(8,27 + 12,66) / 2 = 10,465%

Обратите внимание, что на медиану не влияют очень большие или маленькие результаты. Если бы общая доходность Испании была намного ниже, или общая доходность Бельгии была бы намного выше, медиана не изменилась бы.

Используя контекст, который часто возникает на практике, представленный ниже пример демонстрирует, как совместно использовать среднее значение и медиану в выборке с экстремальными значениями.

Пример применения медианы и среднего арифметического для анализа соотношения цены и прибыли (EPS).

Предположим, клиент запрашивает у вас оценочный анализ портфеля обыкновенных акций США из семи акций, приведенных в Таблице 10.

Акции в портфеле одинаково взвешены. Одним из финансовых показателей оценки, который вы используете, является P/E, отношение цены акции к прибыли на акцию (EPS).

См. также:

CFA - Анализ собственного капитала и коэффициенты рыночной стоимости компании.

Существует много вариаций для знаменателя в P/E, но вы анализируете показатель P/E, определяемый как текущая цена акций, деленная на текущее среднее значение всех EPS-прогнозов аналитиков для компании за 2013 финансовый год (столбец «Консенсус-прогноз текущей EPS» в Таблице 10).

Консенсус-прогноз текущей EPS (англ. 'consensus current EPS') - это EPS, полученная на основе консенсус-прогнозов аналитиков.

Для получения дополнительной информации о ценовых коэффициентах см. Pinto, Henry, Robinson, and Stowe (2010).

Таблица 10. P/E для клиентского портфеля.

Акции

Консенсус-прогноз текущей EPS

Консенсус-прогноз текущей P/E

Caterpillar, Inc.

6.34

13.15

Ford Motor Company

1.55

10.97

General Dynamics

6.96

12.15

Green Mountain Coffee Roasters

3.25

25.27

McDonald's Corporation

5.61

17.16

Qlik Technologies

0.17

204.82

Questcor Pharmaceuticals

4.79

13.94

Примечание: Значения консенсус-прогноза текущей P/E были рассчитаны как цена по состоянию на 9 сентября 2013 года, деленная на консенсус-прогноз EPS на ту же дату.

Источник: www.nasdaq.com.

Значения в Таблице 10 приведены по состоянию на 9 сентября 2013 года. Для сравнения средняя текущая P/E по компаниям в индексе S&P 500 в то время составляла 18,80.

Используя данные Таблицы 10, сделайте следующее:

  1. Рассчитайте среднее арифметическое P/E.
  2. Рассчитайте медиану P/E.
  3. Оцените среднее и медиану P/E как меры центральной тенденции для вышеуказанного портфеля.

Решение для части 1:

Среднее арифметическое значение P/E составляет:

(13,15 + 10,97 + 12,15 + 25,27 + 17,16 + 204,82 + 13,94) / 7 =
= 297,46 / 7 = 42,49.

Решение для части 2:

Коэффициенты P/E перечислены в порядке возрастания:

10,97 12,15 13,15 13,94 17,16 25,27 204,82

Выборка имеет нечетное количество наблюдений с \(n = 7\), поэтому медиана занимает \((n + 1) / 2 = 8/2 = 4\)-ю позицию в отсортированном списке.
Следовательно, медиана P/E составляет 13,94.

Решение для части 3:

P/E компании Qlik Technologies, равная приблизительно 205, оказывает огромное влияние на среднее арифметическое P/E всего портфеля. Среднее P/E составляет около 42, и это намного больше, чем P/E шести из семи акций в портфеле.

Среднее значение P/E также вводит в заблуждение, ориентируя на акции с высокой P/E.

Среднее значение P/E акций, исключая Qlik Technologies, или исключая акции с наибольшей и наименьшей P/E (Qlik Technologies и Ford Motor Company), ниже среднего P/E 18,80 для компаний, включенных в индекс S&P 500.

Медиана P/E, равная 13,94, кажется, лучше отражает центральную тенденцию P/E.

Часто случается так, что когда EPS компании довольно низка, - например, она определена в нижней точке делового цикла компании, - ее P/E очень высока. Высокая P/E в этих обстоятельствах отражает ожидаемое в будущем восстановление доходов.

Экстремальные значения P/E следует анализировать и использовать с осторожностью. По причинам, продемонстрированным в этом примере, аналитики часто используют медиану ценовых коэффициентов для характеристики оценки отраслевых групп.